Honeycomb (geometri)

En honeycomb  er en fyldning af rummet med ikke-skærende polyedre , hvor der ikke er noget ufyldt rum. Dette er en generalisering af det matematiske begreb mosaik eller parket til enhver dimension.

Honningkager betragtes normalt i det sædvanlige euklidiske ("flade") rum. De kan også konstrueres i ikke-euklidiske rum , såsom den hyperbolske honeycomb . Ethvert endeligt ensartet polyeder kan projiceres på dets circumsphere , hvilket giver en ensartet honningkage i det sfæriske rum.

Klassifikation

Der er uendeligt mange celler, og de kan kun delvist klassificeres. De mest almindelige fliser får størst interesse, selvom en rig og bred vifte af andre fliser bliver opdaget igen og igen.

De enkleste honningkager er dannet af lag af prismer bygget af parketgulve på et plan. Især kopier af enhver parallelepiped kan fylde rummet, hvor kubiske honningkager er et specialtilfælde, da de alene danner regulære honningkager i almindeligt (euklidisk) rum. Et andet interessant eksempel er Hill tetrahedron og dens generaliseringer, som også danner en mosaik i rummet.

Homogene 3D honeycombs

En 3D homogen honeycomb  er en honeycomb i 3D-rum sammensat af ensartede polyedre med de samme toppunkter (dvs. isometrigruppen af ​​3D-rum, der bevarer mosaikken, er transitiv ved toppunkterne ). Der er 28 eksempler på konvekse fliser i det tredimensionelle euklidiske rum [1] , også kaldet arkimedeiske honeycombs .

En honeycomb kaldes regulær , hvis isometrigruppen, der bevarer flisebelægningen , virker transitivt på flagene , hvor flaget  er et toppunkt, der ligger på en kant, der hører til ansigtet (alt sammen). Enhver almindelig honningkage er automatisk homogen. Der er dog kun én type almindelige honeycomb i euklidiske tredimensionelle rum - kubiske honeycombs . To celler er kvasi-regulære (lavet af to typer regulære celler):

Type kubisk honningkage Kvasi-regulære honningkager
celler kubik Octaedral og tetraedral
Lag

Den tetraedriske-oktaedriske honeycomb og den roterede tetraedriske-oktaedriske honeycomb består af lag dannet af 3. eller 2. positioner af tetraedre og oktaeder. Et uendeligt antal unikke celler kan opnås ved at veksle disse lag på forskellige måder.

Pladsfyldende polyedre

Tredimensionelle honningkager, der har alle celler identiske, inklusive symmetri, siges at være celletransitive eller isokoriske . En celle af sådanne honningkager omtales som rumfyldende polyedre [2] .

Kun fem rumfyldende polyedre kan udfylde det 3-dimensionelle euklidiske rum ved kun at bruge parallel translation. De kaldes paralleloeder :

  1. Kubiske honningkager (eller variationer: cuboid , rombisk sekskant eller cuboid );
  2. Sekskantede prismatiske honningkager [3] ;
  3. Rhombiske dodekaedriske honeycombs ;
  4. Aflange dodekaedriske honeycombs [4] ;
  5. Honeycomb fra dybt trunkerede terninger [5] .

kubisk honningkage
Sekskantede prismatiske honeycombs
Rhombic dodecahedron
Langstrakt rombisk dodekaeder
Afkortet oktaeder
Terning
(parallellepipedum) 		Sekskantet prisme rombisk dodekaeder Forlænget dodekaeder afkortet oktaeder
3 ribben længder 3+1 kantlængder 4 ribben længder 4+1 ribben længder 6 ribben længder

Andre bemærkelsesværdige eksempler:

Andre honningkager med to eller flere polyedre

Nogle gange kan to [9] eller flere forskellige polytoper kombineres for at fylde et mellemrum. Et velkendt eksempel er Weir-Phelan strukturen , lånt fra strukturen af ​​clathrate hydrat krystaller [10] .


Weir-Phelan struktur (med to typer celler)

Ikke-konvekse 3D honeycombs

Dokumenterede eksempler er sjældne. Der kan skelnes mellem to klasser:

Hyperbolske honeycombs

I tredimensionelt hyperbolsk rum afhænger den dihedrale vinkel af et polyeder af størrelsen af ​​polyederet. Almindelige hyperbolske honningkager omfatter to typer med fire eller fem dodekaeder , der deler kanter. Deres dihedriske vinkler ville så være π/2 og 2π/5, begge mindre end vinklerne for det euklidiske dodekaeder. Bortset fra denne effekt opfylder hyperbolske honeycombs de samme begrænsninger som euklidiske honeycombs og polyedre.

4 typer kompakte regulære hyperbolske honeycombs og mange homogene hyperbolske honeycombs er undersøgt .

Dualitet af honningkager i tre dimensioner

For alle celler er der dobbeltceller, der kan udskiftes:

celler til toppen. kanter til kanter.

For korrekte celler:

Selvdobbelte honningkager

Honningkager kan være selvstændige . Alle n - dimensionelle hyperkubiske honningkager med Schläfli-symboler {4,3 n −2 ,4} er selvduale.

Se også

Noter

  1. ↑ Grünbaum, 1994 .
  2. ↑ Weisstein, Eric W. Space-filling polyhedron  på Wolfram MathWorld -webstedet .
  3. ↑ [1] Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine Homogene rumfyldende prismer baseret på trekant, firkant og sekskant
  4. ↑ [2] Arkiveret 3. marts 2016 på Wayback Machine Homogene rumfyldende rombe-sekskantede dodekaeder
  5. ↑ [3] Arkiveret 14. januar 2006 på Wayback Machine Homogene rumfyldende, trunkerede oktaedre
  6. ↑ Voronoi Polyhedron
  7. ↑ Qian, Strahs, Schlick, 2001 , s. 1843–1850
  8. ↑ Delgado-Friedrichs, O'Keeffe, 2005 , s. 358-362.
  9. ↑ Arkiveret kopi (link ikke tilgængeligt) . Hentet 16. maj 2012. Arkiveret fra originalen 30. juni 2015.   Gabbrielli, Ruggero. Et trettensidet polyeder, der fylder rummet med sin chirale kopi.
  10. ↑ Pauling, 1960 .
  11. ↑ Inchbald, 1997 , s. 213-219.

Litteratur

Links

 Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i rum med dimensionerne 2-10
Familie / /
Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Sekskantet
Homogene konvekse honningkager {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4
ensartet femdimensionel honningkage {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Honeycomb med 24 celler
ensartet seksdimensionel honningkage {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6
ensartet syvdimensionel honeycomb {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _
ensartet ottedimensionel honningkage {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31
ensartet ni-dimensionel honeycomb {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21
Ensartede n -dimensionelle honningkager {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21