Hausdorff dimension

Hausdorff-dimensionen eller Hausdorff-dimensionen er en naturlig måde at definere dimensionen af en delmængde i et metrisk rum på . Hausdorff- dimensionen stemmer overens med vores sædvanlige forestillinger om dimension, når disse sædvanlige forestillinger eksisterer. For eksempel i tredimensionelt euklidisk rum er Hausdorff-dimensionen af et endeligt sæt nul, dimensionen af en glat kurve er en, dimensionen af en glat overflade er to, og dimensionen af et sæt af ikke-nul volumen er tre. For mere komplekse (fraktale) sæt er Hausdorff-dimensionen muligvis ikke et heltal.

Definition

Definitionen af Hausdorff-dimensionen består af flere trin. Lad være et afgrænset sæt i et metrisk rum . $\Omega$ $x$

ε-coverings

Lad . Højst vil et tælleligt sæt af delmængder af et rum blive kaldt et -cover af sættet, hvis følgende to egenskaber holder: $\varepsilon >0$ $\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $x$ $\varepsilon$ $\Omega$

$\Omega \subset \bigcup _{{i\in I}}\omega _{i}$
for enhver : ( betyder i det følgende sættets diameter ). $i\i I$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ $|\omega |$ $\omega$

Hausdorff α-mål

Lad . Lad være et cover af sættet . Lad os definere følgende funktion, som i en eller anden forstand viser "størrelsen" af denne dækning: . $\alfa >0$ $\Theta =\{\omega _{i}\}_{{i\in I}}$ $\Omega$ $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{{i\in I}}|\omega _{i}|^{\alpha }$

Lad os betegne med sættets "minimumsstørrelse" -omslag : , hvor infimum overtages alle -omslag af sættet . $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ ${\varepsilon }$ $\Omega$ $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$ $\varepsilon$ $\Omega$

Det er indlysende, at funktionen (ikke-strengt) stiger med aftagende , da vi ved at falde kun formindsker sættet af mulige -covers. Derfor har den en endelig eller uendelig grænse ved : $M_{{\alpha }}^{{\varepsilon }}(\Omega)$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon \højrepil 0+$

$M_{{\alpha }}(\Omega )=\lim \limits _{{\varepsilon \rightarrow 0+}}M_{{\alpha }}^({\varepsilon }}(\Omega)$ .

Mængden kaldes sættets Hausdorff- mål . $M_{{\alpha }}(\Omega)$ $\alfa$ $\Omega$

Egenskaber for Hausdorff α-målet

$\alfa$ -Hausdorff-målet er et Borel- mål på . $x$
op til multiplikation med en koefficient: Hausdorff 1-målet for glatte kurver falder sammen med deres længde; Hausdorff 2-målet til glatte overflader falder sammen med deres område; - Hausdorff-målet for mængder i falder sammen med deres -dimensionelle volumen. $d$ $\mathbb{R}^d$ $d$
$M_{{\alpha }}(\Omega)$ falder i . Desuden eksisterer der for ethvert sæt [1] [2] [3] en kritisk værdi , sådan at: $\alfa$ $\Omega$ $\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=+\infty$ for alle $\alpha <\alpha _{0}$
- $M_{{\alpha }}(\Omega )=0$ for alle $\alpha >\alpha _{0}$

Værdien kan være nul, endeligt positiv eller uendelig. $M_{{\alpha _{0}}}(\Omega)$

Definition af Hausdorff-dimensionen

Hausdorff-dimensionen af et sæt er tallet fra det foregående afsnit. $\dim _{H}\Omega$ $\Omega$ $\alpha _{0}$

Eksempler

For selvlignende sæt kan Hausdorff-dimensionen beregnes eksplicit. Uformelt set, hvis et sæt er opdelt i dele svarende til det oprindelige sæt med koefficienter , så er dets dimension en løsning på ligningen . For eksempel, $n$ $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ $s$ $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$

Cantor-sættets dimension er (opdelt i to dele, lighedskoefficient 1/3), $\ln 2/\ln 3$
dimension af Sierpinski trekanten - (opdelt i 3 dele, lighedskoefficient 1/2), $\ln 3/\ln 2$
dimension af dragekurven - (opdelt i 2 dele, lighedskoefficient ). $2$ ${\sqrt {1/2))$

Egenskaber

Hausdorff-dimensionen af ethvert sæt overstiger ikke de nedre og øvre Minkowski-mål .
Hausdorff-dimensionen af højst en tællig forening af sæt er lig med maksimum af deres dimensioner.
- Især vil tilføjelse af et tælleligt sæt til ethvert sæt ikke ændre dets dimension.
For vilkårlige metriske rum og relationen $x$ $Y$ $\dim _{H}(X\ gange Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- For nogle par er uligheden streng; desuden kan et sådant par vælges fra kompakte delmængder af den reelle linje. [fire] $x$ $Y$

Se også

Noter

↑ Bevis i Pertti Mattila, "Geometry of sets and measurements in Euclidian Spaces", 1995 - Sætning 4.7
↑ (Springer) Encyclopedia of Mathematics - Reference to Mattila . Hentet 31. august 2015. Arkiveret fra originalen 16. januar 2020. (ubestemt)
↑ Bevis i Kenneth Falconer, "Fractal Geometry" (anden udgave), 2003 - s. 31
↑ Eksempel 7.8 i Falconer, Kenneth J. Fractal geometri. Matematiske grundlag og anvendelser . — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Litteratur

Feder E. Fractals. - M .: MIR, 1991. - S. 254. - ISBN 5-03-001712-7 .

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik