Fraktal dimension

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. april 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Fractal dimension ( engelsk fraktal dimension ) er en af måderne til at bestemme dimensionen af et sæt i et metrisk rum . Den fraktale dimension af et n -dimensionelt sæt kan bestemmes ved hjælp af formlen:

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon )))

, hvor er det mindste antal n -dimensionelle "kugler" med radius , der kræves for at dække sættet.

N_\varepsilon

\varepsilon

Den fraktale dimension kan have en ikke-heltals numerisk værdi [2] .

Grundtanken om "fraktionel" ( eng. fraktureret ) dimension har en lang historie inden for matematik, men det var selve begrebet, der blev opfundet af Benoit Mandelbrot i 1967 i sin artikel om selvlighed , hvori han beskrev "brøk" ( eng. fraktionel ) dimension [3] . I denne artikel henviste Mandelbrot til det tidligere arbejde af Lewis Fry Richardson , der beskriver den kontraintuitive idé, at den målte længde af en kystlinje afhænger af længden af en målestok (pæl) ( se fig. 1 ). Efter denne forestilling svarer den fraktale dimension af kystlinjen til forholdet mellem antallet af pæle (i en bestemt skala), der skal til for at måle kystlinjens længde i forhold til den valgte skala af pælen [4] . Der er flere formelle matematiske definitioner fraktal dimension, der bygger på dette grundlæggende koncept om ændring i et element med ændring i skala.

Et elementært eksempel er den fraktale dimension af Koch-snefnuget . Dens topologiske dimension er 1, men det er på ingen måde en retificerbar kurve , da længden af kurven mellem to punkter på Koch-snefnuget er uendelig . Ingen vilkårligt lille del af en kurve er et linjestykke. Koch snefnug består snarere af et uendeligt antal segmenter forbundet i forskellige vinkler. Den fraktale dimension af en kurve kan forklares intuitivt, idet det antages, at en fraktal linje er et objekt for detaljeret (detaljeret) til at være endimensionelt, men ikke komplekst nok til at være todimensionelt [5] . Derfor beskrives dens dimension bedre ikke af den sædvanlige topologiske dimension af 1, men af dens fraktale dimension, som i dette tilfælde er lig med et tal mellem 1 og 2.

Introduktion

Fraktal dimension er en koefficient, der beskriver fraktale strukturer ellerbaseret på en kvantitativ vurdering af deres kompleksitet , som en ændringskoefficient i detaljer med en ændring i skala [4] :1 . Nogle typer fraktal dimensioner kan måles teoretisk og empirisk ( se fig. 2 ) [7] [8] . Fraktale dimensioner bruges til at karakterisere en bred vifte af objekter fra abstrakte [9] [7] til praktiske fænomener, for eksempel: turbulens, [4] : 97–104 flodnetværk , :246–247 byvækst, [10] menneskelig fysiologi , [11] [12] medicin [8] og markedstendenser [13] . Grundideen om fraktionel eller fraktal dimension har en lang historie i matematikken, der kan spores tilbage til 1600 [4] :19 [14], men selve begreberne fraktal og fraktal dimension blev opfundet af matematikeren Benoit Mandelbrot i 1975 [9 ] [4] [8] [13] [15] .

Den fraktale dimension blev først introduceret som en koefficient, der beskriver geometrisk komplekse former, for hvilke detaljer er vigtigere end en komplet tegning [15] . For sæt, der beskriver almindelige geometriske former, er den teoretiske fraktale dimension lig med den sædvanlige euklidiske eller topologiske dimension . For sæt, der beskriver punkter, er den teoretiske fraktale dimension 0; 1 for sæt, der beskriver en ret linje (sæt, der kun har længde); 2 til sæt, der beskriver overfladen (med længde og bredde); 3 for sæt, der beskriver volumen (sæt med længde, bredde og højde). Men dette ændrer sig for fraktale sæt. Hvis den teoretiske fraktale dimension af et sæt overstiger den topologiske dimension, så anses mængden for at have en fraktal geometri [16] .

