Sekskantet parket

Sekskantet mosaik

Type	Korrekt mosaik
Vertex figur	6.6.6 (6 3 )
Schläfli symbol	{6,3} t{3,6}
Wythoff symbol	3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \|
Coxeter diagram
Symmetri gruppe	p6m , [6,3], (*632)
Rotationssymmetri	p6 , [6,3] + , (632)
Dobbelt flisebelægning	trekantet mosaik
Ejendomme	Vertex-transitive , edge-transitive , face-transitive

Sekskantet parket ( hexagonal parket [1] ) eller hexagonal mosaik er en flisebelægning af et plan med lige store hexagoner placeret side til side.

Den sekskantede flisebelægning er den dobbelte af den trekantede flisebelægning - hvis du forbinder centrene af tilstødende sekskanter, så vil de tegnede segmenter danne en trekantet flisebelægning [1] [2] . Schläfli-symbolet for en sekskantet parket er {6,3} (hvilket betyder, at tre sekskanter konvergerer ved hvert hjørne af parketten), eller t {3,6}, hvis flisebelægningen betragtes som en afkortet trekantet flisebelægning.

Den engelske matematiker Conway kaldte flisebelægningen hextille (seks-parket).

Den indvendige vinkel af en sekskant er 120 grader, så tre sekskanter på samme toppunkt summerer til 360 grader. Dette er en af de tre almindelige flisebelægninger . De to andre mosaikker er trekantet parket og firkantet parket .

Ansøgninger

Fliselægningen af flyet med regulære sekskanter er grundlaget for sekskantet skak og andre spil på et ternet felt , polyhexes , varianter af Life-modellen og andre todimensionelle cellulære automater , ringflexagoner osv .

Sekskantet flisebelægning er den tætteste måde at pakke cirkler i 2D-rum. Honeycomb-formodningen , at en sekskantet flisebelægning er den bedste måde at opdele en overflade i områder med lige areal med den mindste samlede omkreds. Den optimale tredimensionelle struktur for honeycombs (snarere sæbebobler) blev udforsket af Lord Kelvin , som mente, at Kelvin-strukturen (eller kropscentreret kubisk gitter) var optimal. Den mindre regelmæssige Waeaire–Phelan struktur er dog lidt bedre.

Denne struktur eksisterer i naturen i form af grafit , hvor hvert lag af grafen ligner et trådnet, hvor trådens rolle spilles af stærke kovalente bindinger. Rørformede plader af grafen er blevet syntetiseret og er kendt som kulstofnanorør . De har mange potentielle anvendelser på grund af deres høje trækstyrke og elektriske egenskaber. Silicen ligner grafen .

Den tætteste pakning af cirkler har en struktur, der ligner en sekskantet flisebelægning
Kyllingenet
Grafen
Carbon nanorør kan ses som en sekskantet mosaik på en cylindrisk overflade

Den sekskantede mosaik optræder i mange krystaller. I 3D-rum findes ofte en ansigtscentreret kubisk struktur og en sekskantet tætpakket struktur i krystaller. De er de tætteste kugler i 3D-rum. Strukturelt består de af parallelle lag af en sekskantet mosaik svarende til strukturen af grafit. De adskiller sig i typen af niveauskift i forhold til hinanden, mens den ansigtscentrerede kubiske struktur er mere korrekt. Rent kobber , blandt andre materialer, danner et ansigtscentreret kubisk gitter.

Ensartede farvelægninger

Der er tre forskellige ensartede farver af den sekskantede flisebelægning, alle opnået fra spejlsymmetrien i Wythoffs konstruktioner . Indtastningen ( h , k ) repræsenterer en periodisk gentagelse af en farvet flise med sekskantede afstande h og k .

k-homogen	1- homogen			2- homogen		3- homogen
Symmetri	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		s6, (632)
Billede
Farver	en	2	3	2	fire	2	7
(h,k)	(1,0)	(1.1)		(2,0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 \| 6 2	2 6 \| 3	3 3 3 \|
coxeter
Conway	H	tΔ		CH

En 3-farvet flisebelægning er dannet af et permutationspolyeder af orden 3.

Affaset sekskantet flisebelægning

Affasning af en sekskantet flisebelægning erstatter kanterne med nye sekskanter og konverterer til en anden sekskantet flisebelægning. I grænsen forsvinder de originale ansigter, og de nye sekskanter omdannes til romber, hvilket gør flisebelægningen til en rombisk .

Sekskanter (H)	Affasede sekskanter (CH)			Rhombi (daH)

Relaterede mosaikker

Sekskanter kan opdeles i 6 trekanter. Dette resulterer i to 2-ensartede fliser og en trekantet flisebelægning :

Korrekt mosaik	opsplitning	2-homogene flisebelægninger		Korrekt mosaik
Initial		knækkede 1/3 sekskanter	knækkede 2/3 sekskanter	fuld partition

En sekskantet flisebelægning kan opfattes som en aflang rombisk flisebelægning , hvor hvert hjørne af den rombiske flisebelægning "strækkes" for at danne en ny kant. Dette svarer til forbindelsen af tesseller af et rombisk dodekaeder og et rombisk sekskantet dodekaeder i tredimensionelt rum.

Rhombisk mosaik	Sekskantet mosaik	Gitter, der viser en sådan forbindelse

Man kan også opdele prototilerne af nogle sekskantede fliser i to, tre, fire eller ni identiske femkanter:

Type 1 femkantet flisebelægning med overlappende regulære sekskanter (hver sekskant består af 2 femkanter).	Type 3 femkantet flisebelægning med overlappende regulære sekskanter (hver sekskant består af 3 femkanter).	Type 4 femkantet flisebelægning med overlappende semi-regulære sekskanter (hver sekskant består af 4 femkanter).	Type 3 femkantede fliser med overlappende regulære sekskanter i to størrelser (sekskanter består af 3 og 9 femkanter).

Symmetriindstillinger

Denne flisebelægning er topologisk relateret til en sekvens af regulære flisebelægninger med sekskantede flader, der starter med en sekskantet flisebelægning. Mosaikker i en uendelig rækkefølge har Schläfli-symbolet {6,n} og Coxeter-diagrammet .

Familie af homogene antiprismer n .3.3.3

* n 62 symmetrimuligheder for almindelige fliser: {6, n }
Kugleformet	Euklidisk	Hyperbolske fliser
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Den sekskantede flisebelægning er topologisk beslægtet (som en del af en sekvens) til regulære polyedre med vertexfigur n 3 .

* n 32 symmetrimuligheder for almindelig flisebelægning: n 3 eller { n ,3}

Kugleformet				Euklidisk	Kompakt hyperbolsk.		Paracompact .	Ikke-kompakt hyperbolsk.

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

På lignende måde er flisebelægningen relateret til ensartede afkortede polyedre med topfigur n .6.6.

* n 32 trunkerede flisebelægningssymmetrimutationer: n .6.6
Symmetri * n 32 [n,3]	sfærisk		Euklidisk	Kompakt hyperbolsk				Paracompact.	Ikke-kompakt hyperbolsk
Symmetri * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Afkortede figurer
Konf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figurer
Konf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Flisebelægningen er også en del af afkortede rombiske polyedre og flisebelægninger med Coxeter- gruppesymmetri [n,3]. Terningen kan ses som et rombisk sekskant, hvor alle romber er firkanter. Afkortede former har regelmæssige n-goner i stedet for de afkortede hjørner og uregelmæssige sekskantede flader.

Symmetrier af dobbelte dobbelte kvasiregulære fliser: V(3.n) 2

	Kugleformet			Euklidisk	Hyperbolsk
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mosaik
Konf.	V(3,3) 2	V(3,4) 2	V(3,5) 2	V(3,6) 2	V(3,7) 2	V(3,8) 2	V(3.∞) 2

Wythoffs konstruktion af sekskantede og trekantede fliser

Ligesom ensartede polyedre er der otte ensartede fliser baseret på regulære sekskantede fliser (eller dobbelte trekantede fliser ).

Hvis vi farver fliserne på de originale flader røde, de oprindelige hjørner (de resulterende polygoner) gule og de oprindelige kanter (de resulterende polygoner) blå, er der 8 former, hvoraf 7 er topologisk adskilte. ( Den afkortede trekantede flisebelægning er topologisk identisk med den sekskantede flisebelægning.)

