Sfærisk polyeder

Et sfærisk polyeder eller sfærisk flisebelægning  er den flisebelægning på en kugle , hvor overfladen er opdelt af store buer i afgrænsede områder kaldet sfæriske polygoner. Meget af teorien om symmetriske polyedre bruger sfæriske polyedre.

Det mest berømte eksempel på et sfærisk polyeder er en fodbold , der kan forstås som et afkortet icosahedron .

Nogle "ukorrekte" polyedre, såsom osoedre og deres dobbelte dihedra , eksisterer kun som sfæriske polyedre og har ingen flade modstykker. I tabellen med eksempler nedenfor er {2, 6} et osohedron, og {6, 2} er dets dobbelte dihedron.

Historie

De første kendte menneskeskabte polyedre er sfæriske polyedre udhugget i sten. Mange af disse er fundet i Skotland og stammer fra den neolitiske periode .

Under den europæiske " mørke middelalder " skrev den islamiske lærde Abul-Wafa al-Buzjani det første seriøse værk om sfæriske polyedre.

For to hundrede år siden, i begyndelsen af ​​det 19. århundrede, brugte Poinsot sfæriske polyedre til at opdage fire regulære stjernepolyedre .

I midten af ​​det 20. århundrede brugte Coxeter dem til at opregne alle (undtagen ét) ensartede polyedre ved hjælp af en kalejdoskopisk konstruktion ( Withoff-konstruktion ).

Eksempler

Alle regulære , semiregulære polyedre og deres dualer kan projiceres på kuglen som en flisebelægning. Tabellen nedenfor viser Schläfli-symbolerne {p, q} og skemaet for toppunktsfiguren abc...:

Schläfli symbol {p, q} t{p, q} r{p, q} t{q, p} {q, p} rr{p, q} tr{p, q} sr{p, q}
Vertex figur p q q.2p.2p pqpq s. 2q.2q qp _ q.4.p. fire 4,2q.2p 3.3.q.3.p
Tetraedrisk
(3 3 2)
3 3
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
3 3
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.4.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Octahedral
(4 3 2)
4 3
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
3 4
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Icosahedral
(5 3 2)
5 3
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
3 5
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Dihedrale
eksempler=6
(2 2 6)
6 2
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26 _
4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
klasse 2 3 fire 5 6 7 otte ti
Prisme
(2 2 p)
Bipyramid
(2 2 p)
antiprisme
trapezhedron

Uregelmæssige tilfælde

Sfæriske fliser tillader tilfælde, der er umulige for polyedre, nemlig osohedra , regulære figurer {2,n} og dihedra , regulære figurer {n,2}.

Familie af almindelige hvepse
Billede
Schläfli {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8}...
coxeter CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
Ansigter og
kanter 		2 3 fire 5 6 7 otte
Toppe 2
Almindelige dihedra: (sfæriske fliser)
Billede
Schläfli {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}...
coxeter CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Facetter 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Kanter og
Toppunkter 		2 3 fire 5 6

Forbindelse med flisebelægninger på det projektive plan

Da kuglen er en to-pladet dækning af det projektive plan, svarer de projektive polytoper til den dobbelte dækning af sfæriske polytoper, der har central symmetri .

De mest berømte eksempler på projektive polyedre er regulære projektive polyedre dannet af centralt symmetriske regulære polyedre , såvel som fra uendelige familier af lige diedre og osoedre : [1]

Se også

Noter

  1. ↑ Coxeter, 1966 , s. 547-552 §3 Korrekte kort.

Litteratur