Regulær femkant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. november 2020; checks kræver 20 redigeringer .

Pentagon
regulær femkant
Type	regulær polygon
ribben	5
Schläfli symbol	{5}
Coxeter-Dynkin diagram
En slags symmetri	Dihedral gruppe (D 5 )
Firkant	${\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}=$ ${\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$
Indre hjørne	108°
Ejendomme
konveks , indskrevet , ligesidet , ligekantet , isotoksal
Mediefiler på Wikimedia Commons

En regulær femkant (eller en femkant fra græsk πενταγωνον ) er en geometrisk figur , en regulær polygon med fem sider.

Egenskaber

En regulær femkant har en vinkel

\alpha ={\frac {(n-2)}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {3}{5}}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }

Arealet af en regulær femkant beregnes ved hjælp af en af formlerne:

S={\frac {5}{4}}t^{2}{\mathop {{\mathrm {ctg}}}}\,{\frac {\pi }{5}}={\frac {{\ sqrt 5}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}={\frac {5}{12}}Rd={\frac {5}{2 }}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,{\frac {\pi }{ 5}}

, hvor er radius af den omskrevne cirkel , er radius af den indskrevne cirkel, er diagonalen , er siden.

R

r

d

t

Højde af en regulær femkant:

h={\frac {\operatørnavn {tg} \,72^{\circ }}{2}}t={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2 }}t\ca. 1{,}5388417685876268t

Diagonalerne af en regulær femkant er trisektorerne af dens indre vinkler.
Forholdet mellem diagonalen af en regulær femkant til siden er lig med det gyldne snit , det vil sige tallet . ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Derfor kan radius af den indskrevne cirkel, radius af den omskrevne cirkel, højden og arealet af en regulær femkant beregnes uden at bruge trigonometriske funktioner:

Side:

t=R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1{,}1755705045849463~R

Radius af indskrevet cirkel:

r={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}6881909602355869~t

Radius af den omskrevne cirkel:

R={\frac {{\sqrt {1}}0{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{10}}t\approx 0{,}85065080835204~t

Diagonal:

d={\sqrt {\Phi {\sqrt {5}}}}R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t\approx 1{,}9021130325903073~R \ca. 1{,}618033988749895~t

Firkant:

S={\frac {{\sqrt {5}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{4}}t^{2}\approx 1{,}7204774005889671~ t^{2}

Det er umuligt at fylde et fly uden huller med en regulær femkant (se også Parket )
Forholdet mellem arealer af en regulær femkant og en anden regulær femkant dannet af skæringspunktet mellem diagonalerne i den oprindelige (midten af den femkantede stjerne)

{\frac {S}{s}}=\Phi ^{4}=3\Phi +2={\frac {3{\sqrt {5}}+7}{2}}\ca. 6{ ,}854101966249685

hvor er forholdet mellem det gyldne snit .

\Phi

Bygning

En regulær femkant kan konstrueres ved hjælp af et kompas og en rettekant, eller ved at indskrive den i en given cirkel , eller ved at bygge den fra en given side. Denne proces er beskrevet af Euklid i hans Elementer omkring 300 f.Kr. e.

Her er en metode til at konstruere en regulær femkant i en given cirkel:

Konstruer en cirkel, hvori femkanten vil blive indskrevet, og angiv dens centrum som O . (Dette er den grønne cirkel i diagrammet til højre).
Vælg punkt A på cirklen , som vil være et af toppunkterne i femkanten. Konstruer en linje gennem O og A .
Konstruer en linje vinkelret på linje OA , der går gennem punkt O . Angiv et af dets skæringspunkter med cirklen som punkt B .
Plot punkt C midt mellem O og B .
Tegn en cirkel centreret i punkt C gennem punkt A. Udpeg dens skæringspunkt med linjen OB (inde i den oprindelige cirkel) som punkt D .
Tegn en cirkel centreret ved A gennem punkt D , marker skæringspunktet mellem denne cirkel med originalen (grøn cirkel) som punkt E og F.
Tegn en cirkel centreret ved E gennem punktet A . Udpeg dens anden skæring med den oprindelige cirkel som punkt G .
Tegn en cirkel centreret ved F gennem punktet A . Udpeg dens anden skæring med den oprindelige cirkel som punkt H .
Konstruer en regulær femkant AEGHF .

Konstruktion af en regulær femkant
Konstruktion af en regulær femkant
Konstruktion af en regulær femkant
En alternativ metode til at konstruere en regulær polygon ved hjælp af en lineal og kompas

Kom med en papirstrimmel

En almindelig femkant kan fås ved at binde en papirstrimmel i en knude.

I naturen

I naturen er der ingen krystaller med flader i form af en regulær femkant, men undersøgelser af dannelsen af vandis på en flad kobberoverflade ved temperaturer på 100-140 K har vist, at for det første kæder af molekyler omkring 1 nm brede vises på overfladen ikke af en sekskantet, men af en femkantet struktur. [1] Pentasymmetri kan ses i mange blomster og nogle frugter, såsom denne germanske loquat . Pigghuder (for eksempel søstjerner ) og nogle planter har pentasymmetri . Se også Mønstre i naturen .

Pigghuder , såsom søstjerner , har pentasymmetri
Pentasymmetri kan ses i mange blomster og nogle frugter, såsom germansk loquat .

Interessante fakta

Dodekaederet er det eneste regulære polyeder , hvis ansigter er regulære femkanter.
En regulær femkant er en regulær polygon med det mindste antal vinkler, der ikke kan flisebelægges på et plan.
En regulær femkant med alle dens diagonaler er en projektion af en regulær fem -celle (4-simplex).
Pentagon - bygningen af det amerikanske forsvarsministerium - har form som en regulær femkant.

Se også

Noter

↑ En endimensionel isstruktur bygget af femkanter. naturmaterialer. 8. marts 2009 Arkiveret 22. april 2009 på Wayback Machine

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Schläfli symbol
Polygoner	{en} {2} {3} {fire} {5} {6} {7} {otte} {9} {ti} {elleve} {12} {fjorten} {femten} {17} {atten} {tyve} {tredive} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjerne polygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Flade parketgulve _	{3,6} {4,4} {6,3}
Almindelige polyedere og kugleformede parketgulve	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedre	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honningkager	{4,3,4}
Firedimensionelle polyedre	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}