Firkantet parket

firkantet mosaik
Type Korrekt mosaik
Ansigtskonfiguration
_
4.4.4.4 (eller 4 4 )|
Ansigtskonfiguration
_
V4.4.4.4 (eller V4 4 )

Schläfli symbol
{4,4}
Wythoff symbol 4 | 24

Coxeter-Dynkin diagrammer
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Symmetri p4m , [4,4], (*442)
Rotationssymmetri
_
], p4 , [4,4] + , (442)|
Dobbelt
flisebelægning
selv-dual
Ejendomme toppunkt-transitiv
ansigt-transitiv
kant-transitiv

Firkantet parket , firkantet parket [1] , firkantet mosaik eller firkantet gitter  er en flisebelægning af et plan med lige store firkanter placeret side til side, mens hjørnerne af fire tilstødende firkanter er i ét punkt. Schläfli-symbolet for flisebelægningen er {4,4}, hvilket betyder, at der er 4 firkanter rundt om hvert toppunkt .

Conway kaldte denne mosaik quadrille (quadrille).

Den indvendige vinkel i en firkant er 90 grader, så de fire firkanter i toppunktet giver hele 360 ​​grader. Flisebelægningen er en af ​​de tre almindelige flisebelægninger på flyet . De to andre er den trekantede flisebelægning og den sekskantede flisebelægning .

Ensartede farvelægninger

Der er 9 forskellige ensartede farver af en firkantet flisebelægning. Farver på 4 firkanter efter farveindeks omkring toppunktet: 1111, 1112(i), 1112(ii), 1122, 1123(i), 1123(ii), 1212, 1213, 1234. Kasserne med simpel spejlsymmetri og gennem ( ii) etuier med glidende spejlsymmetri. Tre af disse varianter kan betragtes i det samme fundamentale område som reducerede farvestoffer - 1112 i er opnået fra 1213, 1123 i fra 1234 og 1112 ii fra 1123 ii .

Skakfarvning (farver 1212) er grundlaget for mange spil og puslespil, for eksempel er feltet på et skakbræt en firkantet parket, også til mange andre spil på en ternet bane , krydsord , polyominoer , Life-modellen og andre todimensionelle spil cellulære automater osv. P.

Et bræt i én farve (farver 1111) bruges for eksempel i spillet Go .

Relaterede polyedre og flisebelægninger

Denne fliselægning er topologisk en del af en sekvens af regulære polyedre og flisedelinger, der fortsætter i det hyperbolske plan : {4,p}, p=3,4,5...

Firkantede fliser er en del af en sekvens af regulære polyedre og fliser, der har fire flader pr. toppunkt. Sekvensen starter med et oktaeder , sekvensens Schläfli-symboler er {n,4}, og Coxeter-diagrammerne er CDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngda n har en tendens til uendelighed.

Wythoffs konstruktion fra en firkantet flisebelægning

Ligesom ensartede polyedre er der otte ensartede fliser baseret på en almindelig firkantet flisebelægning.

Ved at male de originale flader i rødt, de oprindelige spidser i gult og de originale kanter i blåt, får vi 8 forskellige fliser. Der er dog kun tre topologisk adskilte fliser - den firkantede flisebelægning , den trunkerede firkantede flisebelægning og den snubte firkantede flisebelægning .

Topologisk ækvivalente flisebelægninger

Andre firkantede fliser kan topologisk være ækvivalente med kvadratiske fliser (4 quads ved hvert toppunkt) .

Isoedriske flisebelægninger har de samme flader (ansigtstransitivitet ) og er toppunkttransitive . Der er 18 muligheder, hvor 6 har trekantede flader, der ikke forbinder kant-til-kant, og andre 6 består af firkanter med to parallelle kanter (trapez). Den givne symmetri forudsætter, at alle ansigter er malet i samme farve [2] .

Isoedriske firkantede fliser
Firkantet
p4m, (*442)
Firkantet p4g
, (4*2)
Rektangel
pmm, (*2222)
Parallelogram
p2, (2222)
Parallelogram
pmg, (22*)
Rombe
cmm, (2*22)
Rhombus
pmg, (22*)
Trapeze
cmm, (2*22)
Firkantet pgg
, (22×)
Deltoid
pmg, (22*)
Firkantet pgg
, (22×)
Firkant
p2, (2222)
Degenererede firkanter eller trekanter, der ikke rører kant-til-kant
Ligebenet
pmg, (22*)
Ligebenet
pgg, (22×)
Ikke- ligesidet
pgg, (22×)
Ikke-ligesidet
p2, (2222)

Pakningscirkler

En firkantet flisebelægning kan bruges til at pakke cirkler ved at placere cirkler med samme diameter centreret i hjørnerne af firkanterne. Hver cirkel er i kontakt med fire andre pakningscirkler ( kontaktnummer ) [3] . Pakningstætheden er . Der er 4 ensartede farver af cirkelpakning.

Beslægtede regulære komplekse uendeligheder

Der er 3 regulære komplekse apeirogoner , der har de samme hjørner som den firkantede flisebelægning. Regulære komplekse apeirogoner har toppunkter og kanter, mens kanter kan indeholde 2 eller flere toppunkter. Regulære apeirogoner p{q}r er afgrænset af udtrykket 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Her antages det, at kanterne indeholder p toppunkter og toppunktet er r -gonal [4] .

Selv-dual Dobbelt
4{4}4 ellerCDel 4node 1.pngCDel 4.pngCDel4node.png 2{8}4 ellerCDel node 1.pngCDel8.pngCDel4node.png 4{8}2 ellerCDel 4node 1.pngCDel8.pngCDel node.png

Se også

Noter

  1. Golomb, 1975 , s. 147.
  2. Grünbaum og Shephard 1987 , s. 473-481.
  3. Critchlow, 1987 , s. 74-75.
  4. Coxeter, 1973 , s. 111-112, 136.

Litteratur

Links