Mobius-striben

Möbius-striben ( Möbius-striben , Möbius -løkke ) er et topologisk objekt, den enkleste ikke- orienterbare overflade med en grænse, ensidig, når den er indlejret i det sædvanlige tredimensionelle euklidiske rum . $\mathbb {R} ^{3}$

Möbius-striben menes at være blevet opdaget uafhængigt af de tyske matematikere August Ferdinand Möbius og Johann Benedict Listing i 1858, selvom en lignende struktur er afbildet på en romersk mosaik fra det 3. århundrede e.Kr. [1] [2] .

En Mobius-strimmelmodel kan nemt laves: du skal tage en tilstrækkelig lang papirstrimmel og lime de modsatte ender af strimlen ind i en ring, først vende en af dem om. I det tredimensionelle euklidiske rum er der to typer Möbius-strimler afhængigt af drejningsretningen: højre og venstre.

Euler-karakteristikken for en Möbius-strimmel er nul.

Ligninger

En måde at repræsentere en Möbius-strimmel som en delmængde er ved parametrisering: $\mathbb {R} ^{3}$

x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,

y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,

z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},

hvor og . Disse formler definerer en Möbius-strimmel med bredde 1, hvis centrale cirkel har radius 1, ligger i et plan centreret ved . Parameteren løber langs båndet og indstiller afstanden fra kanten. $0\leqslant u<2\pi$ $-1\leqslant v\leqslant 1$ $xy$ $\venstre(0,\;0,\;0\højre)$ $u$ $v$

I cylindriske koordinater kan en ubegrænset version af Möbius-strimlen repræsenteres af ligningen: $\venstre(r,\;\theta ,\;z\højre)$

\log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2)),

hvor logaritmen har en vilkårlig base.

Egenskaber

Möbius-stribens grænse består af en enkelt lukket kurve.
Topologisk kan Möbius-striben defineres som faktorrummet af et kvadrat med hensyn til ækvivalensrelationen for . $\venstre[0,\;1\højre]\gange \venstre[0,\;1\højre]$ $\venstre(x,\;0\højre)\sim \venstre(1-x,\;1\højre)$ $0\leqslant x\leqslant 1$
Möbius-strimlen er også rummet for en ikke-triviel fibrering over en cirkel med et fiberlinjesegment.
Möbius-strimlen kan placeres i med afgrænsningen som en perfekt cirkel. En måde er at anvende en stereografisk projektion på en Klein-flaske nedsænket i en 3D-kugle . Ideen er denne: lad være enhedscirklen i planet ved . Forbinder de antipodale punkter på (det vil sige punkter i vinkler og ) med en cirkelbue, får vi, at for mellem og buerne ligger over planet , og for andre - under (desuden ligger buerne to steder i fly ). $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $xy$ $\mathbb {R} ^{3}$ $C$ $\theta$ $\theta +\pi$ $\theta$ $0$ $\pi /2$ $xy$ $\theta$ $xy$
- Imidlertid vil enhver skive, der klæber til grænsecirklen, uundgåeligt krydse Möbius-strimlen.
Et eksempel på en Möbius-strimmel, der er indlejret i , er overfladen givet af ligningen $\mathbb {C} ^{2}$

{\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi ))

z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},

Her ændres parameteren fra 0 til . Grænsen for denne overflade er en cirkel . Stereografisk projektion resulterer i en indlejring i en grænse, der præcis er en cirkel.

\eta

\pi

z_{1}=0,|z_{2}|=1

\mathbb {R} ^{3}

Åbne spørgsmål

Hvad er minimum , således at en ikke-selv-skærende Möbius-strimmel kan foldes fra et rektangel med en mindre side 1 og en større side k (papir må ikke rynkes)? Det lavere estimat bevist er , det øverste estimat er [3] . $k$ ${\frac {\pi }{2))$ ${\sqrt {3}}$
Findes der en formel, der beskriver Möbius-strimlen opnået ved at folde et fladt ark papir? Ovenstående formler beskriver en overflade, der ikke kan foldes fra et ark papir, fordi den har en negativ krumning; spørgsmålet er, om det er muligt at beskrive en overflade med nul krumning på en lignende måde? [fire]
- Det er sværere at finde en form, der også minimerer den elastiske bøjningsenergi. Løsningen på dette problem, først fremsat af M. Sadowsky i 1930, blev offentliggjort i 2007 [5] . Løsningen er dog ikke beskrevet af en algebraisk formel, og det er usandsynligt, at en sådan formel overhovedet eksisterer. For at finde den rumlige ligevægtsform af Möbius papirstrimlen er det nødvendigt at løse grænseværdiproblemet for systemet af differential-algebraiske ligninger .

Hvis båndet er klippet

Hvis strimlen skæres langs en linje lige langt fra kanterne, vil der i stedet for to Möbius-strimler fås en lang dobbeltsidet (snoet hel cirkel) strimmel. Denne egenskab af Möbius bandet er blevet brugt i et gammelt trick kaldet "Afghan Bands" [6] ( eng. The Afghan Bands ) siden 1904 [7] , den er også beskrevet af Norbert Wiener i I Am a Mathematician (1956) [ 8] og Martin Gardner i Mathematics, Magic and Mystery (1956), siger sidstnævnte også, at den tidligste reference til brugen af en Möbius-strimmel til trylletricks er fra 1882 [9] . Hvis det resulterende bånd skæres langs midten, opnås to sådanne bånd, viklet oven på hinanden.
Hvis du skærer Möbius-strimlen, og trækker sig tilbage fra kanten med cirka en tredjedel af dens bredde, så opnås to strimler, den ene er en kortere Möbius-strimmel, den anden er en lang strimmel med to halve vindinger [10] .
Andre båndkombinationer kan fremstilles af bælter med to eller flere halve omdrejninger i dem. For eksempel, hvis du klipper et bånd med tre halve omgange, får du et bånd krøllet til en shamrock-knude . En del af båndet med yderligere drejninger giver uventede figurer, kaldet paradromiske ringe .

Kunst og teknologi

Möbius-striben fungerede som inspiration til skulpturer og til grafisk kunst. Escher var en af de kunstnere, der var særlig glad for det og dedikerede flere af sine litografier til dette matematiske objekt. En af de berømte, "Möbius-striben II" [11] , viser myrer, der kravler på overfladen af Möbius-striben.

Möbius-striben er emblemet på serien af populærvidenskabelige bøger " Bibliotek "Quantum" ". Det er også tilbagevendende i science fiction , såsom i Arthur C. Clarkes novelle "The Wall of Gloom". Nogle gange tyder science fiction-historier (efter teoretiske fysikere) på, at vores univers kan være en generaliseret Möbius-stribe. Möbius-ringen er også konstant nævnt i Ural-forfatteren Vladislav Krapivins værker , cyklussen " I dybet af det store krystal " (for eksempel "Forpost på ankermarken. Fortælling"). I A.J. Deitchs novelle " Moebius Strip" bygger Boston-metroen en ny linje, hvis rute bliver så forvirrende, at den bliver til en Mobius-stribe, hvorefter tog begynder at forsvinde på denne linje. Baseret på historien blev en fantasyfilm " Mobius " instrueret af Gustavo Mosquera optaget. Ideen om Möbius-striben er også brugt i historien om M. Clifton "På Möbius-striben".

I 1987 indspillede den sovjetiske jazzpianist Leonid Chizhik albummet Moebius Tape, som også indeholdt kompositionen af samme navn.

Der er tekniske anvendelser af Möbius-strimlen. En transportbåndsstrimmel i form af en Möbius- strimmel holder længere, fordi hele båndets overflade slides jævnt. Kontinuerlige båndsystemer bruger også Möbius-strimler (for at fordoble optagetiden). I mange matrixprintere har farvebåndet også form af en Möbius-strimmel for at øge dets ressource.

Også over indgangen til Instituttet for CEMI RAS er et mosaikhøjrelief " Möbius Strip" af arkitekten Leonid Pavlov [12] i samarbejde med kunstnerne E. A. Zharenova og V. K. Vasiltsov (1976) [13] .

Det menes nogle gange, at Möbius-striben er en prototype på uendelighedssymbolet , men sidstnævnte dukkede op to århundreder tidligere [14] . $\infty$

Variationer og generaliseringer

En tæt ensidet overflade er Klein-flasken . En Klein flaske kan fås ved at lime to Möbius strimler langs kanterne. I almindeligt tredimensionelt euklidisk rum er det umuligt at gøre dette uden at skabe selvskæringspunkter.
En anden lignende manifold er det projektive plan . Hvis du gennemborer et hul i det projektive plan, så er der tilbage en Möbius-strimmel. På den anden side, hvis du limer skiven til Möbius-strimlen, der matcher deres grænser, så vil resultatet være et projektivt plan.

Se også

Noter

↑ Larison, Lorraine L. (1973). "Møbius-bandet i romerske mosaikker". Amerikansk videnskabsmand . 61 (5): 544-547. Bibcode : 1973AmSci..61..544L .
↑ Cartwright, Julyan H.E.; González, Diego L. (2016). "Möbius strimler før Möbius: topologiske antydninger i antikke repræsentationer". Den matematiske intelligenser . 38 (2): 69-76. arXiv : 1609.07779 . Bibcode : 2016arXiv160907779C . DOI : 10.1007/s00283-016-9631-8 . MR 3507121 .
↑ Fuchs D. Möbius-strimmel. Variationer over et gammelt tema Arkiveret 15. november 2011 på Wayback Machine // Kvant, nr. 1, 1979.
↑ Randrup T., Rogen P. Sides of the Möbius strip (engelsk) // Archiv der Mathematik : journal. - 1996. - Bd. 66 . - s. 511-521 .
↑ Starostin. EL , van der Heijden GHM Formen af en Möbius-strimmel (engelsk) // Nature Materials : journal. - 2007. - doi : 10.1038/nmat1929 .
↑ Gardner M. Professoren, der ikke havde nogen sider. Forfatterens noter // Videnskab og liv . - 1977. - Nr. 5 . - S. 127 . (Russisk)
↑ Professor Hoffman. Senere Magi . - New York, London: E. P. Dutton & Company, George Routledge & Sons, 1904. - S. 471-473.
↑ Norbert Wiener. Jeg er matematiker . - Garden City, New York: Doubleday & Company, 1956. - S. 26-27 . I russisk oversættelse: Norbert Wiener. Jeg er matematiker / Per. fra engelsk. Yu. S. Rodman. - 2. udg. - M . : Videnskab , 1967. - S. 19-20.
↑ Martin Gardner. Matematik, magi og mystik . - New York: Dover Publications, 1956. - S. 70-73 .
↑ Kordemsky B. A. Gør -det-selv topologiske eksperimenter Arkivkopi af 8. juni 2016 på Wayback Machine // Kvant, nr. 3, 1974
↑ M.C. Escher - Mobius Strip II . Hentet 5. oktober 2014. Arkiveret fra originalen 6. oktober 2014. (ubestemt)
↑ Beregningsguide . Dato for adgang: 12. december 2015. Arkiveret fra originalen 22. december 2015. (ubestemt)
↑ Arkitekt Maria Serova - om Leonid Pavlovs "hus med et øre" - Landsbyen - Landsbyen . Dato for adgang: 12. december 2015. Arkiveret fra originalen 22. december 2015. (ubestemt)
↑ Möbius-stribe // Magasinet "Weekend" nr. 10 (106) dateret 20.03.2009 . Hentet 4. august 2012. Arkiveret fra originalen 4. august 2012. (ubestemt)

Litteratur

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Course of homotopy topology.- M.: Nauka, 1989.
Gardner M. Matematiske mirakler og hemmeligheder. - M .: Nauka, 1978.

Links

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	GND : 1106880307

Kompakte overflader og deres fordybelse i tredimensionelt rum

Homøoformitetsklassen for en kompakt trianguleret overflade bestemmes af orienterbarhed, antallet af grænsekomponenter og Euler-karakteristikken.

ingen grænse

Orienterbar	Kugle (slægt 0) Thor (slægt 1) "Otte" (slægt 2) " Kringle " (slægt 3) ...
Ikke-orienterbar	Rigtigt projektivt plan slægt 1; Kampoverflade romersk overflade Klein flaske (slægt 2) Pik overflade (slægt 3) ...

med kant

Disk
- halvkugle
Bånd
- Ring
- Cylinder
Mobius-striben
- Möbius strimmel
Kugle med tre huller...

Beslægtede
begreber

Ejendomme	Forbindelse kompakthed Triangulering eller glathed Orienterbarhed
Egenskaber	Antal grænsekomponenter Slægt Euler karakteristik
Operationer	Forbundet sum hulskæring Klæber håndtaget Montering af Möbius-strimlen Nedsænkning