Hyperoktaeder

Hyperoctahedron er en geometrisk figur i et n-dimensionelt euklidisk rum : en regulær polytop , dobbelt til en n-dimensionel hyperkube . Andre navne: kokub [1] , orthoplex , cross-polytope .

Schläfli-symbolet for et n-dimensionelt hyperoktaeder er {3;3;...;3;4}, hvor det samlede tal i parentes (n-1) er.

Hyperoktaederet kan forstås som en kugle i byblokmetrikken .

Særlige tilfælde

Antal målinger n	Figurnavn	Schläfli symbol
en	linjestykke	{}
2	firkant	{fire}
3	oktaeder	{3;4}
fire	seksten celler	{3;3;4}
5	5-orthoplex	{3;3;3;4}

Beskrivelse

$n$ -dimensional hyperoktaeder har toppunkter; ethvert toppunkt er forbundet med en kant til et hvilket som helst andet - bortset fra toppunktet, der er symmetrisk med det i forhold til midten af polytopen. $2n$ $n>1)$

Alle dens dimensionelle facetter er de samme regulære simplicer ; deres nummer er $k$ $(k<n)$ $2^{k+1}C_{n}^{k+1}.$

Vinklen mellem to tilstødende dimensionelle hyperflader (for er lig med . $(n-1)$ $n>1)$ $\arccos \left({\frac {2-n}{n))\right)$

$n$ -dimensionelle hyperoktaeder kan repræsenteres som to identiske regulære dimensionelle pyramider knyttet til hinanden ved deres baser i form af -dimensionelle hyperoktaeder. $(n>1)$ $n$ $(n-1)$

I koordinater

$n$ -dimensionelle hyperoktaeder kan placeres i det kartesiske koordinatsystem, så dets toppunkter har koordinater.I dette tilfælde vil hver af dens -dimensionelle hyperflader være placeret i en af orthanter af -dimensionelt rum. $(\pm 1;0;\ldots ;0),$ $(0;\pm 1;\ldots ;0),\ldots ,$ $(0;0;\ldots ;\pm 1).$ $2^{n}$ $(n-1)$ $2^{n}$ $n$

Koordinaternes oprindelse vil være polytopens symmetricenter, såvel som midten af dens indskrevne, omskrevne og semi-indskrevne hypersfærer . $(0;0;...;0)$

Overfladen af hyperoktaederet vil være stedet for punkter, hvis koordinater opfylder ligningen $(x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n}),$

\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|=1,

og det indre er stedet for punkter, for hvilke

\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|<1.

Metriske karakteristika

Hvis et -dimensionelt hyperoktaeder har en længdekant, så udtrykkes dets -dimensionelle hypervolumen og -dimensionelle overfladehyperareal hhv. $n$ $(n>1)$ $en,$ $n$ $(n-1)$

V_{n}={\frac {(a{\sqrt {2}})^{n}}{n!}}),

S_{n-1}={\frac {a^{n-1}{\sqrt {n2^{n+1)))){(n-1)!))).

Radius af den beskrevne -dimensionelle hypersfære (passer gennem alle toppunkter) vil være lig med $(n-1)$

R=\rho _{0}={\frac {a}{\sqrt {2}}},

radius af den -th semi-indskrevne hypersfære (berører alle- dimensionelle hyperflader i deres centre; ) - $k$ $k$ $k<n$

\rho _{k}={\frac {a}{\sqrt {2(k+1)))},

radius af en indskrevet hypersfære (der berører alle -dimensionelle hyperflader i deres centre) — $(n-1)$

r=\rho _{n-1}={\frac {a}{\sqrt {2n}}}.

Noter

↑ E. Yu. Smirnov. Refleksionsgrupper og regulære polyedre. - M .: MTSNMO, 2009. - S. 44. ( Arkiveret kopi af 27. januar 2021 på Wayback Machine )

Links

Weisstein, Eric W. Hyperoctahedron hos Wolfram MathWorld .

Polyeder

Korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet