Femkantet polyeder

En femkantet polytop  er en regulær polytop i n -dimensionelt rum konstrueret ud fra Coxeter-gruppen H n . Familien blev navngivet af Harold Coxeter , da det todimensionelle femkantede polyeder er en femkant . Afhængigt af dets Schläfli-symbol kan det kaldes dodecahedral ({5, 3 n − 2 }) eller icosahedral ({3 n − 2 , 5}).

Familiemedlemmer

Familien starter med endimensionelle polyedre (segment, n = 1) og slutter med en uendelig flisedeling af en 4-dimensionel hyperbolsk kugle med n = 5.

Der er to typer femkantede polyedre. Den ene type kan kaldes dodekaedriske polyedere, og den anden icosahedrale , afhængigt af dens tredimensionelle dele. Disse to typer er dobbelte i forhold til hinanden.

Dodekaedriske polyeder

Den komplette familie af dodekaedriske polyedre består af:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dodecahedron , {5, 3} (12 femkantede flader)
4. Hundrede og tyve-sidet , {5, 3, 3} (120 dodekaedriske celler)
5. 120-cellede honningkager af størrelsesorden 3 , {5, 3, 3, 3} - fliser det hyperbolske 4-dimensionelle rum

Facetterne af ethvert dodekaedrisk polyeder er dodekaedriske femkantede polyedere af en mindre dimension. Deres toppunktsfigurer er forenklinger af en dimension mindre.

n	Coxeter gruppe	Petri polygon (projektion)	Navn Coxeter diagram Schläfli symbol	facetter	Elementer
					Toppe	ribben	Facetter	Celler	4 - ansigter
en	[ ] (rækkefølge 2)		Linjestykke {}	2 toppe	2
2	[5] (rækkefølge 10)		Pentagon {5}	5 ribben	5	5
3	[5,3] (rækkefølge 120)		Dodekaeder {5, 3}	12 femkanter	tyve	tredive	12
fire	[5,3,3] (ordre 14400)		120 celler {5, 3, 3}	120 dodekaeder	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (rækkefølge ∞)		120 cellers honeycomb {5, 3, 3, 3}	∞ 120 celler	∞	∞	∞	∞	∞

Icosahedral polyeder

Den komplette familie af icosaedriske femkantede polyedre består af:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Icosahedron , {3, 5} (20 trekantede flader)
4. Seks hundrede celler , {3, 3, 5} (120 tetraedriske celler)
5. Fem-cellede honningkager af femte orden , {3, 3, 3, 5} — fliser det hyperbolske 4-dimensionelle rum (∞ femcellede facetter)

Facetterne af ethvert icosaedrisk femkantet polyeder er forenklinger af en mindre dimension. Topfigurerne af polyedre er icosaedriske femkantede polyedre af en mindre dimension.

n	Coxeter gruppe	Petri polygon (projektion)	Navn Coxeter diagram Schläfli symbol	facetter	Elementer
					Toppe	ribben	Facetter	Celler	4 - ansigter
en	[ ] (rækkefølge 2)		Linjestykke {}	2 toppe	2
2	[5] (rækkefølge 10)		Pentagon {5}	5 ribben	5	5
3	[5,3] (rækkefølge 120)		icosahedron {3, 5}	20 almindelige trekanter	12	tredive	tyve
fire	[5,3,3] (ordre 14400)		Seks hundrede celler {3, 3, 5}	600 tetraeder	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (rækkefølge ∞)		Femcellede honningkager af femte orden {3, 3, 3, 5}	∞ Fem-celler	∞	∞	∞	∞	∞

Beslægtede stjerneformede polyedre og honningkager

Fra femkantede polyedre kan stjerneformede former dannes for at opnå nye stjerneformede regulære polyedre :

• I tredimensionelt rum opnås fire Kepler-Poinsot polyedre  - { 3.5/2 }, { 5/2.3 }, { 5.5/2 } og { 5/2.5 }.
• I det firedimensionale rum opnås ti Schläfli-Hess polyedre : {3,5,5/2} ,{ {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} og {5/2,3,3} .
• Der er fire regulære stjernebaserede honningkager i det firedimensionale hyperbolske rum : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } og {5,5/2,5,3} .

Noter

Litteratur

• HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Almindelige polytoper . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .