Conway notation for polyeder

Conway-notationen for polytoper , udviklet af Conway og fremmet af Hart , bruges til at beskrive polytoper baseret på en frø (dvs. brugt til at skabe andre) polytop, modificeret af forskellige præfiksoperationer .

Conway og Hart udvidede ideen om at bruge operatorer som Keplers trunkeringsoperator til at skabe forbundne polyedre med samme symmetri. Grundlæggende operatører kan generere alle arkimedeanske faste stoffer og catalanske faste stoffer fra de korrekte frø. For eksempel repræsenterer tC en trunkeret terning , og taC, opnået som t(aC), er et trunkeret oktaeder . Den enkleste dobbelte operatør bytter spidser og flader. Så det dobbelte polyeder for en terning er et oktaeder - dC \ u003d O. Anvendt sekventielt tillader disse operatorer generering af mange højordens polyedre. De resulterende polyedre vil have en fast topologi (spidser, kanter, flader), mens den nøjagtige geometri ikke er begrænset.

Frøpolyeder, der er regulære polyeder , er repræsenteret ved det første bogstav i deres (engelske) navn ( T etrahedron = tetrahedron, O ctahedron = octahedron, C ube = terning, I cosahedron = icosahedron, D odecahedron = dodecahedron). Hertil kommer prismer ( P n - fra p rism for n - vinklede prismer), antiprismer ( A n - fra A ntiprismer), kupler ( U n - fra c u polae), anti- dome ( V n ) og pyramider ( Y ). n - fra p y ramid). Ethvert polyeder kan fungere som et frø, hvis der kan udføres operationer på dem. For eksempel kan regulære facetterede polyedre betegnes som J n (fra J ohnson solids = Johnson solids ) for n =1…92.

I det generelle tilfælde er det vanskeligt at forudsige resultatet af successiv anvendelse af to eller flere operationer på et givet frøpolyeder. For eksempel er ambo-operationen anvendt to gange den samme som ekspansionsoperationen, aa = e , mens trunkeringsoperationen efter ambo-operationen giver det samme som skråoperationen, ta = b . Der er ingen generel teori, der beskriver, hvilken slags polyedre der kan opnås med nogle sæt operatorer. Tværtimod blev alle resultater opnået empirisk .

Operationer på polytoper

Tabellens elementer er givet for et frø med parametre ( v , e , f ) (spidser, kanter, flader) omdannet til nye typer under den antagelse, at frøet er et konveks polyeder (en topologisk sfære med Euler-karakteristik 2). Et eksempel baseret på en terningfrø er givet for hver operatør. De grundlæggende operationer er tilstrækkelige til at generere spejlsymmetriske ensartede polyedre og deres dualer. Nogle grundlæggende operationer kan udtrykkes i form af sammensætningen af andre operationer.

Særlige typer

Operationen "kis" har en variant k n , i hvilket tilfælde kun pyramider tilføjes til flader med n -sider . Trunkeringsoperationen har en variant t n , i hvilket tilfælde kun toppunkter af orden n er trunkeret .

Operatører anvendes som funktioner fra højre mod venstre. For eksempel er cuboctahedron en ambo-terning (en terning, som ambo-operationen anvendes på), det vil sige t(C) = aC , og den trunkerede cuboctahedron er t(a(C)) = t(aC) = taC .

Chiralitet operatør

r - "reflektion" ("reflektere") - laver et spejlbillede af frøet. Operatøren ændrer ikke frøet, medmindre s- eller g -operatorerne er blevet anvendt på det . En anden notation for den chirale form er en understregning, såsom s = rs .

Operationerne i tabellen er vist på et eksempel på en terning og er tegnet på terningens overflade. De blå flader skærer de originale kanter, de lyserøde flader svarer til de originale hjørner.

Grundlæggende operationer

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	facetter	Beskrivelse
	frø		v	e	f	Indledende polyeder
r	afspejle		v	e	f	Spejlbillede til chirale former
d	dobbelt		f	e	v	Dobbelt frøpolyeder - hver toppunkt skaber et nyt ansigt
-en	ambo	dj djd	e	2e _	f + v	Nye hjørner tilføjes i midten af kanter, og gamle spidser skæres af ( retificer ) Operationen skaber knudepunkter med valens 4.
j	tilslutte	far far	v + f	2e _	e	Pyramider med tilstrækkelig højde tilføjes til frøet, så to trekanter, der hører til forskellige pyramider og har en fælles side af frøet, bliver koplanære (ligger på samme plan) og danner en ny flade. Operationen skaber firkantede ansigter.
k k n	kis	nd = dz dtd	v + f	3e _	2e _	En pyramide er tilføjet på hvert ansigt. Akisering eller kumulation, [1] stigning eller pyramideformet udvidelse .
t t n	afkorte	nd = dz dkd	2e _	3e _	v + f	Trimmer alle hjørner. Operationen er konjugeret til kis
n	nål	kd = dt dzd	v + f	3e _	2e _	Det dobbelte polyeder til et afkortet frø. Ansigter trianguleres med to trekanter for hver kant. Dette halverer fladerne gennem alle spidser og kanter, mens de originale kanter fjernes. Operationen transformerer den geodætiske polytop ( a , b ) til ( a +2 b , a - b ) for a > b . Den konverterer også ( a ,0) til ( a , a ), ( a , a ) til (3 a ,0), (2,1) til (4,1) osv.
z	lynlås	dk = td dnd	2e _	3e _	v + f	Den dobbelte polytop til frøet efter operationen kis eller trunkeringen af den dobbelte polytop. Operationen skaber nye kanter, der er vinkelrette på de originale kanter. Operationen kaldes også bitruncation ( dyb trunkering ). Denne operation transformerer Goldberg polytopen G ( a , b ) til G ( a +2 b , a - b ) for a > b . Den konverterer også G ( a ,0) til G ( a , a ), G ( a , a ) til G (3 a ,0), G (2,1) til G (4,1) og så videre.
e	udvide (strække)	aa dod = gør	2e _	4e _	v + e + f	Hvert vertex skaber et nyt ansigt, og hver kant skaber en ny quad. ( kantel = affasning)
o	ortho	daa ded = de	v + e + f	4e _	2e _	Hver n -gonal flade er opdelt i n firkanter.
rg = g _	gyro	dsd = ds	v + 2e + f	5e _	2e _	Hver n -gonal flade er opdelt i n femkanter.
s rs = s	snub	dgd = dg	2e _	5e _	v + 2e + f	"udvidelse og vridning" - hvert toppunkt danner et nyt ansigt, og hver kant danner to nye trekanter
b	affasning	dkda = ta dmd = dm	4e _	6e _	v + e + f	Nye ansigter tilføjes i stedet for kanter og spidser. (cantruncation = bevel-truncation )
m	meta medial	kda = kj dbd = db	v + e + f	6e _	4e _	Triangulering med tilføjelse af hjørner i midten af flader og kanter.

Dannelse af korrekte frø

Alle fem regulære polytoper kan genereres fra prismatiske generatorer ved hjælp af nul til to operatorer:

Trekantet pyramide : Y3 (Tetraeder er et specialtilfælde af pyramider)
- T = Y3
- O = aT (tetraeder efter ambo-operation)
- C = jT (tetraeder efter sammenføjningsoperation)
- I = sT (snub tetrahedron, tetrahedron efter snub operation)
- D = gT (tetraeder efter gyrooperation)
Trekantet antiprisme : A3 (oktaederet er et specialtilfælde af antiprismer)
- O=A3
- C=dA3
Firkantet prisme : P4 (Terning er et specialtilfælde af et prisme)
- C=P4
Femkantet antiprisme : A5
- I = k5A5 (Særligt tilfælde af snoet, langstrakt bipyramide )
- D = t5dA5 (Særligt tilfælde af trunkeret trapezohedron )

Den korrekte euklidiske flisebelægning kan også bruges som frø:

Q = Quadrille (firkantet flisebelægning) = firkantet flisebelægning
H = Hextille = hexagonal flisebelægning = dΔ
Δ = Deltille = trekantet flisebelægning = dH

Eksempler

Terningen kan danne alle konvekse ensartede polyedre med oktaedrisk symmetri . Den første linje viser de arkimedeiske faste stoffer , og den anden viser de catalanske faste stoffer . Den anden række er dannet som dobbelte polyedre til polyedre i den første række. Hvis du sammenligner hvert nyt polyeder med en terning, kan du forstå de visuelt udførte operationer.

Terning "frø"	ambo	afkorte	lynlås	udvide	affasning	snub
CdO _	aC aO	tC zO	zC = dkC tilO	aaC = eCeO	bC = taC taO	sC sO
dobbelt	tilslutte	nål	kis	ortho	medial	gyro
dCO _	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gC goO

Et trunkeret icosahedron , tI eller zD, som er en Goldberg G(2,0) polytop, skaber yderligere polytoper, der hverken er vertex- eller ansigtstransitive .

Afkortet icosahedron som frø

"frø"	ambo	afkorte	lynlås	udvidelse	affasning	snub
zD tI Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine	azI atI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	tzD ttI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	tdzD tdtI Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine	aazD = ezD aatI = etI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	bzD btI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	szD stI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine
dobbelt	tilslutte	nål	kis	ortho	medial	gyro
dzD dtI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	jzD jtI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	kdzD kdtI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	kzD ktI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	ozD otI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	mzD mtI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine	gzD gtI Arkiveret 1. februar 2017 på Wayback Machine

Geometriske koordinater af afledte former

I det generelle tilfælde kan et frø opfattes som en flisebelægning af overfladen. Da operatorerne repræsenterer topologiske operationer, er de nøjagtige positioner af hjørnerne af afledte former generelt ikke defineret. Konvekse regulære polytoper som frø kan betragtes som fliser af en kugle, og derfor kan afledte polytoper betragtes som placeret på en kugle. Ligesom almindelige flisebelægninger såsom sekskantet parket , kan disse polyedre på kuglen fungere som et frø til afledte fliser. Ikke-konvekse polyedre kan blive til frø, hvis forbundne topologiske overflader er defineret for at begrænse positionen af hjørnerne. For eksempel kan toroidale polyedre producere andre polyedre med punkter på den samme toriske overflade.

Eksempel: Dodekaederfrø som en kugleformet flisebelægning

D	tD	aD	zD = dkD	udg	bD = taD	SD
dd	nD = dtD	jD = daD	kD = dtdD	oD = deD	mD=dtaD	gD

Eksempel: Euklidisk sekskantet flisefrø (H)

H	th	aH	tdH = H	eH	bH = taH	sH
dH	nH = dtH	jH = daH	dtdH = kH	oH = deH	mH = dtaH	gH = dsH

Afledte operationer

Blanding af to eller flere grundlæggende operationer resulterer i en lang række forskellige former. Der er mange andre afledte operationer. For eksempel at blande to ambo-, kis- eller expand-operationer sammen med dobbeltoperationer. Brug af alternative operatorer som join, truncate, ortho, bevel og medial kan forenkle navnene og fjerne de dobbelte operatorer. Det samlede antal kanter af afledte operationer kan beregnes i form af multiplikatorerne for hver enkelt operatør.

Operatør(er)	d	en j	k , tn , z _	e o	gs _	a & k	a & e	k & k	k & e k & a 2	e & e
kantmultiplikator	en	2	3	fire	5	6	otte	9	12	16
Unikke derivatoperatorer						otte	2	otte	ti	2

Operationerne i tabellen er vist for en terning (som et eksempel på et frø) og er tegnet på terningens overflade. De blå flader skærer de originale kanter, og de lyserøde flader svarer til de originale hjørner.

Afledte operationer

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	facetter	Beskrivelse
	frø		v	e	f	Indledende polyeder
på		akd	3e _	6e _	v + 2e + f	ambo operation efter trunkering
jk		dak	v + 2e + f	6e _	3e _	deltage i operation efter kis. Svarende til ortho , bortset fra at de nye firkantede flader er indsat i stedet for de originale kanter
ak		dage	3e _	6e _	v + 2e + f	Operation ambo efter kis. Svarende til at udvide, bortset fra at nye hjørner tilføjes til de oprindelige kanter, der danner to trekanter.
jt		dakd = dat	v + 2e + f	6e _	3e _	join operation efter trunkering. Den dobbelte polyhedron til den opnåede efter operationerne afkortes, derefter ambo
tj		dka	4e _	6e _	v + e + f	afkorte join
ka			v + e + f	6e _	4e _	kis ambo
ea eller ae		aaa	4e _	8e _	v + 3e + f	udvidet ambo drift, triple ambo drift
oa eller je		daaa = jjj	v + 3e + f	8e _	4e _	Orth operation efter ambo, triple join operation
x = kt	ophøje	kdkd dtkd	v + e + f	9e _	7e _	Operationer handler om at afkorte, triangulere, dele kanter i 3 dele og tilføje nye hjørner til midten af de originale flader. Operationen transformerer den geodætiske polytop ( a , b ) til (3 a ,3 b ).
y = tk	ryk	dkdk dktd	v + e + f	9e _	7e _	Operationer afkorter kis, ekspansion med sekskanter rundt om hver kant Operationen transformerer Goldberg polyhedron G ( a , b ) til G (3 a ,3 b ).
nk		kdk = dtk = ktd	7e _	9e _	v + e + f	nåle-kys
tn		dkdkd = dkt = tkd	7e _	9e _	v + e + f	afskåret nål
tt		dkkd	7e _	9e _	v + e + f	dobbelt trunkeringsoperation
kk		dttd	v + 2e + f	9e _	6e _	dobbelt operation kis
nt		kkd = dtt	v + e + f	9e _	7e _	nålen afkortes
tz		dkk = ttd	6e _	9e _	v + 2e + f	afkorte lynlås
ke		kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis udvide
til		dkaa	8e	12e	v+3e+f	afkorte ortho
ek		aak	6e	12e	v+5e+f	udvide kis
Okay		daak = dek	v+5e+f	12e	6e	orthokis
et		aadkd	6e	12e	v+5e+f	udvidet trunkeringsoperation
ot		daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	ortho afkorte
te eller ba		dkdaa	8e	12e	v+3e+f	afkorte udvide
ko eller ma		kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis ortho
ab eller am		aka = ata	6e _	12e _	v + 5e + f	ambo affasning
jb eller jm		daka = data	v + 5e + f	12e _	6e _	sammenføjet skråkant
ee		aaaa	v+7e+f	16e	8e	dobbelt-udvide
oo		daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	dobbelt-orto

Chirale afledte operationer

Der er andre afledte operationer, hvis gyro bruges med ambo-, kis- eller expand-operationer og op til tre dobbeltoperationer.

Operatør(er)	d	-en	k	e	g	a&g	k&g	for eksempel	g&g
kantmultiplikator	en	2	3	fire	5	ti	femten	tyve	25
Unikke derivatoperatorer						fire	otte	fire	2

Kirale børneoperationer

Operatør	Navn	Bygning	toppe	ribben	ansigter	Beskrivelse
	frø		v	e	f	Indledende polyeder
ag		som djsd = djs	v + 4e + f	10e _	5e _	ambo gyro
jg		dag = js dasd = das	5e _	10e _	v + 4e + f	sluttede sig til gyro
ga		gj dsjd = dsj	v + 5e + f	10e _	4e _	gyro ambo
sa		dga = sj dgjd = dgj	4e _	10e _	v + 5e + f	snub ambo
kg		dtsd = dts	v + 4e + f	15 e	10e _	kis gyro
ts		dkgd = dkg	10e _	15 e	v + 4e + f	afkortet snub
gk		dstd	v + 8e + f	15 e	6e _	gyrokis
st		dgkd	6e _	15 e	v + 8e + f	snub trunkering
sk		dgtd	v + 8e + f	15 e	6e _	snubkis
gt		dskd	6e _	15 e	v + 8e + f	gyro trunkering
ks		kdg dtgd = dtg	v + 4e + f	15 e	10e _	kys snub
tg		dkdg dksd	10e _	15 e	v + 4e + f	afkortet gyro
for eksempel		es aag	v + 9e + f	20e _	10e _	udvidet gyro
og		os daagd = daag	10e _	20e _	v + 9e + f	udvidet snub
ge		gå gaa	v + 11e + f	20e _	8e _	gyro ekspandere
se		så dgaad = dgaa	8e _	20e _	v + 11e + f	snub udvide
gg		gs dssd = dss	v + 14e + f	25e _	10e _	dobbelt-gyro
ss		sg dggd = dgg	10e _	25e _	v + 14e + f	dobbelt-snub

Udvidede operatører

Disse udvidede udsagn kan ikke generisk oprettes ved hjælp af ovenstående grundlæggende handlinger. Nogle operatorer kan oprettes som specielle tilfælde med k- og t-operatorer, men anvendes på bestemte flader og hjørner. For eksempel kan en affaset terning , cC , Et.hjørnertrunkerede4valensmedjCellerdaC,dodecahedronrombisketsom,t4daCsomkonstrueres deltoidalt hexecontahedron kan konstrueres som deD eller oD med vertex trunkationer med valens trunkationer.

Nogle udvidede operatorer danner en sekvens og er givet efterfulgt af et tal. For eksempel opdeler ortho en kvadratisk flade i 4 kvadrater, mens o3 kan opdeles i 9 kvadrater. o3 er en unik konstruktion, mens o4 kan fås som oo , ortho-operatoren påført to gange. Loftsoperatøren kan inkludere et indeks, ligesom kis - operatøren , for at begrænse anvendelsen til et ansigt med et specificeret antal sider.

Affasningsoperationen skaber et Goldberg G(2,0) polyhedron med nye sekskanter mellem de originale flader. Successive affasningsoperationer skaber G(2 n ,0).

Avancerede operationer

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	ansigter	Beskrivelse
	frø		v	e	f	Indledende polyeder
c (fra c hamfer)	affasning	dud	v + 2e	4e _	f + e	Afskæring af ribben. I stedet for kanter indsættes nye sekskantede flader. Goldberg polyhedron (0,2)
-	-	dc	f + e	4e _	v + 2e	betjening dobbelt efter affasning
u	s du bdeler	dcd	v+e	4e	f+2e	Ambo- drift, mens originale hjørner er bevaret . Operation ligner Surface Subdivision Loop for trekantede flader
-		cd	f+2e	4e	v+e	Operation dobbelt efter underinddeling
lln _ _	loft _		v + 2e	5e _	f +2 e	Forlængelse af hver flade med et prisme , tilføjelse af en mindre kopi af hver flade med trapezoider mellem den indre og ydre flade.
		dl dln _	f +2 e	5e _	v + 2e	Betjening dobbelt efter loft
		ld l n d	f +2 e	5e _	v + 2e	Drift loft efter dual
		dld dl n d	v + 2e	5e _	f +2 e	Drift forbundet med hems
		dL0	f +3 e	6e _	v + 2e	Betjening dobbelt efter sammenføjet snøre
		L0d	f +2 e	6e _	v + 3e	sammenføjet snøreoperation efter dual
		dL0d	v + 3e	6e _	f +2 e	Operation i forbindelse med sammenføjede snørebånd
q	q ind		v+3e	6e	f+2e	Ortooperationen efterfulgt af trunkering af hjørnerne placeret i midten af de oprindelige flader. Operationen skaber 2 nye femkanter for hver original kant.
-		dq	f+2e	6e	v+3e	Operation dual efter quinto
		qd	v+2e	6e	f+3e	Operation quinto efter dual
-		dqd	f+3e	6e	v+2e	Operation forbundet med quinto
L0	sammenføjet-blonde		v + 2e	6e _	f +3 e	Svarende til blondeoperationen, men med nye quad-flader i stedet for de originale kanter
L L n	L ace		v + 2e	7e _	f +4 e	Forlænger hvert ansigt med en antiprisme , tilføjer en roteret mindre kopi af hvert ansigt med trekanter mellem de gamle og nye ansigter. Et indeks kan tilføjes for at begrænse operationen til et ansigt med et specificeret antal sider.
		dL dLn _	f +4 e	7e _	v + 2e	dobbelt operatør efter snøret
		Ld Ld n	f +2 e	7e _	v + 4e	blondeoperatør efter dual
		dLd dL n d	v + 4e	7e _	f +2 e	Sekvens af operationer dobbelt, blonder, dobbelt
K K n	sta K e		v+2e+f	7e	4e	Ansigtsopdeling med centrale quads og trekanter. Et indeks kan tilføjes for at begrænse operationen til et ansigt med et vist antal sider.
		d K dK n	4e	7e	v+2e+f	Operation dobbelt efter indsats
		kd	v+2e+f	7e	4e	satsdrift efter dual
		d K d	4e	7e	v+2e+f	Drift forbundet med indsats
M3	kant-medial-3		v+2e+f	7e	4e	Betjeningen ligner m3, men der er ikke tilføjet diagonale kanter
		dM3	4e	7e	v+2e+f	Dobbeltdrift efter kant-medial-3
		M3d	v+2e+f	7e	4e	kant-medial-3 operation efter dual
		dM3d	4e	7e	v+2e+f	Operation forbundet med kant-medial-3
M0	sluttede medial		v+2e+f	8e	5e	Operationen ligner medial, men med tilføjelse af rombiske flader i stedet for de originale kanter.
		d M0	v+2e+f	8e	5e	Dobbeltdrift efter sammenføjet-medial
		M0 d	v+2e+f	8e	5e	sammenføjet-medial operation efter dual
		d M0 d	5e	8e	v+2e+f	Operation forbundet med joined-medial
m3	medial-3		v+2e+f	9e	7e	Triangulering, der tilføjer to spidser pr. kant og en spids i midten af hver flade.
b3	skrå-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	Operation dobbelt efter medial-3
		m3d	7e	9e	v+2e+f	Operation medial-3 efter dual
		dm3d	v+2e+f	9e	7e	Operation forbundet med medial-3
o3	orto-3	de 3	v + 4e	9e _	f +4 e	Orth-operator med kantdeling med 3
e3	udvide-3	gør 3	f +4 e	9e _	v + 4e	udvide operatøren med deling af kanter med 3
x	kryds		v + f + 3e	10e _	6e _	En kombination af kis og subdivide operationer . De indledende kanter er delt i to, og der dannes trekantede og firkantede flader.
		dX	6e _	10e _	v + f + 3e	Operation dobbelt efter kryds
		xd	6e _	10e _	v + f + 3e	krydsoperation efter dual
		dXd	v + f + 3e	10e _	6e _	Operation forbundet med kryds
m4	medial-4		v+3e+f	12e	8e	Triangulering med 3 spidser tilføjet til hver kant og spidser til midten af hver flade.
u5	underinddeling-5		v + 8e	25e _	f + 16e	Kanter opdelt i 5 dele Denne operator opdeler kanter og flader, så der dannes 6 trekanter omkring hvert nyt toppunkt.

Udvidede chirale operatorer

Disse operatører kan ikke genereres generisk fra de grundlæggende operationer, der er anført ovenfor. Den geometriske kunstner Hart skabte en operation, han kaldte propellen .

p - " p ropeller" = propel (rotationsoperator, der opretter quads , hvor hjørnerne er). Denne operation er selv-dual: dpX=pdX.

Avancerede chirale operationer

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	facetter	Beskrivelse
	"Frø"		v	e	f	Indledende polyeder
rp = p _	propel		v + 2e	5e _	f + 2e	gyrodrift efterfulgt af ambo på spidserne i midten af de originale flader
-	-	dp=pd	f + 2e	5e _	v + 2e	De samme spidser som i gyro, men kanter er dannet i stedet for de oprindelige spidser
-			4e _	7e _	v + 2e + f	Operationen ligner snub , men de originale flader har femkanter i stedet for trekanter rundt om omkredsen.
-	-	-	v + 2e + f	7e _	4e _
w = w2 = w2,1 rw = w	hvirvle		v+4 e	7e _	f+2 e	Operationsgyro efterfulgt af trunkering af hjørnerne i midten af de originale flader. Operationen skaber 2 nye sekskanter for hver original kant, Goldberg polyhedron (2,1) Den afledte operator wrw transformerer G(a,b) til G(7a,7b).
rv = v _	bind	dwd	f+2 e	7e _	v+4 e	dobbelt operatør efter hvirvel, eller snub efterfulgt af kis på de originale ansigter. Den resulterende vrv- operator transformerer det geodætiske polyeder (a,b) til (7a,7b).
g3 rg3 = g3	gyro-3		v + 6e	11 e	f +4 e	Gyrooperationen skaber 3 femkanter langs hver kildekant
s3 rs3 = s3	snub-3	dg 3 d = dg 3	f +4 e	11 e	v + 6e	Den dobbelte operation efter gyro-3, snub-operationen, der deler kanterne i 4 midterste trekanter og med trekanter i stedet for de oprindelige hjørner
w3.1 rw3.1 = w3.1	hvirvel-3.1		v+ 8e	13e _	f+ 4e	Operationen skaber 4 nye sekskanter for hver original kant, Goldberg polyhedron (3,1)
w3 = w3,2 rw3 = w3	hvirvel-3,2		v+ 12e	19e _	f+6 e	Operationen skaber 12 nye sekskanter for hver original kant, Goldberg polyhedron (3,2)

Handlinger, der bevarer originale kanter

Disse ekspansionsoperationer forlader de originale kanter og gør det muligt at anvende operatøren på enhver uafhængig undergruppe af flader. Conways notation opretholder et ekstra indeks for disse operationer, der angiver antallet af sider af de flader, der er involveret i operationen.

Operatør	kis	kop	en kop	loft	blonder	indsats	kys-kis
Eksempel	kC	UC	VC	lC	LC	KC	kkC
ribben	3e _	4 e - f 4	5 e - f 4	5e _	6e _	7e _	9e _
Billede på terning
Udvidelse	Pyramide	Kuppel	antidome	Prisme	antiprisme

Coxeter-operatører

Coxeter / Johnson operatører er nogle gange nyttige, når de er blandet med Conway operatører. For klarhedens skyld er disse operationer i Conways notation angivet med store bogstaver. Coxeter t-notation definerer varme cirkler som indekser af et Coxeter-Dynkin diagram . I tabellen definerer det store T med indeks 0,1,2 således homogene operatorer fra det korrekte frø. Indeks nul repræsenterer hjørner, 1 repræsenterer kanter, og 2 repræsenterer flader. For T = T 0.1 vil dette være en normal trunkering, og R = T 1 er en fuld trunkering, eller korrigere operation , det samme som Conways ambo-operator. For eksempel er r{4,3} eller t 1 {4,3} Coxeter-navnet for cuboctahedron , og den trunkerede terning er RC , det samme som Conways ambo-terning , aC .

Udvidet Coxeter Operations

Operatør	Eksempel	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	facetter	Beskrivelse
T0 _	, t 0 {4,3}	"Frø"		v	e	f	frøform
R = T1 _	, t 1 {4,3}	rette	-en	e	2e _	f + v	På samme måde som ambo tilføjes nye hjørner i midten af kanterne, og nye flader erstatter de originale hjørner. Alle hjørner har valens 4.
T2 _	, t 2 {4,3}	dobbelt birectify	d	f	e	v	Den dobbelte operation for frø-polyederet - hvert toppunkt skaber et nyt ansigt
T = T0.1 _	, t 0,1 {4,3}	afkorte	t	2e _	3e _	v + f	Alle hjørner er afskåret.
T 1.2	, t 1,2 {4,3}	bitruncate	z = td	2e _	3e _	v + f	Samme som lynlås
RR = T 0,2	, t 0,2 {4,3}	kantellate	aa = e	2e _	4e _	v + e + f	Samme som udvide
TR = T 0,1,2	, t 0.1.2 {4.3}	kan ikke løbe	ta	4e _	6e _	v + e + f	Samme som skråkant

Semioperatorer

Coxeters semi- eller demi - operator , H (fra Half ) , reducerer antallet af sider af hver side med det halve og quadfaces til digoner med to kanter, der forbinder de to hjørner, og disse to kanter kan eller kan ikke erstattes af en enkelt kant . For eksempel er den halve terning, h{4,3}, en halv terning, HC, der repræsenterer en af de to tetraedre. Ho forkorter ortho til ambo / Rectify .

Andre semi-operatorer (semi-operatorer) kan defineres ved hjælp af H- operatoren . Conway kalder Coxeters Snub -operatør S , semi-snub defineret som Ht . Conways snub s operatør er defineret som SR . For eksempel er SRC en snub cube , sr{4,3}. Det snubte Coxeter octahedron , s{3,4} kan defineres som SO , konstruktionen af pyrit-hedral symmetri for et regulært icosahedron . Dette er også i overensstemmelse med definitionen af en regulær snub firkantet antiprisme som SA 4.

Semi- gyrooperatoren , G , er defineret som dHt . Dette giver os mulighed for at definere Conway rotationsoperatoren g (gyro) som GR . For eksempel er GRC en gyro-terning, gC eller et femkantet icositetrahedron . GO definerer et pyritohedron med pyrithedral symmetri , mens gT ( gyro tetrahedron ) definerer det samme topologiske polyeder med tetraedrisk symmetri .

Begge operatører S og G kræver, at den nøgne polytop har spidser med jævn valens. I alle disse semi-operatorer er der to valgmuligheder for toppunktsveksling for den halve operator . Disse to konstruktioner er generelt ikke topologisk identiske. For eksempel definerer HjC enten en terning eller et oktaeder, afhængigt af hvilket sæt toppunkter der er valgt.

De andre operatorer gælder kun for polytoper med flader, der har et lige antal kanter. Den enkleste operator er semi-join , som er konjugatet af halvoperatoren , dHd .

Semi - ortho-operatoren , F , er konjugeret til semi-snub. Den tilføjer et toppunkt til midten af ansigtet og halverer alle kanter, men forbinder midten med kun halvdelen af kanterne med nye kanter, og skaber dermed nye sekskantede flader. De originale firkantede flader kræver ikke et centralt toppunkt, men kræver kun en kant gennem ansigtet, hvilket skaber et par femkanter. For eksempel kan dodecahedron -tetartoidet konstrueres som FC .

Den semi- udvidende operator , E , er defineret som Htd eller Hz . Operatøren skaber trekantede ansigter. For eksempel skaber EC en konstruktion med pyroedrisk symmetri af pseudoicosahedron .

Halvoperatorer på polyedre med flader med et lige antal sider

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	ansigter	Beskrivelse
H = H1H2 _	semi-ambo H alf 1 og 2		v /2	e - f 4	f - f 4 + v /2	Skiftende , sletter halvdelen af hjørnerne. De firkantede flader ( f 4 ) er reduceret til enkeltkanter.
I = I1 I2	semi-trunkeret 1 og 2		v /2+ e	2e _	f + v /2	Afkorter hvert andet toppunkt
	semi-nål 1 og 2	dI	v /2+ f	2e _	e + v /2	Nåleoperationen af hvert andet vertex
F = F1 F2	semi-ortho Flex 1 og 2	dHtd = dHz dSd	v + e + f - f 4	3 e - f 4	e	Operation dual efter semi-expand - nye toppunkter skabes på kanter og i midten af flader er 2 n -goner opdelt i n hexagoner, firsidede flader ( f 4 ) vil ikke indeholde et centralt toppunkt, så der dannes to femkantede flader.
E = E1 E2	semi-ekspandere Eco 1 og 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	e	3 e - f 4	v + e + f - f 4	Operation dobbelt efter semi-ortho - nye trekantede flader skabes. De oprindelige flader erstattes med polygoner med halvdelen af siderne, firkanterne ( f 4 ) reduceres til enkeltkanter.
U = U 1 U 2	halvblonde C U p 1 og 2		v + e	4 e - f 4	2 e + f - f 4	Kantforlænger med kupler .
V = V 1 V 2	halvblonde Anticup 3 og 4		v + e	5 e - f 4	3 e + f - f 4	Kantforstørrelse med anti-dome
	semi-medial 1 og 2	XdH = XJd	v + e + f	5e _	3e _	Skift medial operation med hensyn til diagonaler
	semi-mediale 3 og 4		v + e + f	5e _	3e _	Alternativ operation medial med hensyn til medianer (forbinder midtpunkterne på modsatte sider)
	semi-bevel 1 og 2	dXdH = dXJd	3e _	5e _	v + e + f	Skift affasning med hensyn til diagonaler
	semi-bevel 3 og 4		3e _	5e _	v + e + f	Skift affasning i forhold til medianer

Halvoperationer på polyedre med hjørner af jævn valens

Operatør	Navn	Alternativ konstruktion	toppe	ribben	ansigter	Beskrivelse
J = J1 J2	semi-sammenføjning 1 og 2	dhd	v - v 4 + f /2	e - v 4	f /2	Operatør konjugerer til halvdelen, sammenslut operatør på skiftende flader. 4-valente hjørner ( v 4 ) reduceres til 2-valente og erstattes af en enkelt kant.
	semi-kis 1 og 2	gjorde det	v + f /2	2e _	f /2+ e	Operation kis på halve (skiftevis, ikke rørende langs en kant) flader
	semi-zip 1 og 2	ID	f /2+ e	2e _	v + f /2	Lynlåsbetjening på halve flader
S = S1 S2	semi-snub 1 og 2	Ht dFd	v - v 4 + e	3 e - v 4	f + e	Den dobbelte operation efter semi-gyroen er en snub -operation , der roterer de originale flader, mens der tilføjes nye trekantede flader til de resulterende mellemrum.
G = G1 G2	semi-gyro 1 og 2	dHt dS = Fd dEd	f + e	3 e - v 4	v - v 4 + e	Den dobbelte operation efter semi-snub skaber femkantede og sekskantede flader langs de originale kanter.
	semi-medial 1 og 2	XdHd = XJ	3e _	5e _	v + e + f	Operation medial på halve (kant-rørende) flader
	semi-bevel 1 og 2	dXdHd = dXJ	v + e + f	5e _	3e _	Affasning på halve (ikke-kant-rørende) flader

Underafdelinger

Inddelingsoperationen opdeler de oprindelige kanter i n nye kanter, og det indre af fladerne er fyldt med trekanter eller andre polygoner.

Kvadratisk underinddeling

Ortooperatoren kan anvendes på en række potenser af to firsidede underafdelinger. Andre underinddelinger kan opnås som et resultat af faktoriserede underinddelinger. Propeloperatøren, påført sekventielt, resulterer i en 5-ords underinddeling. Hvis frøet har ikke-fireflader, forbliver de som reducerede kopier for ulige ortho-operatorer.

Eksempler på terninger

Ortho		o 2 = o	o 3	o 4 = o 2	o 5 = prp	o 6 = oo 3	o 7	o 8 = o 3	o 9 \ u003d o 3 2	o 10 = oo 5 = oprp
Eksempel
Toppe	v	v + e + f	v + 4e	v + 7e + f	v +12 e	v + 17e + f	v + 24e	v + 31e + f	v + 40e	v + 63e + f
ribben	e	4e _	9e _	16e _	25e _	36e _	49e _	64e _	81e _	128e _
Facetter	f	2e _	f +4 e	8e _	f + 12e	18e _	f + 24e	32e _	f + 40e	64e _
Udvid (dobbelt)		e2 = e _	e 3	e4 = e2 _ _	e 5 = dprp	e 6 = ee 3	e 7	e8 = e3 _ _	e 9 \ u003d e 3 2	e 10 = ee 5 = doprp
Eksempel

Chiral sekskantet underopdeling

Hvirveloperatoren skaber et Goldberg [ G(2,1) polyhedron med nye sekskantede flader omkring hvert oprindelige toppunkt. To på hinanden følgende hvirveloperationer skaber G(3,5). Generelt kan hvirveloperationen transformere G( a , b ) til G( a +3 b , 2 a - b ) for a > b og i samme chirale retning. Hvis de chirale retninger vendes om, bliver G( a , b ) til G(2 a +3 b , a -2 b ) for a >=2 b og G(3 a + b ,2 b - a ) for a < 2 b .

Hvirveloperatorerne danner Goldberg polytoper ( n , n -1) og kan defineres ved at opdele kanterne af den nøgne polytop i 2 n -1 underkanter.

Resultatet af operationen hvirvel- n og dets inverse danner et (3 n 2 -3 n +1,0) Goldberg polyhedron . wrw er (7,0), w 3 rw 3 er (19,0), w 4 rw 4 er (37,0), w 5 rw 5 er (61,0), og w 6 rw 6 er (91, 0). Resultatet af to hvirvel- n operationer er (( n -1)(3 n -1),2 n -1) eller (3 n 2 -4 n +1,2 n -1). Produktet af w a ved w b giver (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), og w a ved det omvendte w b giver (3ab-a-2b+1,ab) for en ≥b.

Produktet af to identiske operatorer hvirvel- n danner Goldberg-polytopen (( n -1)(3 n -1),2 n -1). Produktet af k-whirl og zip er (3k-2,1).

hvirvel- operatører

Navn	frø	hvirvle	Hvirvel-3	Hvirvel-4	Hvirvel-5	Hvirvel-6	Hvirvel-7	Hvirvel-8	Hvirvel-9	Hvirvel-10	Hvirvel-11	Hvirvel-12	Hvirvel-13	Hvirvel-14	Hvirvel-15	Hvirvel-16	Hvirvel-17	Hvirvel-18	Hvirvel-19	Hvirvel-20	Hvirvel- n
Operatør (sammensat)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 wrw 3.1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7.2	w14	w15	w16 ww9.2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11.3	w n
Goldberg polyhedron	(1,0)	(2.1)	(3.2)	(4.3)	(5.4)	(6,5)	(7,6)	(8,7)	(9,8)	(10,9)	(11.10)	(12.11)	(13.12)	(14.13)	(15.14)	(16.15)	(17.16)	(18.17)	(19.18)	(20.19)	( n , n - 1)
T ekspansion	en	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3n ( n -1 ) +1
Eksempel
Vertex	v	v + 4e	v +12 e	v + 24e	v + 40e	v + 60e	v +84 e	v + 112e	v +144 e	v + 180e	v + 220e	v +264 e	v +312 e	v +364 e	v +420 e	v +480 e	v +544 e	v +612 e	v +684 e	v +760 e	v + 2n ( n -1) e
ribben	e	7e _	19e _	37 e	61 e	91 e	127e _	169 e	217e _	271e _	331e _	397 e	469 e	547 e	631 e	721e _	817e _	919e _	1027 e	1141 e	e + 3n ( n - 1) e
Facetter	f	f +2 e	f +6 e	f + 12e	f + 20e	f + 30e	f + 42e	f + 56e	f + 72e	f + 90e	f + 110e	f +132 e	f +156 e	f + 182e	f + 210e	f + 240e	f + 272e	f + 306e	f + 342e	f +380 e	f + n ( n - 1) e
w n w n	(1,0)	(5.3)	(16,5)	(33,7)	(56,9)	(85,11)	(120,13)	(161,15)	(208.17)	(261,19)	(320,21)	(385,23)	(456,25)	(533,27)	(616,29)	(705,31)	(800,33)	(901,35)	(1008,37)	(1121,39)	(( n - 1)( 3n -1), 2n - 1)
w n r w n	(1,0)	(7,0)	(19,0)	(37,0)	(61,0)	(91,0)	(127,0)	(169,0)	(217,0)	(271,0)	(331,0)	(397,0)	(469,0)	(547,0)	(631,0)	(721,0)	(817,0)	(919,0)	(1027,0)	(1141,0)	(1+ 3n ( n -1),0)
w n z	(1.1)	(4.1)	(7.1)	(10.1)	(13.1)	(16.1)	(19,1)	(22.1)	(25,1)	(28,1)	(31.1)	(34,1)	(37,1)	(40,1)	(43,1)	(46,1)	(49,1)	(52,1)	(55,1)	(58,1)	( 3n -2,1)

Trianguleret underinddeling

Operationen u n opdeler fladerne i trekanter ved at opdele hver kant i n dele , kaldet n - frekvensdelingen af Buckminster Fullers geodætiske polyeder 2] .

Conway-operatører på polyedre kan konstruere mange af disse underafdelinger.

Hvis alle de originale flader er trekanter, vil de nye polyedre også have alle flader som trekanter, og trekantede tesseller bliver skabt i stedet for de originale flader . Hvis de originale polyeder har flader med flere sider, vil alle nye flader ikke nødvendigvis være trekanter. I sådanne tilfælde kan polyederet først udsættes for kis-operationen med nye hjørner i midten af hvert ansigt.

Eksempler på underinddelinger i en terning

Operatør	u 1	u2 = u	u3 = x	u 4 =uu	u 5	u 6 =ux	u 7 \u003d vrv	u 8 =uuu	u9 = xx
Eksempel
Conway notation	C Arkiveret 2. februar 2017 på Wayback Machine	uC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	xC Arkiveret 16. marts 2017 på Wayback Machine	uuC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	u 5 C	uxC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	vrvC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	uuuC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	xxC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine
Toppe	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
ribben	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
Facetter	f	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
Fuld triangulering
Operatør	u 1 k	u 2 k =uk	u 3 k =xk	u 4 k =uuk	u 5 k	u 6 k =uxk	u 7 k \u003d vrvk	u 8 k =uuuk	u 9 k =xxk
Eksempel
Conway	kC Arkiveret 5. februar 2017 på Wayback Machine	ukC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	xkC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	uukC Arkiveret 16. marts 2017 på Wayback Machine	u 5 kC	uxkC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	vrvkC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine	uuukC Arkiveret 16. marts 2017 på Wayback Machine	xxkC Arkiveret 15. marts 2017 på Wayback Machine
Dual Goldberg	{3,n+} 1,1	{3,n+} 2,2	{3,n+} 3,3	{3,n+} 4.4	{3,n+} 5.5	{3,n+} 6.6	{3,n+} 7.7	{3,n+} 8,8	{3,n+} 9,9

Geodætiske polyedre

Conways operationer kan duplikere nogle af Goldberg-polyedre og dobbelte til geodætiske polyedre. Antallet af hjørner, kanter og flader af Goldberg polyhedron G ( m , n ) kan beregnes ud fra m og n , og antallet af nye trekanter i hver oprindelige trekant beregnes med formlen T = m 2 + mn + n 2 = ( m + n ) 2 - mn . Konstruktionerne ( m ,0) og ( m , m ) er anført under notationen for Conway-operationerne.

Klasse I

For dobbelte Goldberg-polytoper defineres operatoren u k her som en opdeling af flader med opdeling af kanter i k dele. I dette tilfælde er Conway-operatøren u = u 2 , og dens tilstødende operatør dud er operatørens affasning , c . Denne operator bruges i computergrafik , i Loop-underinddelingsskemaet . Operatoren u 3 er givet af Conway-operatoren kt = x , og dens sideordnede operator y = dxd = tk . Produktet af to hvirveloperatorer med chiralitetsvending, wrw eller w w , giver en 7-underinddeling i form af en Goldberg-polytop G(7,0), så u 7 = vrv . Mindre underopdelinger og hvirveloperationer på chirale par kan konstruere yderligere former i klasse I. Operationen w(3,1)rw(3,1) giver Goldberg-polytopen G(13,0). Operationen w(3,2)rw(3,2) giver G(19,0).

Klasse I: Inddelingsoperationer på icosahedron som geodætiske polyedre

( m ,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(9,0)	(10,0)	(11,0)	(12,0)	(13,0)	(14,0)	(15,0)	(16,0)
T	en	fire	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Operation Composite	u 1	u 2 = u = dcd	u 3 \ u003d x \ u003d kt	u 4 = u 2 2 = dccd	u 5	u 6 = u 2 u 3 = dctkd	u 7 = v v = dwrwd	u 8 = u 2 3 = dcccd	u 9 = u 3 2 = ktkt	u 10 = u 2 u 5	u 11	u 12 = u 2 2 u 3 = dccdkt	u 13 v 3.1 v 3.1	u 14 = u 2 u 7 = uv v = dcwrwd	u 15 = u 3 u 5 = u 5 x	u 16 = u 2 4 = dccccd
trekantet ansigt
Icosahedron Conway Geodesic	Jeg arkiverede den 30. december 2016 på Wayback Machine { 3.5+ } 1.0	uI = k5aI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 2.0	xI = ktI Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 3.0	u 2 I Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 4.0	{3,5+} 5,0	uxI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 6.0	vrvI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 7.0	u 3 I Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 8.0	x 2 I Arkiveret 8. januar 2018 på Wayback Machine { 3.5+ } 9.0	{3,5+} 10,0	{3,5+} 11,0	u 2 x I Arkiveret 10. januar 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 12.0	{3,5+} 13,0	uvrvI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 14.0	{3,5+} 15,0	u 4 I Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine { 3.5+ } 16.0
Dobbelt operatør		c	y = tk	cc	fra 5	cy = ctk	ww = wrw _	ccc	y 2 = tktk	cc5 _	fra 11	ccy = cctk	w 3,1 w 3,1	cw w = cwrw	c 5 år	cccc
Dodecahedron Conway Goldberg	D Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 1.0	cD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.0	yD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 3.0	ccD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.0	c 3 D {5+,3} 5,0	cyD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 6.0	wrwD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 7.0	cccD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 8.0	y 2 D Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 9.0	cc 5 D {5+,3} 10,0	c 11 D {5+,3} 11,0	ccyD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 12.0	w3,1rw3,1D {5+,3} 13.0	cwrwD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 14.0	c 5 yD {5+,3} 15,0	ccccD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine G{5+,3} 16.0

Klasse II

En ortogonal division kan også defineres ved hjælp af operatoren n = kd . Operatoren transformerer den geodætiske polytop ( a , b ) til ( a +2 b , a - b ) for a > b . Det konverterer ( a ,0) til ( a , a ) og ( a , a ) til (3 a ,0). Operatoren z = dk gør det samme for Goldberg polyeder.

Klasse II: Ortogonale inddelingsoperationer

( m , m )	(1.1)	(2.2)	(3.3)	(4.4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(9,9)	(10.10)	(11.11)	(12.12)	(13.13)	(14.14)	(15.15)	(16.16)
T = m 2 x 3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Operation	u 1 n n = kd	u 2 n = un = dct	u 3 n = xn = ktkd	u 4 n = u 2 2 n = dcct	u 5 n	u 6 n = u 2 = u 3 n = dctkt	u 7 n = v v n = dwrwt	u 8 n = u 2 3 n = dccct	u 9 n = u 3 2 n = ktktkd	u 10 n = u 2 u 5 n	u 11 n	u 12 n = u 2 2 u 3 n = dcctkt	u 13 n	u 14 n = u 2 u 7 n = dcwrwt	u 15 n = u 3 u 5 n	u 16 n = u 2 4 n = dcccct
trekantet ansigt
Icosahedron Conway Geodesic	nI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 1.1	unI Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 2.2	xnI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 3.3	u 2 nI Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {3.5+} 4.4	{3,5+} 5,5	uxnI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 6.6	vrvnI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 7.7	u 3 nI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 8.8	x 2 nI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 9.9	{3.5+} 10.10	{3.5+} 11.11	u 2 xnI Arkiveret 10. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 12.12	{3.5+} 13.13	dcwrwdnI Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 14.14	{3.5+} 15.15	u 4 nI {3,5+} 16.16
Dobbelt operatør	z = dk	cz = cdk	yz = tkdk	c 2 z = ccdk	c5z	cyz = ctkdk	w w z = wrwdk	c 3 z = cccdk	y 2 z = tktkdk	cc5z	c11z	c 2 yz = c 2 tkdk	c13z	cwwz = cwrwdk _ _	c3c5z	c 4 z = ccccdk
Dodecahedron Conway Goldberg	zD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 1.1	czD Arkiveret 7. april 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.2	yzD Arkiveret 30. december 2016 på Wayback Machine {5+,3} 3.3	cczD Arkiveret 7. april 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.4	{5+,3} 5.5	cyzD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 6.6	wrwzD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 7.7	c 3 zD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 8.8	y 2 zD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 9.9	{5+,3} 10.10	G{5+,3} 11.11	ccyzD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 12.12	{5+,3} 13.13	cwrwzD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine G{5+,3} 14.14	{5+,3} 15.15	cccczD Arkiveret 9. januar 2017 på Wayback Machine {5+,3} 16.16

Klasse III

De fleste geodætiske polytoper og dualerne af Goldberg polyedre G(n,m) kan ikke konstrueres ved hjælp af operatorer afledt af Conway-operatører. Hvirveloperationen skaber et Goldberg polyeder G(2,1) med nye sekskantede flader omkring hvert oprindelige toppunkt, og n -hvirvel producerer G( n , n -1). På formularer med icosahedral symmetri svarer t5g i dette tilfælde til hvirvel. Operationen v (= v olut = drejning) repræsenterer den trekantede underinddeling dual til hvirvel . På icosaedriske former kan operationen udføres ved hjælp af den afledte operator k5s , pentakis snub .

To på hinanden følgende hvirveloperationer skaber G(3,5). Generelt kan hvirveloperationen transformere G( a , b ) til G( a +3 b , 2 a - b ) for a > b med samme chirale retning. Hvis den chirale retning vendes om, bliver G( a , b ) til G(2 a +3 b , a -2 b ) for a >=2 b , og G(3 a + b ,2 b - a ) for a < 2 b .

Klasse III: Operationer med underopdeling i ulige dele

Operation Composite	v 2,1 = v	v 3.1	v 3,2 = v 3	v4,1 = vn _	v 4,2 = vu	v 5.1	v 4,3 = v 4	v 5,2 = v 3 n	v 6.1	v 6,2 = v 3,1 u	v 5,3 = vv	v 7,1 = v 3 n	v 5,4 = v 5	v 6,3 = vx	v 7.2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
trekantet ansigt
Icosahedron Conway Geodesic	vI {3.5+} 2.1	v 3.1 I {3.5+} 3.1	v 3 I {3.5+} 3.2	vnI Arkiveret 3. februar 2017 på Wayback Machine {3.5+} 4.1	vui {3.5+} 4.2	{3.5+} 5.1	v 4 I {3.5+} 4.3	v 3 nI {3.5+} 5.2	{3.5+} 6.1	v 3.1uI { 3.5+ } 6.2	vvl {3.5+} 5.3	v 3 nI {3.5+} 7.1	v 5 I {3.5+} 5.4	vxI Arkiveret 8. januar 2018 på Wayback Machine {3.5+} 6.3	v 7.2 I {3.5+} 7.2
Operatør	w	w 3,1	w 3	wz	Toilet	w 5,1	w 4	w 3,1 z	w 6,1	w 3,1 s	www	w 3 z	w 5	wy	w 7,2
Conway dodekahedron	wD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 2.1	w 3.1 D {5+,3} 3.1	w 3 D {5+,3} 3,2	wzD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.1	wcD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 4.2	w 5,1 D {5+,3} 5,1	w 4 D {5+,3} 4.3	w 3 zD {5+,3} 5.2	{5+,3} 6.1	w 3,1 cD {5+,3} 6,2	wwD Arkiveret 21. oktober 2016 på Wayback Machine {5+,3} 5.3	w 3 zD {5+,3} 7.1	w 5 D {5+,3} 5.4	wyD Arkiveret 8. januar 2018 på Wayback Machine {5+,3} 6.3	w 7,2 D {5+,3} 7,2

Andre klasse III-operationer: Operationer med underopdeling i ulige dele

Operation Composite	v 8.1	v 6,4 = v 3 u	v 7.3	v 8,2 = wcz	v 6,5 = v 6 = vrv 3,1	vv 9.1 = vv 3.1	v 7.4	v 8.3	v 9.2	v 7.5	v 10,1 = v 4 n	v 8,4 = vuu	v 9,3 = v 3,1 x	v 7,6 = v 7	v 8,6 v 4 u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
trekantet ansigt
Icosahedron Conway Geodesic	v 8.1 I {3.5+} 8.1	v 3 ui { 3.5+ } 6.4	v 7.3 I {3.5+} 7.3	vunI {3.5+} 8.2	vv3.1I {3.5+} 6.5	vrv3.1I {3.5+} 9.1	v 7.4 I {3.5+} 7.4	v 8.3 I {3.5+} 8.3	v 9.2 I {3.5+} 9.2	v 7.5 I {3.5+} 7.5	v 4 nI {3.5+} 10.1	vuui {3.5+} 8.4	v 3.1xI { 3.5+ } 9.3	v 7 I {3.5+} 7.6	v 4 ui { 3.5+ } 8.6
Operatør	w 8,1	wrw 3.1	w 7,3	w3,1c	wcz	w 3,1 w	w 7,4	w 8,3	w 9,2	w 7,5	w 4 z	wcc	w 3,1 år	w 7	w 4 c
Conway dodekahedron	w 8,1 D {5+,3} 8,1	w 3 cD {5+,3} 6,4	w 7,3 D {5+,3} 7,3	wczD {5+,3} 8.2	ww3,1D {5+,3} 6.5	wrw3,1D {5+,3} 9,1	w 7,4 D {5+,3} 7,4	w 8,3 D {5+,3} 8,3	w 9,2 D {5+,3} 9,2	w 7,5 D {5+,3} 7,5	w4zD { 5 +,3} 10.1	wccD {5+,3} 8.4	w 3,1 yD {5+,3} 9,3	w 7 D {5+,3} 7.6	w 4 cD {5+,3} 8,6

Symmetrieksempler på polyedre

Gentagelse af operationer, startende med en simpel form, kan give polyedre med et stort antal ansigter, der bevarer frøets symmetri.

Tetraedrisk symmetri

t6dtT
atT
tatT
stT
XT (10e)
dxt (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
Fto

Oktaedrisk symmetri

daC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (2e)
cC (4e) * Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine
dcC (4e) * Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine
cO Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (4e)
akC (6e) * Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine
dakC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O(6e)
atC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (6e)
qC(6e)
edaC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (8e)
dktO=tkC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (9e)
taaC (12e) * Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
cdkC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (12e)
ccC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (16e)
tkdkC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (18e)
tatO Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (18e)
tatC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (18e)
l6l8taC Arkiveret 4. marts 2017 på Wayback Machine (22e)
ccdkC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (48e)
wrwC Arkiveret 16. januar 2017 på Wayback Machine (49e)
cccC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (64e)
tktkC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC

Chiral

wC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (7e)
saC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (10e)
gaC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (10e)
saC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (10e)
stO Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (15e)
stC Arkiveret 4. januar 2017 på Wayback Machine (15e)

Isohedral symmetri

kD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
dkD=tI (3e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
cI(4e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
t5daD = cD (4e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
dcI (4e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
dakD (6e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
atD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (6e)
atI = akD (6e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
qD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
tkdD (9e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
gaD (10e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
XI (10e)
XD (10e)
dXI(10e)
dXD (10e)
teD (12e) * Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
cdkD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (12e)
m3aI (12e)
tatI Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine = takD (18e)
tatD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (18e)
atkD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (18e)
m3tD (18e)
qtI Arkiveret 4. marts 2017 på Wayback Machine = t5t6otI (18e)
dqtI Arkiveret 4. marts 2017 på Wayback Machine = k5k6etI (18e)
actI Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (24e)
kdktI Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (27e)
tktI Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (27e)
dctkD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (36e)
ctkD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine (36e)
k6k5tI Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
kt5daD Arkiveret 3. marts 2017 på Wayback Machine
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD

Chiral

dsD (5e)
SD (5e)
wD(7e)
k5sD (7e)
sAD (10e)
sAD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD(15e)
wtI(21e)
k5k6stI (21e)

Dihedral symmetri

t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (side)
t4daA4=cA4 (øverst)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4

Toroidal symmetri

Toroidale fliser findes på en flad torus , på overfladen af en duocylinder i 4D-rum, men kan projiceres ind i 3D-rum som en almindelig torus . Disse fliser ligner topologisk delmængder af fliser i det euklidiske plan.

1x1 almindelig firkantet torus, {4,4} 1,0
Almindelig 4x4 firkantet torus, {4,4} 4,0
tQ24×12 projektion på torus
taQ24×12 torus projektion
actQ24×8 projektion på torus
tH24×12 torus projektion
taH24×8 torus projektion
kH24×12 torus projektion

Euklidisk kvadratsymmetri

tQ
cQ
akQ
HDXQ
dHdXQ

Euklidisk trekantssymmetri

tH
cΔ
CH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, ligesidet

Se også

Ensartet polyedre
Computergrafikalgoritmer : _
- Du-Sabine surface subdivision – udvide operatør
- Catmull-Clark overfladeinddelingsalgoritme - ortho - operator
Godberg polyhedron
Symmetrohedron

Noter

↑ Kumulering - fra Wolfram MathWorld . Hentet 25. oktober 2017. Arkiveret fra originalen 24. november 2017. (ubestemt)
↑ Pugh, 1976 , s. 63.

Litteratur

George W. Hart , Skulptur baseret på propelloriserede polyedere , Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, august, 2000, pp. 61–70 [1] Arkiveret 3. november 2017 på Wayback Machine
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitel 21: Navngivning af arkimediske og catalanske polyedre og flisebelægninger // Tingenes symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Visualisering af Conway Polyhedron Notation // World Academy of Science, Engineering and Technology 50. - 2009.
Anthony Pugh. Kapitel 6, Geodesic polyhedral // Polyhedra: a visual approach . - 1976. - S. s.63.

Links

George Harts Conway-fortolker Arkiveret 29. november 2014 på Wayback Machine : genererer polyedre i VRML , der tager Conway-notation som input. Indeholder også nyttige forklaringer af operationerne.
- Polyhedra Names Arkiveret 12. november 2020 på Wayback Machine
Top- og kanttrunkering af de platoniske og arkimediske faste stoffer, der fører til toppunkttransitive polyedre Arkiveret 16. marts 2019 på Wayback Machine Livio Zefiro
polyHédronisme Arkiveret 25. april 2012 på Wayback Machine : genererer polyedre i HTML5-lærred og tager Conway-notation som input
Weisstein, Eric W. Conway Polyhedron Notation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
John Conways notation Arkiveret 3. februar 2018 på Wayback Machine Visualisering af Conway Polyhedron Notation Arkiveret 9. april 2017 på Wayback Machine
Weisstein, Eric W. Truncation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet . (afkorte)
Weisstein, Eric W. Rectification (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet . (ambo)
Weisstein, Eric W. Cumulation or Apiculation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet . (kys)
Conway-operatører, PolyGloss, Wendy Krieger Arkiveret 22. oktober 2017 på Wayback Machine
Afledte faste stoffer

Polyeder

Korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet