Icosahedron
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. juli 2022; verifikation kræver 1 redigering .Et icosahedron (fra andet græsk εἴκοσι - tyve og ἕδρα - platform [1] ) er et polyeder med 20 flader.
Der er uendeligt mange forskellige icosaeder, hvoraf nogle har flere symmetrier, andre mindre. Det mest berømte ( konvekse , ikke- stjerneformede ) regulære ikosaeder er et af de regulære polyedre , hvis ansigter er 20 regulære trekanter .
Almindelig icosahedron
Konveks regulær icosahedron |
Stort icosahedron |
Der er to faste stoffer, en konveks og en ikke-konveks, som begge kaldes regulære icosaeder. Begge har 30 kanter og 20 regulære trekantsflader , der konvergerer 5 ved hver af dens 12 hjørner. Begge har icosahedral symmetri . Udtrykket "regulær icosahedron" refererer normalt til den konvekse form, og den ikke-konvekse form kaldes det store icosahedron .
Konveks regulær icosahedron
Et konveks regulært icosahedron forstås normalt som et regulært icosaeder , et af de fem regulære polyedre , og er repræsenteret ved Schläfli-symbolet {3, 5}. Polyederet har 20 trekantede flader, 5 flader ved hvert toppunkt.
Dens dobbelte polyeder er det regulære dodekaeder {5, 3}, som har tre regulære femkantede flader omkring hvert toppunkt.
Store icosahedron
Det store icosahedron er et af de fire Kepler-Poinsot-stjernebilleder . Dens Schläfli-symbol er . Ligesom den konvekse form har den også 20 flader i form af regulære trekanter, men dens topfigur er et pentagram , ikke en femkant, hvilket fører til geometrisk skærende flader. Trekantskryds repræsenterer ikke nye kanter.
Dens dobbelte polyeder er det store stjerneformede dodekaeder , som har tre regelmæssige stjerneformede femkantede flader omkring hvert toppunkt.
Stellationer af icosahedron
Stjernedannelse er processen med at udvide flader eller kanter af et polyeder, indtil de kommer i kontakt for at danne et nyt polyeder. Dette gøres symmetrisk, således at den resulterende krop bevarer alle symmetrierne fra moderkroppen.
I bogen " Fifty-nine Icosahedra" (The Fifty-Nine Icosahedra) af Coxeter et al., er 58 sådanne stjernebilleder af et regulært icosahedron opført.
Af disse har mange et separat ansigt i hvert af de 20 fly, og er derfor også icosaeder. Det store ikosaeder er blandt dem.
Andre stjerneformer har mere end én flade pr. plan, eller er dannet som en sammensætning af simplere polyedre. De er strengt taget ikke ikosaeder, selvom de ofte omtales som sådan.
| Stjerneformer af icosahedron | |
|---|---|
| |
Pyritoedrisk symmetri
| Pyritoedriske og tetraedriske symmetrier | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Coxeter diagrammer |     (pyramedral)(tetraedrisk)
| ||||
| Schläfli symbol | s{3,4} sr{3,3} eller | ||||
| Facetter | 20 trekanter: 8 regulære 12 ligebenede | ||||
| ribben | 30 (6 korte + 24 lange) | ||||
| Toppe | 12 | ||||
| Symmetri gruppe | T h , [4,3 + ], (3*2), rækkefølge 24 | ||||
| Rotationsgrupper | Td , [ 3,3] + , (332), rækkefølge 12 | ||||
| Dobbelt polyeder | pyrithedron | ||||
| Ejendomme | konveks | ||||
Scan | |||||
| |||||
Et regulært icosahedron kan være buet eller markeret, så det har lavere pyroedrisk symmetri [2] og kaldes snub octahedron , snub tetratetrahedron , snub tetrahedron og pseudoicosahedron . Det kan ses som et alternerende afkortet oktaeder . Hvis alle trekanter er regelmæssige , kan symmetrierne skelnes ved at farve de 8 og 12 trekanter forskelligt.
Pyritoedrisk symmetri har symbol (3*2), [3 + ,4] og orden 24. Tetraedrisk symmetri har symbol (332), [3,3] + og orden 12. Disse lave symmetrier tillader vridning af 20 ligesidede trekantede flader, hvilket resulterer i i 8 regulære trekanter og 12 kongruente ligebenede trekanter .
Disse symmetrier giver Coxeter-diagrammer :oghenholdsvis, og begge har lavere symmetri end symmetrierne 
, (*532), [5,3] orden 120 af et almindeligt icosahedron .
Kartesiske koordinater
De 12 toppunktskoordinater kan gives af vektorer defineret af alle positive cykliske permutationer og fortegnsændringer af formens koordinater (2, 1, 0). Disse koordinater repræsenterer et afkortet oktaeder med skiftende sletning af hjørner.
Denne konstruktion kaldes et snub-tetraeder , hvis den er dannet ud fra vektoren ( ϕ , 1, 0), hvor ϕ er det gyldne snit [2] .
Icosahedron af Jessen
I Jessen icosahedron, nogle gange kaldet det ortogonale Jessen icosahedron , er de 12 ligebenede flader arrangeret forskelligt for at danne en ikke-konveks krop. Den har rette dihedriske vinkler .
Det er lige langt med en terning, hvilket betyder, at det kan skæres i mindre polyedre, der kan danne en komplet terning.
Andre icosaeder
Rhombicosahedron
Rhombicosahedron er et zonohedron bestående af 20 lige store romber. Det kan fås fra det rombiske triacontahedron ved at fjerne 10 mellemflader. Selvom alle ansigter er kongruente, er rhombicosahedron ikke facet transitiv .
Symmetrier af pyramiden og prismet
Generelle symmetrier af icosahedron med pyramider og prismer:
- 19-sidet pyramide (plus 1 base = 20).
- 18-vinkel prisme (plus 2 baser = 20).
- 9-sidet antiprisme (2 sæt af 9 sider + 2 baser = 20).
- 10-sidet bipyramid (2 sæt med 10 sider = 20).
- 10-sidet trapezhedron (2 sæt af 10 sider = 20).
Regular-faced polyedra
Nogle polyedre med regelmæssigt ansigt er icosaeder [3] : Johnson og Zalgaller notation givet
| J 22 (M 4 + A 6 ) | J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) | J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) | J 60 (M 15 + 2M 3 ) | J 92 (M 20 ) |
|---|---|---|---|---|---|
Snoet aflang trekantet kuppel |
Aflang tri-slope lige bi-dome |
Aflang tri-slope roteret bi-dome |
Dodecahedron dobbelt forlænget |
Dodecahedron dobbelt forlænget |
Affladet trekantet clinorohonde |
| 16 trekanter 3 firkanter 1 sekskant |
8 trekanter 12 firkanter |
8 trekanter 12 firkanter |
10 trekanter 10 femkanter |
10 trekanter 10 femkanter |
13 trekanter 3 firkanter 3 femkanter 1 sekskant |
Se også
Noter
- ↑ Jones, 2003 .
- ↑ 12 John Baez . Fool's Gold (11. september 2011). Hentet 5. august 2019. Arkiveret fra originalen 19. maj 2018.
- ↑ Icosahedron Arkiveret 8. december 2020 på Wayback Machine på Mathworld.
Litteratur
- Daniel Jones. English Pronouncing Dictionary / Peter Roach, James Hartmann, Jane Setter. - Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - ISBN 3-12-539683-2 .