Et endeligt dimensionelt rum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. september 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Et endeligt-dimensionelt rum er et vektorrum, hvori der er en endelig basis - et genererende (komplet) lineært uafhængigt system af vektorer. Med andre ord, i et sådant rum eksisterer der et endeligt lineært uafhængigt system af vektorer, hvis lineære kombination kan repræsentere enhver vektor af det givne rum.

En basis er (samtidigt) både et minimalt genererende (komplet) system og et maksimalt lineært uafhængigt system af vektorer. Alle baser indeholder det samme antal elementer, hvilket kaldes dimensionen af vektorrummet .

Et endeligt-dimensionelt rum, hvor det skalære produkt af dets elementer introduceres , kaldes euklidisk . Et endeligt-dimensionelt rum, hvor normen for dets elementer introduceres, kaldes et endeligt-dimensionelt normeret rum . Tilstedeværelsen af et indre produkt eller norm genererer en metrik i et finitdimensionelt rum .

Egenskaber for finit-dimensionelle rum

Ethvert element i et endeligt-dimensionelt rum kan repræsenteres unikt i formen $x$ $x$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P}$ hvor er feltet (ofte eller ) som rummet betragtes over , er elementerne i grundlaget. Dette følger af definitionen af et grundlag. ${\mathbb P}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $x$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\i X$

Ethvert grundlag i det euklidiske rum kan også gøres ortonormalt ved hjælp af Schmidt-ortogonaliseringen .

Alle baser i et endeligt-dimensionelt rum består af det samme antal elementer. Denne egenskab giver rigtigheden af definitionen af rummets dimension .
Lad være et endeligt-dimensionelt rum og være et lineært uafhængigt system af elementer. Så kan dette system altid suppleres til et grundlag . $x$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}$
Alle finit-dimensionelle rum af samme dimension er isomorfe i forhold til hinanden.
I ethvert finitdimensionelt rum over et felt kan et indre produkt introduceres . For eksempel kan du i et rum med en fast basis, dimension , indtaste skalarproduktet efter reglen: , hvor er komponenterne af vektorerne og hhv. Det følger af denne egenskab, at man i et finitdimensionelt rum over et felt kan indføre en norm og en metrisk . Som en konsekvens kan man få, at: $\mathbb {R}$ $x$ $n$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ $\{a_{k}\},\{b_{k}\}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\mathbb {R}$
- $x$ er et refleksivt rum [1] .
- Rummet, der er
dobbelt til et endeligt-dimensionelt rum, er endeligt-dimensionelt, og dets dimension falder sammen med det . $X^{*}$ $x$ $x$
For ethvert underrum af et endeligt-dimensionelt rum eksisterer der et underrum [2] sådan, at og nedbrydes til en direkte sum af og , . $M\delsæt X$ $x$ $M^{\perp }\subset X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y$ $x$ $M$ $M^{\perp }$ ${\displaystyle X=M\oplus M^{\perp ))$

I det euklidiske rum konvergerer hver svagt konvergerende sekvens stærkt.

Alle normer i et finitdimensionelt rum over et felt er ækvivalente. Konvergens i det euklidiske rum svarer til koordinatmæssig konvergens.

\mathbb {R}

Hver lineær kontinuerlig operator i et finitdimensionelt rum kan repræsenteres som en matrix .

Rummet over et felt er endeligt-dimensionelt, hvis og kun hvis identitetsoperatøren er fuldstændig kontinuerlig .

x

\mathbb {R}

I:X\rightarrow X

Et rum er endeligt-dimensionelt, hvis og kun hvis der er en inverterbar fuldstændig kontinuerlig operatør, der virker på det .

x

x

Et rum er endeligt dimensioneret, hvis og kun hvis enhedskuglen er prækompakt. Denne egenskab kan omformuleres som følger: et rum er endeligt-dimensionelt, hvis og kun hvis et sæt afgrænset til er prækompakt.

x

x

x

x

Enhver lineær operator defineret i et finitdimensionelt rum er kontinuerlig og endda fuldstændig kontinuerlig .

A:X\rightarrow Y

x

I et finit-dimensionelt rum er enhver operatør enhed , hvis og kun hvis den er isometrisk, det vil sige, den bevarer prikproduktet.

Eksempler

Det euklidiske rum har en dimension på 3, som grundlag kan man vælge en tripel af vektorer ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),{\begin {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

Et mere generelt tilfælde er rum med dimension n . Normen i dem er normalt fastsat på en af følgende måder ( ): $\mathbb {R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

eller

\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.

Hvis vi introducerer normen og det skalære produkt, så vil rummet være euklidisk. ${\displaystyle \|x\|_{2))$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ er rummet for alle polynomier af højst grad . Dimensionen af dette rum er . Polynomier danner grundlag i det. $n$ $n+1$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n))$
Lad være et vilkårligt lineært rum og lad være et lineært uafhængigt system af vektorer. Så er det lineære spænd , som dette system spænder over, et endeligt-dimensionelt rum. $x$ $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

Se også

Uendelig plads

Noter

↑ Dette faktum kan opnås både ved hjælp af Riesz-Fréchets sætning og ved direkte beregninger uden at bruge teorien om Hilbert-rum.
↑ kaldes ofte det ortogonale komplement til $M^{\perp }$ $M$

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Finite-dimensional vektorrum = Finite-dimensional vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik