Affint rum

Et affint rum er et matematisk objekt (rum), der generaliserer nogle egenskaber ved euklidisk geometri . I modsætning til et vektorrum opererer et affint rum på ikke én, men to typer objekter: "vektorer" og "punkter".

Definition

Det affine rum, der er knyttet til et vektorrum over et felt, er et sæt med en fri transitiv handling af en additiv gruppe (hvis feltet ikke er eksplicit specificeret, så antages det, at dette er feltet af reelle tal ). $V$ $\mathbb {K}$ $EN$ $V$ $\mathbb {K}$

Kommentar

Denne definition betyder [1] at operationen med at tilføje rumelementer (kaldet punkter i et affint rum) med vektorer fra et rum (som kaldes rummet af frie vektorer for et affint rum ) er defineret, hvilket opfylder følgende aksiomer: $EN$ $V$ $EN$

$(M+v)+w=M+(v+w)\in A$ for alle og enhver ; $M\in A$ $v,w\in V$
$M+0=M$ for alle ; $M\in A$
for alle to punkter er der en unik vektor (betegnet med eller ) med egenskaben . $M,N\i A$ $v\in V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N=M+v$

Virkemåden på er således betegnet med . $v\in V$ $M\in A$ $M+v$

Affine underrum

Et affint underrum af et affint rum er et undersæt , der er et skift af et eller andet lineært underrum , det vil sige på et tidspunkt . Sættet definerer entydigt, mens det kun er defineret op til et skift af en vektor fra . Dimensionen er defineret som dimensionen af underrummet . $EN$ $A'\subset A$ $V'\subset V$ $A'=x+V'$ $x\i A$ $EN'$ $V'$ $x$ $V'$ $EN'$ $V'$

Hvis og , så hvis og kun hvis og . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ $A_{1}=A_{2}$ $v_{1}-v_{2}\in V'$

Skæringspunktet mellem affine underrum er enten et affint underrum eller tomt. Hvis den ikke er tom, så opfylder dens dimension forholdet

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Et affint underrum, som et underrum af kodimension 1 svarer til, kaldes et hyperplan .

Affine underrum af et lineært rum (forsynet med en standard affin struktur, handlingen på sig selv ved addition) overvejes ofte. De kaldes undertiden lineære manifolds [2] [3] .

Et sådant affint underrum er et lineært underrum, hvis og kun hvis det indeholder 0.

Relaterede definitioner

Det er muligt at overveje [4] arbitrære lineære kombinationer af punkter i et affint rum. Resultatet giver dog mening i følgende to tilfælde:

kombinationen er en barycentrisk kombination (det vil sige summen af dens koefficienter er 1), og så vil det være et punkt fra ; $EN$
kombination er en balanceret kombination (det vil sige summen af dens koefficienter er 0), og så vil det være en vektor fra . $V$

I analogi med begrebet lineær uafhængighed af vektorer introduceres begrebet affin uafhængighed af punkter i et affint rum. Nemlig: punkter kaldes [5] affint afhængige, hvis nogen af dem f.eks. kan repræsenteres som en barycentrisk kombination af andre punkter. Ellers siges disse punkter at være affinitet uafhængige . $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $P_0$

Betingelsen for affin uafhængighed af punkter kan gives en anden form: påstanden er sand, at punkterne i et affint rum er affint uafhængige, hvis og kun hvis der ikke er en ikke-triviel balanceret kombination af disse punkter lig med nulvektoren [6] .

Dimensionen af et affint rum er [7] per definition af dimensionen af det tilsvarende rum af frie vektorer. I dette tilfælde viser antallet af punkter i det maksimale affint uafhængige sæt af punkter i et affint rum at være et større end rummets dimension.

Ethvert af de maksimalt affint uafhængige sæt af punkter i et affint rum kan behandles som en pointbasis (ved at omnummerere disse punkter på en eller anden måde).

Ethvert punkt i rummet kan repræsenteres som en barycentrisk kombination af punkter inkluderet i en punktbasis; koefficienterne for denne kombination kaldes [8] barycentriske koordinater for det betragtede punkt.

Variationer og generaliseringer

Et affint mellemrum over en divisionsring defineres på lignende måde .

Noter

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 193.
↑ Ulyanov A.P. Algebra og geometri af flyet og rummet for fysikstuderende Arkivkopi dateret 22. september 2018 på Wayback Machine Lectures for 1. års studerende på NSU's Fysiske Fakultet.
↑ Dieudonné J. Lineær algebra og elementær geometri. Oversat fra fransk af G. V. Dorofeev. — M.: Nauka, 1972. — 335 s.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 138.
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introduktion til dimensionsteorien. — M .: Nauka, 1973. — 576 s. — C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , s. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , s. 199.

Litteratur

Beklemishev DV Analytisk geometri og lineær algebra. - M . : Højere skole, 1998. - 320 s.
Boltyansky VG Optimal kontrol af diskrete systemer. — M .: Nauka, 1973. — 446 s.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineær algebra og geometri. - M. : Nauka, 1986. - 304 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 s.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik