4D plads

Firedimensionelt rum (notation: 4D eller ) er et matematisk objekt , der generaliserer egenskaberne for et tredimensionelt rum . Det skal ikke forveksles med relativitetsteoriens firedimensionelle rum-tid ( Minkowski-rummet ).

Algebraisk kan et firedimensionelt rum konstrueres som et sæt vektorer med fire reelle koordinater . Geometrisk betragtes et firedimensionelt rum i det enkleste tilfælde som et euklidisk rum med fire dimensioner; i en mere generel betragtning har det en ikke-euklidisk metrisk , variabel fra punkt til punkt.

Firedimensionelt rum kan også repræsenteres som et uendeligt antal tredimensionelle rum placeret langs den fjerde koordinatakse, ligesom den tredimensionelle verden består af et uendeligt antal todimensionelle planer placeret langs den tredje akse.

For kortheds skyld angiver præfikset 4- yderligere firedimensionaliteten af ​​det koncept, der følger det. Forkortelsen 3D står for tredimensionelt rum .

Geometri af firedimensionelt euklidisk rum

Vektorer

Punkter og vektorer i tredimensionelt rum med et givet koordinatsystem er defineret af tre koordinater; på samme måde har punkter og vektorer i 4D fire koordinater. 4-vektor eksempel:

Addition og subtraktion af vektorer sker komponent for komponent, som i tre dimensioner. Det skalære produkt af 4-vektorer er defineret af formlen:

Som i det tredimensionelle tilfælde er kvadratroden af ​​skalarkvadraten af ​​en vektor dens norm : . Vinklen mellem vektorer bestemmes af den samme formel som i tredimensionelt rum:

I modsætning til det tredimensionelle tilfælde er der i 4D ingen direkte analog til krydsproduktet . Bivectoren på det ydre produkt kan bruges i stedet .

Stereometri

Geometrien af ​​legemer i 4D er meget mere kompleks end i 3D. I tredimensionelt rum er polyedre begrænset af henholdsvis todimensionelle polygoner (ansigter), i 4D er der 4-polytoper , begrænset af 3-polyedre.

I 3D er der 5 regulære polyedre kendt som de platoniske faste stoffer . I 4 dimensioner er der 6 regelmæssige konvekse 4-polyedre , disse er analoger af de platoniske faste stoffer. Hvis vi slækker på regularitetsbetingelserne, får vi yderligere 58 konvekse semi-regulære 4-polytoper, svarende til 13 semi-regulære arkimediske faste stoffer i tre dimensioner. Hvis vi fjerner konveksitetsbetingelsen, får vi yderligere 10 ikke-konvekse regulære 4-polyedre.

I 3D-rum kan kurver danne knuder , men overflader kan ikke (medmindre de skærer sig selv). I 4D ændrer situationen sig: knob fra kurver kan let løses ved hjælp af den fjerde dimension, og ikke-trivielle (ikke-selv-skærende) knuder kan dannes fra todimensionelle overflader [1] . Da disse overflader er todimensionelle, kan de danne mere komplekse knuder end i 3-dimensionelle rum. Et eksempel på sådan en knude af overflader er den velkendte " Klein flaske ".

Måder at visualisere 4D-kroppe på

Projektioner

Projektion - billedet af en n-dimensionel figur på det såkaldte billede (projektion) underrum på en måde, der er en geometrisk idealisering af optiske mekanismer. Så for eksempel i den virkelige verden er konturen af ​​skyggen af ​​et objekt en projektion af konturen af ​​dette objekt på en flad eller tæt på en flad overflade - projektionsplanet. Når man betragter projektioner af firedimensionelle legemer, udføres projektionen på et tredimensionelt rum, det vil sige i forhold til det firedimensionale rum, på billedet (projektion) underrummet (det vil sige et rum med et tal af dimensioner eller, med andre ord, en dimension, der er 1 mindre end antallet af dimensioner (dimension ) af selve det rum, hvori det projicerede legeme er placeret). Projektioner er parallelle (projektionsstråler er parallelle) og centrale (projektionsstråler kommer fra et eller andet punkt). Nogle gange bruges også stereografiske projektioner. Stereografisk projektion er en central projektion, der kortlægger n-1-sfæren af ​​en n-dimensionel kugle (med et punkt udstanset) på n-1 hyperplanet. En N-1-sfære (hypersfære) er en generalisering af en kugle, en hyperflade i n-dimensional (med antallet af dimensioner eller dimension n) euklidisk rum, dannet af punkter lige langt fra et givet punkt, kaldet kuglens centrum , en hypersfære er et legeme (en region af hyperspace), afgrænset af en hypersfære .

Sektioner

Sektion - et billede af en figur dannet ved at dissekere en krop af et plan uden at afbilde dele ud over dette plan. Ligesom der bygges todimensionale sektioner af tredimensionelle legemer, er det muligt at konstruere tredimensionelle udsnit af firedimensionelle legemer, og ligesom todimensionelle udsnit af det samme tredimensionelle legeme kan afvige meget i form, så tredimensionelle sektioner vil være endnu mere forskellige, da de også vil ændre antallet af flader og antallet af sider for hver flade af sektionen. Konstruktionen af ​​tredimensionelle sektioner er vanskeligere end skabelsen af ​​projektioner, da projektioner (især for simple kroppe) kan opnås analogt med todimensionelle, og sektioner bygges kun på en logisk måde, mens hvert enkelt tilfælde er betragtes særskilt.

Reamers

Udfoldelsen af ​​en hyperflade er en figur opnået i et hyperplan (underrum) med en sådan kombination af punkter af en given hyperflade med dette plan, hvori linjernes længder forbliver uændrede. Ligesom 3D-polyedre kan bestå af papirudfoldninger, kan multidimensionelle kroppe repræsenteres som udfoldninger af deres hyperoverflader.

Forsøg på videnskabelig forskning

Efter at Bernhard Riemann teoretisk havde underbygget muligheden for eksistensen af ​​et n -dimensionelt rum i 1853 , blev forsøg på at opdage og undersøge hypotetiske yderligere dimensioner af rummet gentagne gange udført af både seriøse videnskabsmænd og alle slags okkultister og esoterikere [2] . Den engelske matematiker Charles Hinton fra det 19. århundrede udgav en række bøger om emnet og studerede problemet med visualisering til bunds. Efter hans mening deler vores tredimensionelle verden den for os usynlige firedimensionelle verden op i to dele (svarende til hvordan et fly deler vores rum i to). Han kaldte betinget disse dele på græsk Ana (øvre verden) og Kata (nedre verden) [3] .

I anden halvdel af det 19. - tidlige 20. århundrede blev studiet af dette emne grundigt miskrediteret af spiritismen , som betragtede de usynlige dimensioner som bolig for de dødes sjæle, og Anas og Katas verdener blev ofte identificeret med helvede og paradis; Filosoffer og teologer har bidraget. Samtidig tiltrak spørgsmålet sig opmærksomhed fra så fremtrædende videnskabsmænd som fysikerne William Crookes og Wilhelm Weber , astronomen Johann Carl Friedrich Zöllner (forfatter til bogen "Transcendental Physics"), nobelprismodtagerne Lord Rayleigh og Joseph John Thomson [4] . Den russiske fysiker Dmitry Bobylev skrev en encyklopædisk artikel om emnet.

I 1917 viste Paul Ehrenfest , at Poisson-Laplace-ligningen , som bruges til at beregne både elektromagnetiske felter og gravitationsfelter , ikke har nogen løsninger, hvis antallet af rumdimensioner er mere end tre. Desuden er uforvrænget udbredelse af elektromagnetiske bølger og lydbølger (uden efterklang ) kun mulig i rum med dimensionerne et og tre. Disse konklusioner er gyldige både i klassisk og moderne fysik [5] .

Fysikeren og filosoffen Ernst Mach foreslog gentagne gange, at antallet af dimensioner af rummet ikke nødvendigvis er lig med tre, for eksempel i en artikel fra 1872: de ønskede at forklare ved molekylære processer i rummet med tre dimensioner." I 1914 udgav Gunnar Nordström sin version af en ny teori om tyngdekraft, baseret på firedimensionelt rum i femdimensionelt rum-tid (4 + 1-modellen); denne teori passede ikke til observationerne og blev afvist. I 1920'erne dukkede Kaluza-Klein-teorien , ens i geometrisk struktur (den samme 4 + 1-model), op , der kombinerede Einsteins generelle relativitetsteori og Maxwells elektromagnetisme , alle effekter blev forklaret af de geometriske egenskaber af rum og tid. I moderne strengteori har rumtid 11 dimensioner, se højere dimensioner [6] .

I litteratur

Temaet om yderligere dimensioner af rummet og temaet om parallelle verdener tæt på det er længe blevet populært i science fiction og filosofisk litteratur. H. G. Wells , en af ​​de første til at beskrive tidsrejser , berørte i mange af hans andre værker også de usynlige dimensioner af rummet: " A Miraculous Visit ", " A Remarkable Case with Davidson's Eyes ", "Crystal Egg", "The Stolen". Krop", " Mennesker som guder ", The Plattner Story. I den sidste historie gennemgår en person, der er smidt ud af vores verden af ​​en katastrofe og derefter vender tilbage, en rumlig refleksion - for eksempel viser hans hjerte sig at være på den rigtige side (dog på grund af nogle forskelle i de kemiske og biologiske egenskaber af "venstre" og "højre" proteinmolekyler, er en sådan organisme muligvis ikke levedygtig. Vladimir Nabokov beskrev en lignende ændring i rumlig orientering i Se på Harlekinerne! (1974). I science fiction i anden halvdel af det 20. århundrede blev den fjerde dimension brugt af så store forfattere som Isaac Asimov , Arthur C. Clarke , Frederick Pohl , Clifford Simak og mange andre. Skabelsen af ​​en firedimensionel tesserakt ligger til grund for plottet i historien af ​​Robert Heinlein , kaldet i den russiske oversættelse " The house that Teal built " [7] .