Homogene sekskantede/trekantede fliser
Grundlæggende domæner	Symmetri : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


Konfig.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monoedriske konvekse sekskantede fliser

Der er 3 typer monohedriske [3] konvekse sekskantede fliser [4] . De er alle isoedriske . Hver har parametriske varianter med fast symmetri. Type 2 indeholder glidesymmetrier og holder chirale par adskilte.

3 typer monohedriske konvekse sekskantede fliser

en	2		3
s2, 2222	pgg, 22×	s2, 2222	s. 3.333

b=e B+C+D=360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
gitter af to fliser	gitter af fire fliser		gitter af tre fliser

Topologisk ækvivalente flisebelægninger

Sekskantede flisebelægninger kan være identiske med den {6,3} almindelige flisebelægningstopologi (3 sekskanter ved hvert toppunkt). Der er 13 varianter af den sekskantede flisebelægning med isoedriske flader. Ud fra et symmetrisynspunkt har alle flader den samme farve, mens farven i figurerne repræsenterer positionen i gitteret [5] . Ensfarvede (1-fliser) gitter består af sekskantede parallelogoner .

13 sekskantede isoedriske fliser

s. (××)	s3 (333)	pmg (22*)

pgg (22x)	p31m (3*3)	s2 (2222)	cmm (2*22)	p6m (*632)

Andre topologisk isoedriske sekskantede fliser fremstår som firkantede og femkantede, ikke side-til-side-rørende, men hvis polygoner kan opfattes som havende collineære tilstødende sider:

Isohedrisk flisebelagte firkanter

pmg (22*)		pgg (22x)			cmm (2*22)	s2 (2222)
Parallelogram	Trapeze	Parallelogram	Rektangel	Parallelogram	Rektangel	Rektangel

Isohedrisk flisebelagte femkanter

s2 (2222)	pgg (22x)	s3 (333)

De 2-ensartede og 3-ensartede tesseller har en rotationsfrihedsgrad, der forvrider 2/3 af sekskanterne, inklusiv tilfældet med collineære sider, hvilket kan ses som fliser af sekskanter og store trekanter med uoverensstemmende sider (ikke side-til -side) [6] .

Mosaikken kan snoes til chirale 4-farve sammenflettede mønstre i tre retninger, hvor nogle af sekskanterne bliver til parallelogrammer . Sammenflettede mønstre med 2 farvede flader har 632 (p6) rotationssymmetri .

Korrekt	roteret	Korrekt	bundet
p6m, (*632)	s6, (632)	p6m (*632)	s6 (632)

p3m1, (*333)	s3, (333)	p6m (*632)	s2 (2222)

Pakningscirkler

En sekskantet flisebelægning kan bruges til at pakke cirkler ved at placere cirkler med samme radius centreret i hjørnerne af flisebelægningen. Hver cirkel berører 3 andre cirkler i pakken ( kontaktnummer ) [7] . Cirkler kan males i to farver. Rummet inden for hver sekskant gør det muligt at placere én cirkel, hvilket skaber den mest tætpakkede trekantede flisebelægning , hvor hver cirkel berører så mange cirkler som muligt (6).

Beslægtede regulære komplekse uendeligheder

Der er 2 regulære komplekse apeirogoner med de samme sekskantede hjørner. Kanterne af regulære komplekse apeirogoner kan indeholde 2 eller flere hjørner. Regulære apeirogoner p { q } r har begrænsningen: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Kanterne har p toppunkter og toppunktsfigurerne er r - goner [8] .

Den første apeirogon består af 2-kanter, tre omkring hvert toppunkt, den anden har sekskantede kanter, tre omkring hvert toppunkt. Det tredje komplekse apeirogon, som har de samme hjørner, er næsten regulært og veksler mellem 2-kanter og 6-kanter.

2{12}3 eller	6{4}3 eller

Se også

Sekskantet gitter
Trekantet prismatisk honningkage
Mosaikker af konvekse regulære polygoner på det euklidiske plan
Liste over ensartede fliser
Liste over regulære flerdimensionelle polyedre og forbindelser
Sekskantede mosaik honeycombs

Noter

↑ 1 2 Golomb, 1975 , s. 147.
↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ En flisebelægning kaldes monohedral, hvis den består af kongruente fliser.
↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. Sec. 9.3 Andre monoedriske fliser ved konvekse polygoner.
↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. 473–481, liste over 107 isoedriske fliser.
↑ Grünbaum og Shephard 1987 , s. ensartede flisebelægninger, der ikke er kant-til-kant.
↑ Critchlow, 1987 , s. 74–75, mønster 2.
↑ Coxeter, 1991 , s. 111-112, 136.

Litteratur

S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Pr. fra engelsk. V. Firsova. Forord og udg. I. Yagloma. - M . : Mir, 1975. - S. 147. - 207 s.
HSM Coxeter . Almindelige komplekse polytoper. — 2ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
HSM Coxeter . Tabel II: Almindelige honningkager //Almindelige polytoper . — 3. - Dover, 1973. - S. 296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
B. Grünbaum , G.C. Shephard. Flisebelægning og mønstre . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S. 58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
R. Williams. Det geometriske grundlag for naturlig struktur: En kildebog til design . - New York: Dover Publications , 1979. - S. 35 . — ISBN 0-486-23729-X .
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkiveret19. september 2010 påWayback Machine
Keith Critchlow. Orden i rummet: En designkildebog. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Links

Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
- Weisstein , Eric W. Regelmæssig tessellation hos Wolfram MathWorld .
- Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Klitzing, Richard. 2D euklidiske flisebelægninger o3o6x-hexat-O3
Amit Patel. Gittermatematik: Firkant, sekskant, trekant . — Algoritmer til at repræsentere sekskantede og trekantede gitter i computerstrategispil. (ubestemt)

Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i rum med dimensionerne 2-10

Familie	${\tilde{A}}_{n-1}$	${\tilde{C}}_{n-1}$	${\tilde{B}}_{n-1}$	${\tilde{D}}_{n-1}$	${\tilde{G}}_2$ / / ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Homogen mosaik	{3 [3] }	δ3 _	hδ 3	qδ 3	Sekskantet
Homogene konvekse honningkager	{3 [4] }	δ4 _	hδ 4	qδ 4
ensartet femdimensionel honningkage	{3 [5] }	δ5 _	hδ 5	qδ 5	Honeycomb med 24 celler
ensartet seksdimensionel honningkage	{3 [6] }	δ6 _	hδ 6	qδ 6
ensartet syvdimensionel honeycomb	{3 [7] }	δ7 _	hδ 7	qδ 7	222 _
ensartet ottedimensionel honningkage	{3 [8] }	δ8 _	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
ensartet ni-dimensionel honeycomb	{3 [9] }	δ9 _	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
Ensartede n -dimensionelle honningkager	{3 [n] }	δn _	hδn _	qδn _	1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriske mosaikker

Periodisk

Pythagoras
Rhombic
Schwartz trekant
Rektangulær
- Dominobrikker
Femkantet
Homogen mosaik
Honeycombs
- Farvelægning
- Konveks
- Delt mosaik
Flad krystallografisk gruppe
Wythoff konstruktion

aperiodisk

Ammann-Binker
Aperiodisk sæt mosaikfliser
- Liste
En fliseudfordring
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
pinwheel
Kuppelformet
Opdelings- og selvklæbende sæt
- Sphinx
Truche

Andet

Non- isohedral og isohedral
Arkitektonisk og reflekterende
Circle Limit III
Computer grafik
honningkager
Kant transitiv
Pakke
Opgaver
- Van
- heesh
- kvadrating
Mosaikfliser
- Conways kriterium
- Girih
Regelmæssig opdeling af flyet
Almindelig gitter
Udskiftninger
Voronoi diagram
Foderberg

Ved toppunktskonfiguration
_

Kugleformet	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Korrekt	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
semi -korrekt	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4,8 2
Hyperbolsk _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3,16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4,14 2 4,16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5,8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6,8 2 6.10 2 6.12 2 6,16 2 7 3 74 _ 7 7 7,6 2 7,8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8,6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2