firkantet mosaik | |
---|---|
Type | Korrekt mosaik |
Ansigtskonfiguration _ |
4.4.4.4 (eller 4 4 )| |
Ansigtskonfiguration _ |
V4.4.4.4 (eller V4 4 ) |
Schläfli symbol |
{4,4} |
Wythoff symbol | 4 | 24 |
Coxeter-Dynkin diagrammer |
|
Symmetri | p4m , [4,4], (*442) |
Rotationssymmetri _ |
], p4 , [4,4] + , (442)| |
Dobbelt flisebelægning |
selv-dual |
Ejendomme | toppunkt-transitiv ansigt-transitiv kant-transitiv |
Firkantet parket , firkantet parket [1] , firkantet mosaik eller firkantet gitter er en flisebelægning af et plan med lige store firkanter placeret side til side, mens hjørnerne af fire tilstødende firkanter er i ét punkt. Schläfli-symbolet for flisebelægningen er {4,4}, hvilket betyder, at der er 4 firkanter rundt om hvert toppunkt .
Conway kaldte denne mosaik quadrille (quadrille).
Den indvendige vinkel i en firkant er 90 grader, så de fire firkanter i toppunktet giver hele 360 grader. Flisebelægningen er en af de tre almindelige flisebelægninger på flyet . De to andre er den trekantede flisebelægning og den sekskantede flisebelægning .
Der er 9 forskellige ensartede farver af en firkantet flisebelægning. Farver på 4 firkanter efter farveindeks omkring toppunktet: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Kasserne med simpel spejlsymmetri og gennem ( ii) etuier med glidende spejlsymmetri. Tre af disse varianter kan betragtes i det samme fundamentale område som reducerede farvestoffer - 1112 i er opnået fra 1213, 1123 i fra 1234 og 1112 ii fra 1123 ii .
9 ensartede farver | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1111 | 1212 | 1213 | 1112 i | 1122 | |||||||
p4m (*442) | p4m (*442) | pmm (*2222) | |||||||||
1234 | 1123 i | 1123 ii | 1112 ii | ||||||||
pmm (*2222) | cmm (2*22) |
Skakfarvning (farver 1212) er grundlaget for mange spil og puslespil, for eksempel er feltet på et skakbræt en firkantet parket, også til mange andre spil på en ternet bane , krydsord , polyominoer , Life-modellen og andre todimensionelle spil cellulære automater osv. P.
Et bræt i én farve (farver 1111) bruges for eksempel i spillet Go .
Denne fliselægning er topologisk en del af en sekvens af regulære polyedre og flisedelinger, der fortsætter i det hyperbolske plan : {4,p}, p=3,4,5...
Symmetriindstillinger * n 42 almindelige fliser: {4, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kugleformet | Euklidisk | Kompakt hyperbolsk | Paracompact | ||||||||
{4,3} |
{4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} ... |
{4,∞} |
Firkantede fliser er en del af en sekvens af regulære polyedre og fliser, der har fire flader pr. toppunkt. Sekvensen starter med et oktaeder , sekvensens Schläfli-symboler er {n,4}, og Coxeter-diagrammerne er da n har en tendens til uendelighed.
Symmetrimuligheder * n 42 almindelige flisebelægninger { n ,4} | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Kugleformet | Euklidisk | Hyperbolske fliser | |||||
24 _ | 3 4 | 4 4 | 5 4 | 6 4 | 74 _ | 8 4 | ... ∞4 _ |
Symmetrimuligheder * n 42 kvasi-regulære dobbelte flisebelægninger: V (4.n) 2 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetri *4n2 [n,4] |
Kugleformet | Euklidisk | Kompakt hyperbolsk | Paracompact | Ikke-kompakt | ||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]... |
*∞42 [∞,4] |
[ip/λ,4] | ||||
Mosaikkonf . |
V4.3.4.3 |
V4.4.4.4 |
V4.5.4.5 |
V4.6.4.6 |
V4.7.4.7 |
V4.8.4.8 |
V4.∞.4.∞ |
V4.∞.4.∞ |
Symmetrimuligheder * n 42 udvidede flisebelægninger: n .4.4.4 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetri [n,4], (* n 42) |
Kugleformet | Euklidisk | Kompakt hyperbolsk | Paracompact | |||||||
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4] |
*∞42 [∞,4] | |||||
Udvidede kroppe |
|||||||||||
Konfig. | 3.4.4.4 | 4.4.4.4 | 5.4.4.4 | 6.4.4.4 | 7.4.4.4 | 8.4.4.4 | ∞.4.4.4 | ||||
Rhombiske kroppe konfig. |
V3.4.4.4 |
V4.4.4.4 |
V5.4.4.4 |
V6.4.4.4 |
V7.4.4.4 |
V8.4.4.4 |
V∞.4.4.4 |
Ligesom ensartede polyedre er der otte ensartede fliser baseret på en almindelig firkantet flisebelægning.
Ved at male de originale flader i rødt, de oprindelige spidser i gult og de originale kanter i blåt, får vi 8 forskellige fliser. Der er dog kun tre topologisk adskilte fliser - den firkantede flisebelægning , den trunkerede firkantede flisebelægning og den snubte firkantede flisebelægning .
Ensartet flisebelægning baseret på symmetrien af en firkantet flisebelægning | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetri : [4,4], (*442) | [4,4] + , (442) | [4,4 + ], (4*2) | |||||||||
{4,4} | t{4,4} | r{4,4} | t{4,4} | {4,4} | rr{4,4} | tr{4,4} | sr{4,4} | s{4,4} | |||
ensartede dualer | |||||||||||
V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V4.4.4.4 | V4.4.4.4 | V4.8.8 | V3.3.4.3.4 |
Andre firkantede fliser kan topologisk være ækvivalente med kvadratiske fliser (4 quads ved hvert toppunkt) .
Isoedriske flisebelægninger har de samme flader (ansigtstransitivitet ) og er toppunkttransitive . Der er 18 muligheder, hvor 6 har trekantede flader, der ikke forbinder kant-til-kant, og andre 6 består af firkanter med to parallelle kanter (trapez). Den givne symmetri forudsætter, at alle ansigter er malet i samme farve [2] .
Isoedriske firkantede fliserFirkantet p4m, (*442) |
Firkantet p4g , (4*2) |
Rektangel pmm, (*2222) |
Parallelogram p2, (2222) |
Parallelogram pmg, (22*) |
Rombe cmm, (2*22) |
Rhombus pmg, (22*) |
---|---|---|---|---|---|---|
Trapeze cmm, (2*22) |
Firkantet pgg , (22×) |
Deltoid pmg, (22*) |
Firkantet pgg , (22×) |
Firkant p2, (2222) |
Ligebenet pmg, (22*) |
Ligebenet pgg, (22×) |
Ikke- ligesidet pgg, (22×) |
Ikke-ligesidet p2, (2222) |
---|
En firkantet flisebelægning kan bruges til at pakke cirkler ved at placere cirkler med samme diameter centreret i hjørnerne af firkanterne. Hver cirkel er i kontakt med fire andre pakningscirkler ( kontaktnummer ) [3] . Pakningstætheden er . Der er 4 ensartede farver af cirkelpakning.
Der er 3 regulære komplekse apeirogoner , der har de samme hjørner som den firkantede flisebelægning. Regulære komplekse apeirogoner har toppunkter og kanter, mens kanter kan indeholde 2 eller flere toppunkter. Regulære apeirogoner p{q}r er afgrænset af udtrykket 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Her antages det, at kanterne indeholder p toppunkter og toppunktet er r -gonal [4] .
Selv-dual | Dobbelt | |
---|---|---|
4{4}4 eller | 2{8}4 eller | 4{8}2 eller |
Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i rum med dimensionerne 2-10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
geometriske mosaikker | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Periodisk |
| ||||||||
aperiodisk |
| ||||||||
Andet |
| ||||||||
Ved toppunktskonfiguration _ |
|