Valery Bryusov skrev i 1924 digtet "The World of N Dimensions" [8] .

I mystisk litteratur beskrives den fjerde dimension ofte som bolig for dæmoner eller de dødes sjæle. Disse motiver findes for eksempel i George MacDonald (romanen "Lilith"), i flere historier af Ambrose Bierce , i A.P. Chekhovs historie "Hemmeligheden". Matematiker - teosof Peter Uspensky udviklede ideer både om den mystiske forståelse af den fjerde dimension og om dens fortolkning fra et videnskabeligt synspunkt. I romanen af ​​J. Conrad og F. M. Ford "The Inheritors" ( The Inheritors , 1901) forsøger indbyggerne i den fjerde dimension at fange vores univers [7] .

I billedkunsten

Begrebet den fjerde dimension har haft en betydelig indflydelse på billedkunsten. Perspektivets rolle er faldet; for eksempel afbildede kubisterne ( Picasso , Metzinger m.fl.) i deres malerier ofte mennesker og genstande på samme tid fra forskellige vinkler og tilføjede derved dimensioner til dem (se f.eks. maleriet " Avignon Jomfruer "). Guillaume Apollinaire skrev i 1913 [9] .:

I dag begrænser videnskabsmænd sig ikke længere til Euklids tre dimensioner. Og kunstnere, hvilket er ganske naturligt (selvom nogen vil sige det kun takket være intuitionen), tiltrak nye muligheder for rumlige dimensioner, som i moderne ateliers sprog er blevet kendt som den fjerde dimension. Eksisterende i sindet som et billede af et objekts plasticitet, er den fjerde dimension født takket være tre kendte dimensioner: den repræsenterer rummets uendelighed i alle retninger på ethvert givet tidspunkt. Det er selve rummet, selve uendelighedens dimension; den fjerde dimension forlener objekter med plasticitet.

Surrealisten Marcel Duchamp , som var godt bekendt med multidimensionel matematik og metoder til dens visualisering, var engageret i søgen efter nye midler . Blandt de mest karakteristiske eksempler på hans arbejde er malerierne "Nøgen på trappen, nr. 2" og "Stort glas". Lignende motiver kan spores blandt futuristerne , suprematisterne (" Malevichs værker fra denne periode ligner flade dele af objekter fra højere dimensioner ") og surrealisterne. Salvador Dali har malerier "Korsfæstelsen eller den hyperkubiske krop" og "På jagt efter den fjerde dimension" [9] .

Noter

1. ↑ J. Scott Carter, Masahico Saito. Knyttede overflader og deres diagrammer
2. ↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts utrolige tal = Professor Stewarts utrolige tal. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 85-89. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
3. ↑ Ibanez, Raul, 2014 , s. 59-60, 71.
4. ↑ Ibanez, Raul, 2014 , s. 75-81..
5. ↑ Nakhin P. J. The Mystery of the Time Machine: Time Travel in Physics, Philosophy and Fiction . - M. : DMK Press, 2021. - S. 85. - 374 s. - ISBN 978-5-97060-871-5 .
6. ↑ Vladimirov Yu. S., 2010 , s. 63-68.
7. ↑ 1 2 Ibanez, Raul, 2014 , s. 87-102..
8. ↑ Verden af ​​N dimensioner
9. ↑ 1 2 Ibanez, Raul, 2014 , s. 133-155..

Litteratur

• Vladimirov Yu. S. Rum-tid: eksplicitte og skjulte dimensioner. - Ed. 2., revideret. og yderligere - M . : Boghuset "LIBROKOM", 2010. - 208 s. - (Videnskab - for alle! Mesterværker af populærvidenskabelig litteratur). - ISBN 978-5-397-01072-6 .
• Ibanez, Raul. Fjerde dimension. Er vores verden en skygge af et andet univers?. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Matematikkens verden: i 45 bind, bind 6). - ISBN 978-5-9774-0631-4 .

Links

• Dimensioner - videovandring gennem matematiske dimensioner, forskellige repræsentationer af multidimensionelle objekter, detaljerede noter med links  (russisk)
•  Frame-by-frame-animation af 4D-3D-analogier
• Find vejen ud af labyrinten i 3D og 4D. Praktisk kontrol på tastaturet. Java  (engelsk) eller til WinXP
• Jenn3D  (engelsk)  - styret flyvning i en 3 - stereografisk projektion af 4 - polytoper , for eksempel en tesserakt
•  4D euklidisk rum
•  4D Building Blocks - Interaktivt spil til at udforske 4D-rummet
• 4DNav - Et simpelt værktøj til at se et 4D-objekt i fire 3D-projektioner  (fr.) bruger ADSODAs retlineære designalgoritme  (eng.)
• 4-dimensionel wiki af Garrett  Jones