I modsætning til den topologiske dimension kan fraktalkoefficienten tage en ikke - heltalsværdi [17] , hvilket viser , at fraktalmængden udfylder rummet anderledes end den sædvanlige geometriske mængde [9] [18] [7] . For eksempel opfører en kurve med en fraktal dimension meget tæt på 1, f.eks. 1,1, sig ganske som en regulær linje, men en kurve med en fraktal dimension på 1,9 er viklet i rummet, næsten som en overflade. På samme måde opfører en overflade med en fraktal dimension på 2,1 sig. Det fylder rummet næsten som en normal overflade, men overfladen med en fraktal dimension på 2,9 kollapser og har en tendens til at fylde rummet næsten som et volumen [16] :48 [noter 1] . Denne generelle sammenhæng kan ses i 2 fraktal kurvebilledet i fig. 2 og se fig. 3 - 32 segmenter er omridset i figur 2 indviklet og rumfyldende. Denne fraktale kurve har en dimension på 1,67 sammenlignet med den mindre komplekse Koch-kurve i figur 3 , som har en fraktal dimension på 1,26.

Forholdet mellem den stigende fraktale dimension og udfyldningsrummet kan tages som fraktaldimensionen af den målte tæthed, men det er det ikke. Disse to parametre er ikke strengt korreleret [6] . I stedet måler fraktal dimension kompleksitet. Dette koncept er forbundet med visse træk ved fraktaler: selvlighed , mønster og uensartethed [note 2] . Disse egenskaber findes i eksemplerne på fraktale kurver beskrevet ovenfor. Begge kurver har en topologisk dimension på 1, så man håber, at man kan måle deres længde eller hældning , som med normale linjer. Men vi kan ikke gøre nogen af disse ting, fordi fraktale kurver har en kompleksitet af selvlighed og mønstre, som regulære linjer ikke har [4] . Selvlighed ligger i den uendelige skala, og mønsteret ligger i de definerende elementer i hvert sæt. Længden mellem to punkter i disse kurver er ikke defineret , fordi disse konstruktioner teoretisk set aldrig stopper, men gentager sig selv et uendeligt antal gange [19] . Hver mindre del består af et uendeligt antal skalasegmenter, der ser præcis ud som i den første iteration. Disse er ikke -retificerbare kurver , det vil sige, vi kan ikke opdele dem i separate segmenter og beregne den omtrentlige længde. Vi kan ikke beskrive med hensyn til længde og hældning. Imidlertid kan deres fraktale dimensioner bestemmes. De viser, hvordan de fylder rummet mere end almindelige linjer, men mindre end overflader, og det giver dig også mulighed for at sammenligne dem med hinanden.

Bemærk, at de to fraktale kurver beskrevet ovenfor viser en type selv-lighed, der nøjagtigt gentager det indledende mønster, som er let at visualisere. Strukturer af denne art kan også findes i andre rum (for eksempel fraktaler ). Hvis Koch-kurven udvides til 3-dimensionelt rum, vil dens teoretiske fraktale dimension være lig med 2,5849. Der er dog en vanskelighed ved at beregne fraktaldimensionen for følgende eksempel [7] [13] : Storbritanniens kyst er en omtrentlig model med en omtrentlig skala [4] :26 . Generelt kan fraktaler være af forskellige typer, grader af selvlighed og mønstre, der er svære at visualisere. De inkluderer, som eksempler, mærkelige attraktorer : glatte pileup-områder [16] :49 , Julia-sæt og puls [20] . Fraktal kompleksitet er ikke altid let at beregne uden at stole på komplekse analytiske metoder, der stadig fører til svaret gennem fraktale dimensioner [4] :197; 262 .

Historie

Begreberne fraktal dimension og fraktal blev introduceret af Mandelbrot i 1975 [15] , omkring 10 år efter at han udgav sit papir om den britiske kysts selvlighed. Mandelbrot kombinerede og anvendte kompleks teoretisk matematik og ingeniørarbejde på en ny måde at studere kompleks geometri på. Dette har tjent som en udfordring til de sædvanlige lineære udtryk [14] [21] [22] . De tidligste rødder, som Mandelbrot generaliserede i begrebet "fraktal geometri", blev tydeligt sporet i skrifter om ikke-differentierbarhed, uendeligheden af selv-lignende funktioner, som er vigtige i den matematiske definition af fraktaler. Omkring det tidspunkt blev en analyse offentliggjort (i midten af 1600-tallet) [4] :405 . Der var en pause i udgivelsen af papirer om sådanne funktioner. Begyndende i slutningen af 1800-tallet, med skabelsen af matematiske funktioner og mængder, som i dag kaldes kanoniske fraktaler (såsom værker af samme navn af von Koch , [19] Sierpinski , Julia ), begyndte fornyelsen i dette område. På dette tidspunkt blev deres formulering ofte set som stærkt i modstrid med de matematiske "monstre" [14] [22] . Disse værker blev tilsyneladende ledsaget af forslag om, at de var det mest afgørende øjeblik i udviklingen af begrebet fraktal geometri gennem Hausdorffs arbejde i begyndelsen af 1900-tallet. Hausdorff definerede "brøkdimensionen", som nu kaldes ved hans navn og ofte bruges i definitionen af moderne fraktaler [3] [4] :44 [16] [21] .

Se fraktalernes historie for flere detaljer .

Skalaens rolle

Ideen om fraktal dimension ligger i en ukonventionel repræsentation af skala og dimension [23] . Dette ses i fig. 4 , der illustrerer de traditionelle geometribegreber, som danner skalaen forudsigeligt og efter forståelige og velkendte ideer om det rum, de er indeholdt i. Lad os for eksempel tage en linje, dele den i tre lige store dele, så vil hver del være 3 gange mindre end længden af den oprindelige linje. Det foregår også i flyet. Hvis du måler arealet af en firkant og derefter måler arealet af en firkant med en sidelængde på 1 ⁄ 3 af længden af siden af det indledende kvadrat, så vil det være 9 gange mindre end arealet af det indledende kvadrat. Denne skala kan bestemmes matematisk ved hjælp af ligningen 1 skalaregel, hvor er antallet af detaljer, er skalafaktoren, er fraktaldimensionen: $N$ $\epsilon$ $D$

${N\propto \epsilon ^{-D))$

(en)

Symbolet betyder proportion. Denne skalaregel bekræfter de traditionelle regler for skalageometri, da for en linje - =3, når = 1 ⁄ 3 , så =1, og for kvadrater, fordi =9, når = 1 ⁄ 3 , =2. $\propto$ $N$ $\epsilon$ $D$ $N$ $\epsilon$ $D$

Den samme regel gælder for fraktal geometri, men mindre intuitivt. For at beregne en fraktal linje med enhedslængde skal du ved første øjekast nedskalere med en faktor 3, i dette tilfælde =4 når = 1 ⁄ 3 og værdien kan findes ved at transformere ligning 1: $N$ $\epsilon$ $D$

${\log _{\epsilon }{N}={-D}={\frac {\log {N}}{\log {\epsilon }}}}$

(2)

For en fraktal beskrevet af =4, når = 1 ⁄ 3 , =1,2619. I dette tilfælde antager dimensionen en ikke-heltalsværdi, derfor kan det antages, at fraktalen har en dimension, der ikke er lig med dimensionen af det rum, den er indlejret i [7] . Samme skala bruges til Koch-kurven og Koch- snefnuget . Det skal bemærkes, at disse billeder i sig selv ikke er ægte fraktaler, da skaleringen beskrevet af værdien ikke kan fortsætte i det uendelige af den simple grund, at billeder kun eksisterer på det mindste punkt - pixlen. Den teoretiske struktur, der repræsenterer et digitalt billede, har ikke diskrete pixels, som stykker, men består af et uendeligt antal segmenter i forskellige vinkler med en fraktal dimension lig med 1,2619 [4] [23] . $N$ $\epsilon$ $D$ $D$

Dimension er ikke den eneste parameter

Som i tilfældet med dimensionen defineret for linjen, kvadratet og terningen, er fraktale dimensioner generelle karakteristika, hvilket gør det umuligt entydigt at definere strukturen [23] [24] . Værdien for Koch fraktalen blev givet ovenfor, for eksempel er skalaen iboende i den kvantitative struktur, men dette er ikke nok til at bygge den. Mange fraktale strukturer og mønstre kan tegnes på samme skala som Koch-kurven, men de vil stadig adskille sig fra Koch-kurven ( se figur 6 ). $D$

For eksempler på fraktaler: se Fractal , Sierpinski triangle , Mandelbrot set , Diffusion of limited aggregation , L-Systems .

Eksempler

Begrebet fraktal dimension, beskrevet i denne artikel, er en klassisk form for en kompleks struktur. Eksemplerne beskrevet her er valgt til illustrative formål. Skalaen og koefficienten har været kendt i lang tid. I praksis kan fraktale dimensioner dog bestemmes ved hjælp af metoder, der tager en omtrentlig skala. Følgende formel bruges som en definition af fraktal dimension i bogen af Bozhokin S.V. og Parshin D.A. "Fractals and Multifractals" [2] :

D=-\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ln(N_{\varepsilon })}{\ln(\varepsilon )))

, hvor er det mindste antal n-dimensionelle "kugler" med radius , der kræves for at dække sættet.

N_\varepsilon

\varepsilon

Ifølge denne formel, for et isoleret punkt, et længdesegment , et overfladeareal , et volumenrum, falder fraktaldimensionen sammen med den sædvanlige euklidiske dimension. $L$ $S$ $V$

Ved hjælp af denne formel kan man beregne fraktaldimensionen af for eksempel Cantor-sættet ( se figur 7 ). Det er indlysende, at vi på det -. trin vil få segmenter af længde , hvoraf det følger, at fraktaldimensionen for Cantor-sættet er lig med 0,6309 [2] . $n$ $2^{n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{3^{n))))$

Flere formelle definitioner af forskellige typer fraktal dimensioner er givet nedenfor. På trods af at alle disse dimensioner for nogle klassiske fraktaler falder sammen, er de i det generelle tilfælde ikke ækvivalente:

Minkowski-dimension : D vurderes som potensloveksponenter.

D_{0}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon )))).

Informationsdimension: D betragtes som den gennemsnitlige information , der er nødvendig for at identificere den besatte kapacitet med størrelsen af denne kapacitet; - sandsynlighed. $s$

D_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {-\langle \log p_{\epsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

Korrelationsdimensionen D er baseret påog g ε , hvor er antallet af punkter, der bruges til at repræsentere fraktalen, g ε er antallet af punkter tættere end ε på hinanden. $M$ $M$

D_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0,M\rightarrow \infty }{\frac {\log(g_{\epsilon }/M^{2})}{\log \epsilon ))

Generaliserede Renyi-dimensioner:

Minkowski-, informations- og korrelationsdimensionerne kan betragtes som et specialtilfælde af et kontinuerligt spektrum af generaliserede dimensioner af orden α, defineret som følger:

D_{\alpha }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{1-\alpha }}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log {\frac {1}{\epsilon ))))

Higuchi dimension [25]

$D={\frac {d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)))$

Lyapunov dimension
Multifraktale dimensioner: Et særligt tilfælde af Rényi-dimensioner, hvor skalaadfærden ændrer sig i forskellige dele af tegningen.
Indikatorusikkerhed
Hausdorff dimension
Emballagedimension
Assoid dimension
Lokalt relateret dimension [26]

Estimering af reelle data

Mange fænomener i den virkelige verden udviser begrænsede eller statistiske fraktale egenskaber og fraktale dimensioner, der kan estimeres ud fra en stikprøve af data ved hjælp af computerbaserede fraktale analysemetoder . I praksis afhænger målinger af fraktal dimension af forskellige metodiske spørgsmål og er følsomme over for numerisk eller eksperimentel støj og begrænset i datavolumen. Ikke desto mindre udvikler feltet sig hurtigt i estimeringen af fraktaldimensionen for statistisk selv-lignende fænomener. Den fraktale dimension har mange praktiske anvendelser på forskellige områder, herunder billeddiagnostik, [27] [28] fysiologi, [11] neurovidenskab, [12] medicin, [29] [30] [31] fysik, [32] [33] analyse billeddannelse, [34] [35] [36] [37] akustik, [38] nuller af Riemann zeta-funktionen [39] og elektrokemiske processer [40] .

Et alternativ til direkte måling er en matematisk model, der ligner dannelsen af et rigtigt fraktalt objekt. I dette tilfælde kan verifikation også udføres ved at sammenligne andre fraktale egenskaber afledt af modellen med måledata. I kolloid fysik er systemer sammensat af partikler med forskellige fraktale dimensioner. For at beskrive disse systemer anvendes en sandsynlighedsfordeling af fraktaldimensionen. Og i sidste ende er tiden udviklingen af sidstnævnte: Det er en proces, der er drevet af en kompleks interaktion mellem aggregering og sammensmeltning [41] .

Se også

Liste over fraktaler med beregnet Hausdorff-dimension
Lacunarity
Multifraktal analyse
fraktioneret afledt

Noter

↑ Se grafisk fremstilling af forskellige fraktale dimensioner
↑ Se fraktalparametre

Noter

↑ Mandelbrot B., 2002 .
↑ 1 2 3 Bozhokin S.V., 2001 .
↑ 1 2 Mandelbrot B., 1967 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Benoit B. Mandelbrot, 1983 .
↑ Harte D., 2001 .
↑ 1 2 3 Balay-Karperien A., 2004 .
↑ 1 2 3 4 5 Vicsek T. (1992), 1992 , s. ti.
↑ 1 2 3 Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F., 2005 .
↑ 1 2 3 Falconer K., 2003 .
↑ Chen Y, 2011 .
↑ 12 Popescu DP, 2010 .
↑ 12 King R.D., 2009 .
↑ 1 2 3 Peters E., 1996 .
↑ 1 2 3 Gerald E., 2004 .
↑ 1 2 3 Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson, 2008 .
↑ 1 2 3 4 Mandelbrot Benoit, 2004 .
↑ Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M., 2012 .
↑ Sagan H., 1994 .
↑ 1 2 Helge von Koch, "På en kontinuerlig kurve uden tangenter konstruerbar ud fra elementær geometri", 2004 .
↑ Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew, 2009 .
↑ 12 Nigel G., 2000 .
↑ 1 2 MacTutor Matematikkens historie .
↑ 1 2 3 Iannaccone, Khokha, 1996 .
↑ Vicsek T. (2001), 2001 .
↑ Higuchi T.
↑ Jelinek A., 2008 .
↑ Landini G., 1995 .
↑ Cheng Qiuming, 1997 .
↑ Liu Jing Z., 2003 .
↑ Smith T.G., 1996 .
↑ Li J., 2009 .
↑ Dubuc B., 1989 .
↑ Roberts A., 1996 .
↑ Al-KadiOS, 2008 .
↑ Pierre S., 1996 .
↑ Tolle CR, 2003 .
↑ Gorsich DJ, 1996 .
↑ Maragos P., 1999 .
↑ Shanker O., 2006 .
↑ Eftekhari A., 2004 .
↑ Kryven I., 2014 .

Litteratur

Al-Kadi OS, Watson D. Teksturanalyse af aggressiv og ikke-aggressiv lungetumor CE CT-billeder // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 2008. - T. 55 , nr. 7 . - S. 1822-1830 . - doi : 10.1109/tbme.2008.919735 . Arkiveret fra originalen den 13. april 2014.
Alexanderson Albers, Alexanderson Gerald L. Benoit Mandelbrot: Med hans egne ord // Matematiske mennesker: profiler og interviews. - Wellesley, Mass: A.K. Peters, 2008. - 214 s. - ISBN 978-1-56881-340-0 .
Balay-Karperien A. Definition af mikroglial morfologi: form, funktion og fraktal dimension . - Charles Sturt University, 2004. - S. 3. - 86 s.
Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktaler og multifraktaler . - 2001. - S. 15 -18. — 128 s. — ISBN 5-93972-060-9 .
Chen Y. Modellering af fraktalstruktur af bystørrelsesfordelinger ved hjælp af korrelationsfunktioner // PLoS ONE. - 2011. - T. 6 , nr. 9 . — S. e24791 . - doi : 10.1371/journal.pone.0024791 . - . - arXiv : 1104.4682 . — PMID 21949753 .
Cheng Qiuming. Multifraktal modellering og lakunaritetsanalyse // Matematisk geologi. - 1997. - T. 29 , nr. 7 . - S. 919-932 . - doi : 10.1023/A:1022355723781 . — PMID 7499097 .
Dubuc B., Quiniou J., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S. Evaluering af den fraktale dimension af profiler // Physical Review A. - 1989. - Vol. 39 , nr. 3 . - S. 1500-1512 . - doi : 10.1103/PhysRevA.39.1500 . - . — PMID 9901387 .
Eftekhari A. Fractal Dimension of Electrochemical Reactions // Journal of the Electrochemical Society. - 2004. - T. 151 , nr. 9 . — s. E291–E296 . - doi : 10.1149/1.1773583 .
Falconer K. Fraktal Geometri. - New York: Wiley, 2003. - 308 s. — S. 27–37. - ISBN 978-0-470-84862-3 .
Gerald E. Klassikere om fraktaler . — Boulder: Westview Press, 2004. — S. 25–46 . - 86 sider. - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gerald Edgar. Helge von Koch, "På en kontinuerlig kurve uden tangenter konstruerbar ud fra elementær geometri" // Klassikere om fraktaler . — Boulder: Westview Press, 2004. — S. 25–46 . - ISBN 978-0-8133-4153-8 .
Gorsich DJ, Tolle CR, Karlsen RE, Gerhart GR Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1996. - T. 2825 . - S. 109 . - doi : 10.1117/12.255224 .
Harte D. Multifractals. - London: Chapman & Hall, 2001. - S. 3-4. — ISBN 978-1-58488-154-4 .
Higuchi T. Tilnærming til en uregelmæssig tidsserie på basis af fraktalteorien (link utilgængelig) (1987). Dato for adgang: 16. januar 2016. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
Iannaccone, Khokha. Fraktal geometri i biologiske systemer . - 1996. - ISBN 978-0-8493-7636-8 .
Jelinek A., Jelinek HF, Leandro JJ, Soares JV, Cesar Jr RM, Luckie A. Automatiseret påvisning af proliferativ retinopati i klinisk praksis // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2008. - V. 2 , nr. 1 . — S. 109–122 . - doi : 10.2147/OPTH.S1579 . — PMID 19668394 .
King RD Karakterisering af atrofiske ændringer i hjernebarken ved hjælp af fraktal dimensionsanalyse // Hjernebilleddannelse og -adfærd. - 2009. - V. 3 , nr. 2 . — S. 154–166 . - doi : 10.1007/s11682-008-9057-9 . — PMID 20740072 .
Kryven I., Lazzari S., Storti G. Populationsbalancemodellering af aggregation og koalescens i kolloide systemer // Makromolekylær teori og simuleringer. - 2014. - T. 23 , nr. 3 . - S. 170 . - doi : 10.1002/mats.201300140 .
Landini G., Murray PI, Misson GP Lokale forbundne fraktale dimensioner og lakunaritetsanalyser af 60 graders fluorescein-angiogrammer // Undersøgende oftalmologi og visuel videnskab. - 1995. - T. 36 , nr. 13 . — S. 2749–2755 . — PMID 7499097 .
Li J., Du Q., Sun C. En forbedret bokstællemetode til estimering af billedfraktale dimensioner // Mønstergenkendelse. - 2009. - T. 42 , nr. 11 . - S. 2460 . - doi : 10.1016/j.patcog.2009.03.001 . - . — PMID 8946315 .
Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H. Fractal Dimension in Human Cerebellum Målt ved Magnetic Resonance Imaging // Biophysical Journal. - 2003. - T. 85 , nr. 6 . — S. 4041–4046 . - doi : 10.1016/S0006-3495(03)74817-6 . - . — PMID 14645092 .
Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F. Fraktaler i biologi og medicin . - Springer, 2005. - ISBN 978-3-7643-7172-2 .
Mandelbrot B. Hvor lang er Storbritanniens kyst? Statistisk selv-lighed og brøkdimension // Videnskab. - 1967. - T. 156 , nr. 3775 . — S. 636–638 . - doi : 10.1126/science.156.3775.636 . - . — PMID 17837158 .
Mandelbrot Benoit B. Naturens fraktale geometri . - Macmillan, 1983. - ISBN 978-0-7167-1186-5 .
Mandelbrot B. Naturens fraktale geometri . - 2002. - S. 46 . — 666 s.
Mandelbrot Benoit. Fraktaler og kaos. - Berlin: Springer, 2004. - S. 38. - ISBN 978-0-387-20158-0 .
Maragos P., Potamianos A. Fraktale dimensioner af talelyde: Beregning og anvendelse til automatisk talegenkendelse // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1999. - T. 105 , nr. 3 . - S. 1925-1932 . - doi : 10.1121/1.426738 . — . — PMID 10089613 .
Nigel G. Introduktion til fraktal geometri . - Duxford: Icon, 2000. - S. 71 . — ISBN 978-1-84046-123-7 .
Peters E. Kaos og orden på kapitalmarkederne: et nyt syn på cyklusser, priser og markedsvolatilitet. - New York: Wiley, 1996. - ISBN 0-471-13938-6 .
Pierre S., Jean-F. Rivest. Om gyldigheden af fraktale dimensionsmålinger i billedanalyse // Journal of Visual Communication and Image Representation. - 1996. - T. 7 , nr. 3 . — S. 217-229 . — ISSN 1047-3203 . doi : 10.1006/ jvci.1996.0020 . Arkiveret fra originalen den 20. juli 2011.
Popescu, DP, Flueraru, C., Mao, Y., Chang, S., Sowa, MG Signaldæmpning og bokstælling fraktal analyse af optisk kohærens tomografi billeder af arterielt væv // Biomedicinsk Optik Express. - 2010. - T. 1 , nr. 1 . — S. 268–277 . - doi : 10.1364/boe.1.000268 . — PMID 21258464 .
Roberts A., Cronin A. Uvildig estimering af multi-fraktale dimensioner af endelige datasæt // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. - 1996. - T. 233 , nr. 3-4 . - S. 867 . - doi : 10.1016/S0378-4371(96)00165-3 . — .
Sagan H. Rumfyldende kurver. - Berlin: Springer-Verlag, 1994. - 156 s. - ISBN 0-387-94265-3 .
Shanker O. Tilfældige matricer, generaliserede zeta-funktioner og selvlighed af nulfordelinger // Journal of Physics A: Mathematical and General. - 2006. - T. 39 , nr. 45 . - S. 13983 . - doi : 10.1088/0305-4470/39/45/008 . - .
Sharifi-Viand A., Mahjani MG, Jafarian M. Undersøgelse af anomal diffusion og multifraktale dimensioner i polypyrrolfilm // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2012. - T. 671 . - S. 51 . - doi : 10.1016/j.jelechem.2012.02.014 .
Smith TG, Lange GD, Marks WB Fraktale metoder og resultater i cellulær morfologi — dimensioner, lakunaritet og multifraktaler // Journal of Neuroscience Methods. - 1996. - T. 69 , nr. 2 . — S. 123–136 . - doi : 10.1016/S0165-0270(96)00080-5 . - . — PMID 8946315 .
Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew. Fraktale egenskaber af menneskelig hjerteperiodevariabilitet: Fysiologiske og metodiske implikationer // Journal of Electroanalytical Chemistry. - 2009. - T. 587 , nr. 15 . - S. 3929 . - doi : 10.1113/jphysiol.2009.169219 .
Tolle CR, McJunkin TR, Gorsich DJ Suboptimal minimum cluster volume cover-baseret metode til måling af fraktal dimension // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2003. - T. 25 . - S. 32 . - doi : 10.1109/TPAMI.2003.1159944 . Arkiveret fra originalen den 20. juli 2011.
Trochet, Holly. En historie om fraktal geometri . MacTutor matematikkens historie (2009). Dato for adgang: 16. januar 2016. Arkiveret fra originalen 4. februar 2012. (ubestemt)
Vicsek T. Fraktale vækstfænomener. - Singapore New Jersey: World Scientific, 1992. - 165 s. — ISBN 5-09-002630-0 .
Vicsek T. Udsving og skalering i biologi. - Oxford [Oxfordshire]: Oxford University Press, 2001. - ISBN 0-19-850790-9 .

Yderligere læsning

Mandelbrot, Benoit B. , The (Mis) Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books, 2004)

Links

TruSofts Benoit , fraktalanalysesoftwareprodukt beregner fraktale dimensioner og hurst-eksponenter.
En Java-applet til at beregne fraktale dimensioner
Introduktion til fraktalanalyse
Bowley, Roger Fractal Dimension . Tres symboler . Brady Haran fra University of Nottingham (2009). (ubestemt)

fraktaler
Egenskaber	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion selv-lighed
De enkleste fraktaler	Fern Barnsley Kantor sæt dragekurve Koch kurve Svamp Menger Sierpinski tæppe Sierpinski trekant Rumudfyldende kurve
mærkelig attraktion	Multifraktal
L-system	Rumudfyldende kurve
Bifurkations fraktaler	Julia sæt Lyapunov fraktal Mandelbrot sæt Newtons pools
Tilfældige fraktaler	Brownsk bevægelse brunt træ fraktal overflade Perkolation teori
Mennesker	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
relaterede emner	Hvor lang er Storbritanniens kyst? » Kystlinjeparadoks

Rummets dimension
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik