Simplex

Et simpleks eller n - dimensionelt tetraeder (fra latin simplex 'simple') er en geometrisk figur , som er en n - dimensionel generalisering af en trekant .

Definition

En simplex (mere præcist en n -simplex , hvor tallet n kaldes simpleksets dimension ) er det konvekse skrog af n  + 1 punkter i et affint rum (af dimension n eller større), der antages at være affint uafhængigt (dvs. ikke ligger i et underrum med dimension n  − 1). Disse punkter kaldes hjørner af [1] [2] simplekset .

En simplex kan karakteriseres som et sæt af alle mulige konvekse kombinationer af dets hjørner : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Relaterede definitioner

En åben simplex er et sæt af alle mulige barycentriske kombinationer af dets hjørner med positive koefficienter (i dette tilfælde kaldes et simpleks med de samme knudepunkter, der opfylder definitionen fra det foregående afsnit, også et lukket simpleks ; i overensstemmelse med terminologien for generel topologi , en lukket simplex er lukningen af den tilsvarende åbne simplex, og denne åbne simplex er en åben kerne af en lukket simplex) [1] [3] .
Skelettet af en simplex er mængden af alle dets hjørner [4] .
Kanterne på en simplex er de segmenter, der forbinder dets hjørner [5] .
Overflader af dimension s af en simplex kaldes s -dimensionelle simplices, hvis skeletter er undermængder af skelettet af den oprindelige simplex [6] .
En simpleks siges at være orienteret, hvis dens kerne er et velordnet sæt ; det antages, at de ordrer, der adskiller sig fra hinanden ved en jævn permutation af hjørner, definerer den samme orientering (en orienteret 0-simplex er et punkt, hvortil der er tildelt et fortegn: "plus" eller "minus") [6] [7 ] .
Et simpleks, der ligger i det euklidiske rum , kaldes regulært , hvis alle dets kanter har samme længde [8] .

Standard simplex

Standard n - simplex er en delmængde af det aritmetiske rum , defineret som [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots,t_{n}):\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Dens toppunkter er punkter [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

Der er en kanonisk en-til-en afbildning fra en standard n - simplex til enhver anden n - simplex Δ med toppunktskoordinater : $(v_{0},v_{1},\dots,v_{n})$

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Værdierne for et givet punkt i simpleksen Δ kaldes dets barycentriske koordinater [3] . $t_{i}$

Egenskaber

En n -dimensional simplex har hjørner, hvoraf enhver danner en k -dimensional flade. $n+1$ $k+1$
- Især er antallet af k - dimensionelle flader i en n - simplex lig med den binomiale koefficient ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- Især antallet af flader af den højeste dimension falder sammen med antallet af hjørner og er lig med . $n+1$
Det orienterede volumen af en n - simplex i et n - dimensionelt euklidisk rum kan bestemmes af formlen $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).$
- Cayley-Menger-determinanten giver dig mulighed for at beregne volumenet af en simpleks, ved at kende længden af dens kanter: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},$

hvor er afstanden mellem i -th og j -th toppunkter, n er dimensionen af rummet . Denne formel er en generalisering af Herons formel for trekanter.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Volumenet af en regulær n -simplex med enhedsside er . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

Radius af den beskrevne n -dimensionelle kugle opfylder relationen $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

hvor er rumfanget af simplekset, og

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.

Bygning

Hvis dimensionen af et rum er n , så kan et hyperplan tegnes gennem et hvilket som helst n af dets punkter , og der er sæt af n  + 1 punkter, hvorigennem hyperplanet ikke kan tegnes. Således er n  + 1 det mindste antal af sådanne punkter i det n - dimensionelle rum , der ikke ligger i det samme hyperplan; disse punkter kan tjene som hjørner af et n - dimensionelt polyeder [10] .

Det enkleste n - dimensionelle polyeder med n  + 1 hjørner kaldes et simpleks (navnet " n - dimensionelt tetraeder " accepteres også). I lavere dimensionelle rum svarer denne definition til følgende figurer [11] :

0-simplex ( punkt ) - 1 toppunkt;
1-simplex ( segment ) - 2 hjørner;
2-simplex ( trekant ) - 3 hjørner;
3-simplex ( tetraeder ) - 4 hjørner.

Alle disse figurer har tre fælles egenskaber.

Ifølge definitionen er antallet af hjørner for hver figur én mere end rumdimensionen.
Der er en generel regel for at konvertere lavere dimensionelle simplices til højere dimensionelle simplices. Den består i, at der fra et eller andet punkt af simplex tegnes en stråle , der ikke ligger i denne simpleks affine skal , og der vælges et nyt vertex på denne stråle, som er forbundet med kanter til alle hjørner af originalen. simpleks.
Som det følger af proceduren beskrevet i afsnit 2, er ethvert hjørne af simplekset forbundet med kanter til alle andre hjørner.

Beskrevet sfære

En n - sfære kan beskrives omkring enhver n - simplex i det euklidiske rum .

Bevis

For en 1-simplex er denne påstand indlysende. Den beskrevne 1-kugle vil være to punkter lige langt fra segmentets centrum, der falder sammen med segmentets ender, og dens radius vil være R = a /2. Lad os tilføje endnu et punkt til 1-simplexen og prøve at beskrive en 2-sfære omkring dem.

Vi konstruerer en 2-kugle s 0 med radius a /2 på en sådan måde, at segmentet AB er dets diameter . Hvis punktet C er uden for cirklen s 0 , så kan du ved at øge cirklens radius og flytte den mod punktet C sikre, at alle tre punkter er på cirklen. Hvis punktet C ligger inde i cirklen s 0 , så kan du tilpasse cirklen under dette punkt ved at øge dens radius og skifte i retning modsat punktet C. Som det fremgår af figuren, kan dette under alle omstændigheder gøres, når punkt C ikke ligger på samme linje som punkt A og B. Den asymmetriske placering af punktet C i forhold til segmentet AB er heller ikke en hindring .

I betragtning af det generelle tilfælde, antag, at der eksisterer en ( n  − 1)-kugle S n −1 med radius r afgrænset omkring en eller anden ( n −1)-dimensionel figur. Placer kuglens centrum ved koordinaternes begyndelse. Kugleligningen vil se ud

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Lad os konstruere en n -kugle centreret i punktet (0, 0, 0, ... 0, h S ) og radius R , og

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Ligningen for denne sfære

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

eller

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Ved at indsætte x n = 0 i ligning (2), får vi ligning (1). For enhver h S er kuglen S n −1 således en delmængde af kuglen S n , nemlig dens snit i planen x n = 0.

Antag, at punkt C har koordinater ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Lad os transformere ligning (2) til formen

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

og indsæt koordinaterne for punkt C i det :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Udtrykket i venstre side er kvadratet af afstanden RC fra origo til punktet C , hvilket giver os mulighed for at bringe den sidste ligning til formen

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

hvorfra kan vi udtrykke parameteren h S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Det er klart, at h S eksisterer for enhver RC , X n og r , undtagen for X n = 0. Det betyder, at hvis punktet С ikke ligger i sfærens plan S n −1 , kan man altid finde en parameter h S sådan at på kuglen S n med centrum (0, 0, 0, ..., h S ) vil både kuglen S n −1 og punktet C ligge . En n -sfære kan således beskrives omkring et hvilket som helst n  + 1-punkt, hvis n af disse punkter ligger på den samme ( n  − 1) -sfære, og det sidste punkt ikke ligger med dem i samme ( n  − 1) - fly.

Argumenterer man ved induktion , kan man argumentere for, at en n -sfære kan beskrives omkring et hvilket som helst n  + 1-punkt, så længe de ikke ligger i samme ( n  − 1)-plan.

Antal sider af en simplex

En simplex har n  + 1 hjørner, som hver er forbundet med kanter til alle andre hjørner.

Da alle hjørnerne i en simpleks er indbyrdes forbundne, har enhver delmængde af dens hjørner den samme egenskab. Dette betyder, at enhver delmængde af L  + 1 hjørner af en simpleks definerer dens L - dimensionelle flade, og denne flade er i sig selv en L -simplex. Så for en simplex er antallet af L -dimensionelle flader lig med antallet af måder at vælge L  + 1 toppunkt fra det samlede sæt af n  + 1 toppunkter.

Betegn med symbol K ( L , n ) antallet af L - dimensionelle flader i en n - polytop; derefter for n - simpleks

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

hvor er antallet af kombinationer fra n til k . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

Især er antallet af flader af den højeste dimension lig med antallet af hjørner og er lig med n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relationer i den regulære simplex

For en regulær n - dimensional simplex betegner vi:

$-en$ - sidelængde;
$H_n$ - højde;
$V_{n}$ - volumen;
$R_n$ er radius af den omskrevne kugle;
$r_{n}$ er radius af den indskrevne kugle;
$\alpha_{n}$ - dihedral vinkel .

Derefter

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [otte]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2))$

Formler for en almindelig simplex

Antal L-dimensionelle flader	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Højde	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Bind	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Radius af den omskrevne kugle	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Radius af den indskrevne kugle	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Dihedral vinkel	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Simplexes i topologi

Et topologisk simpleks er en delmængde af et topologisk rum , der er homøomorft til et simpleks af et eller andet affint rum (eller tilsvarende til et standardsimplex af den tilsvarende dimension). Begrebet en topologisk simplex ligger til grund for teorien om simplicial komplekser (et simplicial kompleks er et topologisk rum repræsenteret som en forening af topologiske simplices, der danner en triangulering af et givet rum) [12] .

Se også

Noter

↑ 1 2 Aleksandrov og Pasynkov, 1973 , s. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Matematisk encyklopædi. T. 4 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivkopi dateret 21. januar 2022 på Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , s. 355.
↑ Alexandrov og Pasynkov, 1973 , s. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Kompleks // Matematisk encyklopædi. bind 2 / kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivkopi dateret 20. november 2012 på Wayback Machine - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Grundlæggende om matematisk analyse. 2. udg. — M .: Mir , 1976. — 319 s. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n -Simplex // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - s. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin og Manin, 1986 , s. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , s. 353-355.
↑ Kostrikin og Manin, 1986 , s. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Simplicial space // Matematisk encyklopædi. T. 4 / Ch. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivkopi dateret 21. januar 2022 på Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1168.

Litteratur

P. S. Alexandrov . kombinatorisk topologi. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 s.
P. S. Alexandrov . Forelæsninger om analytisk geometri. — M .: Nauka , 1968. — 912 s.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Introduktion til dimensionsteori. Introduktion til teorien om topologiske rum og den generelle dimensionsteori. — M .: Nauka , 1973. — 576 s.
V. G. Boltyansky . Optimal styring af diskrete systemer. — M .: Nauka , 1973. — 448 s.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Lineær algebra og geometri. 2. udg. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
L. S. Pontryagin . Grundlæggende om kombinatorisk topologi. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 s. - S. 23-31.

Links

Simplex -artikel fra Great Soviet Encyclopedia .

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik