Pentagon

Pentagon
Almindelig Femendekagon
Type	regulær polygon
ribben	femten
Schläfli symbol	{femten}
Coxeter-Dynkin diagram
En slags symmetri	Dihedral gruppe (D 15 )
Indre hjørne	156°
Ejendomme
konveks , indskrevet , ligesidet , ligekantet , isotoksal
Mediefiler på Wikimedia Commons

En femten -sidet polygon er en polygon med femten sider.

Regelmæssig sekskant

En regulær sekskant er repræsenteret af Schläfli-symbolet {15}.

En regulær femkant har indvendige vinkler på 156 ° . Med side a har femkanten et areal givet af formlen

{\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\mathrm {ctg} \,{\frac {\pi }{15}}&={\frac { 15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={ \frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5 }}}}\right)\\&\simeq 17.642362910544204\,a^{2}.\end{aligned}}

Brug

En regulær trekant, en dekagon og en femten-vinkel kan fuldstændigt dække et toppunkt i planet .

Konstruktion

Da 15 = 3 × 5 er et produkt af forskellige Fermat-primtal , kan en regulær femkant konstrueres ved hjælp af et kompas og en retlinje : Følgende konstruktioner af en regulær femkant med en given omkreds svarer til illustrationen til krav XVI i Bog IV af Euklids Elementer [1] .

Sammenligning af konstruktionen med konstruktionen af Euklid, se figur Pentagon

I konstruktionen for en given omskrivende cirkel: lig med siden af en ligesidet trekant, og lig med siden af en regulær femkant [2] . Punktet deler radius i forhold til det gyldne snit : ${\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\ ;|E_{1}E_{6}|$ $|E_{2}E_{5}|$ $H$ ${\overline {AM}}$ ${\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ca. 1.618{\text{.}}$

Sammenligning med den første animation (med grønne linjer) er vist i de næste to figurer. To buer (for vinkler på 36° og 24°) forskydes mod uret. Konstruktionen bruger ikke segmentet , men bruger i stedet segmentet som radius for den anden bue (36° vinkel). ${\overline {CG))$ ${\overline {MG}}$ ${\overline {AH))$

Konstruktion ved hjælp af kompas og rettekant for en given sidelængde. Konstruktionen er næsten den samme som for at konstruere en femkant langs en given side, den begynder også med oprettelsen af et segment som en fortsættelse af siden, her , som er opdelt i forhold til det gyldne snit: ${\overline {FE_{2}}}{\text{,}}$

${\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2))))={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618033988749895{\text{.}}$

Radius af den omskrevne cirkel

{\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;

Sidelængde

{\overline {E_{1}E_{2))}=a\;;\;\;

Hjørne

DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }

${\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2))\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5))))+{\ sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\ sqrt {5))))))\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ )))))\cdot a\ca. 2.4048671723720654 \cdot a\end{aligned}}$

Symmetri

En regulær femkant har en dihedral symmetri af orden 30 (Dih 15 ), repræsenteret af 15 spejlreflektionslinjer. Dih 15 har 3 dihedrale undergrupper: Dih 5 , Dih 3 og Dih 1 . Og desuden er der yderligere fire cykliske symmetrier - Z 15 , Z 5 , Z 3 og Z 1 , hvor Z n repræsenterer π / n rotationssymmetri.

Der er 8 forskellige symmetrier i en femkant. John Conway mærkede symmetrier med bogstaver, med rækkefølgen af symmetri efter bogstavet [3] . Han betegnede med r30 den fulde symmetri af refleksioner Dih 15 , med d (diagonal = diagonal) refleksioner om linjer, der passerer gennem hjørner, med p refleksioner om linjer, der passerer gennem midtpunkterne af kanter (vinkelret = vinkelret), og for en femkant med en ulige antal hjørner han brugte bogstavet i (til spejle gennem toppunktet og midten af kanten) og bogstavet g til cyklisk symmetri. Symbol a1 betyder ingen symmetri.

Disse lave grader af symmetri bestemmer frihedsgraderne til at definere uregelmæssige femkanter. Kun undergruppen g15 har ingen frihedsgrader, men kan betragtes som havende rettede kanter .

Pentadekagrammer

Der er tre regulære stjerner : {15/2}, {15/4}, {15/7} på de samme 15 hjørner af en regulær femkant, men forbundet gennem et, tre eller seks hjørner.

Der er også tre regulære stjerneformer : {15/3}, {15/5}, {15/6}, den første består af tre femkanter , den anden består af fem regulære trekanter , og den tredje består af tre pentagrammer .

Den sammensatte figur {15/3} kan opfattes som den todimensionelle ækvivalent af en tredimensionel forbindelse af fem tetraedre .

billede	{15/2}	{15/3} eller 3{5}	{15/4}	{15/5} eller 5{3}	{15/6} eller 3{5/2}	{15/7}
Indre hjørne	132°	108°	84°	60°	36°	12°

Dybere trunkeringer af en regulær femkant og pentadekagrammer kan give isogonale ( vertex-transitive ) mellemliggende stjernepolygoner dannet af lige store hjørner og to kantlængder [4] .

Vertex transitive funktioner på en femkant
Kvasi-regulær	Ensartet	Kvasi-regulær
t{15/2}={30/2}		t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}		t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}		t{15/4}={30/4}

Petrie polygoner

En regulær femkant er en Petrie-polygon for en eller anden højdimensionel polytop opnået ved ortogonal projektion :

14-simplex (14D)

Det er også Petrie-polygonen for den store 120-celle og den store stjerneformede 120-celle .

Noter

↑ Dunham, 1991 , s. 65.
↑ Kepler, 1939 , s. 44.
↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , s. 275-278.
↑ Grünbaum, 1994 .

Litteratur

William Dunham. Rejse gennem Genius - Matematikkens store sætninger . — Penguin, 1991. University of Kentucky College of Arts & Sciences Mathematics
Johannes Kepler. WELT-HARMONIK / oversat og initieret af MAX CASPAR 1939. - Google Books, 1939.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Kapitel 20, Generaliserede Schaefli-symboler, Typer af symmetri af en polygon // . - The Symmetries of Things, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Branko Grünbaum . Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. - 1994.

Links

Weisstein, Eric W. Pentadecagon (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

Korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også