Oktaeder

Regelmæssig oktaeder

( roterende model )

Type

almindelig polyeder

Kombinatorik

Elementer

8 flader
12 kanter
6 spidser

X = 2

Facetter

almindelige trekanter

4.4.4

Scan

Klassifikation

Notation

Schläfli symbol

$\{3,4\}$
$r\{3,3\}$ eller $\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}$

Wythoff symbol

4 | 2 3

Dynkin diagram

Symmetri gruppe

O_{h}

Rotationsgruppe

O

kvantitative data

Dihedral vinkel

\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\ca. 109,5^{\circ }

Solid vinkel i spidsen

2\pi -8\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {3))}\right)

\ca. 1,35935

ons

Mediefiler på Wikimedia Commons

Oktaederet ( græsk οκτάεδρον fra οκτώ "otte" + έδρα "base") er et polyeder med otte flader.

Det regulære oktaeder er et af de fem konvekse regulære polyedre [1] , de såkaldte platoniske faste stoffer ; dens ansigter er otte ligesidede trekanter . Almindelig oktaeder -

dobbelt til en terning ;
fuldstændig trunkering af tetraederet ;
firkantet bipyramide i en af de tre ortogonale retninger;
trekantet antiprisme i en af de fire retninger;
tredimensionel kugle i metrikken for byblokke .

Et oktaeder er en tredimensionel version af det mere generelle begreb om et hyperoktaeder .

Regelmæssig oktaeder

Et regulært oktaeder har 8 trekantede flader, 12 kanter, 6 toppunkter og 4 kanter mødes ved hvert toppunkt.

Dimensioner

Hvis kantlængden af oktaederet er a , så er radius af kuglen omgivet omkring oktaederet:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \ca. 0,7071067 \cdot a

radius af en kugle indskrevet i et oktaeder kan beregnes med formlen:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0,4082482\cdot a .

dihedral vinkel : , hvor . $\alpha = 2\phi \ca. 109,47^\circ$ $\phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3})$

Radius af en halvindskrevet kugle , der rører alle kanter, er

r_m = \frac{a}{2} = 0,5\cdot a

Ortografiske projektioner

Oktaederet har fire specielle ortogonale fremspring , centreret af en kant, et toppunkt, et ansigt og en ansigtsnormal. Det andet og tredje tilfælde svarer til Coxeter-planerne B 2 og A 2 .

Ortografiske projektioner

Centreret	kant	Normal til ansigt	højdepunktet	kant
Billede
Projektiv symmetri	[2]	[2]	[fire]	[6]

Sfærisk flisebelægning

Et oktaeder kan repræsenteres som en sfærisk flisebelægning og projiceret på et plan ved hjælp af en stereografisk projektion . Denne projektion er konform og bevarer vinkler, men ikke længder eller areal. Segmenter på kuglen er afbildet til cirkelbuer på planet.

ortogonal projektion	Stereografisk projektion
	trekantet centreret

Kartesiske koordinater

Et oktaeder med en kantlængde kan placeres ved origo, så dets toppunkter ligger på koordinatakserne. De kartesiske koordinater for hjørnerne vil da være ${\sqrt {2}}$

(±1, 0, 0); (0, ± 1, 0); (0, 0, ±1).

I det rektangulære koordinatsystem x - y - z er oktaederet centreret ved punktet ( a , b , c ) og radius r mængden af alle punkter ( x , y , z ) således at

\venstre|x - a\højre| + \venstre|y - b\højre| + \venstre|z - c\højre| = r.

Areal og volumen

Det samlede overfladeareal af et regulært oktaeder med kantlængde a er

S=2a^2\sqrt{3} \ca. 3,46410162a^2

Rumfanget af et oktaeder ( V ) beregnes med formlen:

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \ca. 0,471404521a^3

Således er rumfanget af et oktaeder fire gange volumenet af et tetraeder med samme kantlængde, mens overfladearealet er dobbelt så stort (fordi overfladen består af 8 trekanter, mens tetraederet har fire).

Hvis oktaederet strækkes for at tilfredsstille ligheden:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

formler for overflade og volumen bliver til:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}

V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Derudover vil tensoren af inertimomenterne af det strakte oktaeder være lig med:

I = \begin{bmatrix} \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2 ) & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2) \end{bmatrix}

Det reducerer til ligningen for et regulært oktaeder, når: $x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}$

Geometriske links

Den indre (fælles) del af konfigurationen af to dobbelte tetraedre er et oktaeder, og selve denne konfiguration kaldes et stjerneformet oktaeder ( latin: stella octangula ). Konfigurationen er den eneste stjernebillede af oktaederet. Følgelig er et regulært oktaeder resultatet af at afskære fire regulære tetraeder fra et regulært tetraeder med halvdelen af kantlængden (det vil sige en fuldstændig afskæring af tetraederet). Oktaederets toppunkter ligger i midtpunkterne af tetraederets kanter, og oktaederet er beslægtet med tetraederet på samme måde, som cuboctahedron og icosidodecahedron er beslægtet med resten af de platoniske faste stoffer. Det er muligt at opdele oktaederets kanter i forhold til det gyldne snit for at bestemme icosaederens spidser . For at gøre dette skal du placere vektorerne på kanterne, så alle flader er omgivet af cyklusser. Derefter deler vi hver kant i det gyldne snit langs vektorerne. De resulterende punkter er hjørnerne af icosahedron.

Oktaedre og tetraedre kan sammenflettes for at opbygge ensartede honningkager i top, kant og ansigt , som Fuller kaldte oktetbundtet . Disse er de eneste kamme, der tillader regelmæssig stabling i en terning , og de er en af 28 typer konvekse ensartede honningkager .

Oktaederet er unikt blandt de platoniske faste stoffer, idet det alene har et lige antal flader ved hvert toppunkt. Derudover er det det eneste medlem af denne gruppe, der har symmetriplaner, der ikke skærer noget ansigt.

Ved at bruge standardterminologi for Johnson polyedre kan oktaederet kaldes en firkantet bipyramide . Afkortning af to modsatte hjørner resulterer i en afkortet bipyramide .

Oktaederet er 4-forbundet . Det betyder, at fire hjørner skal fjernes for at frakoble de resterende. Det er et af kun fire 4-forbundne simple , godt dækkede polyedre, hvilket betyder, at alle største uafhængige toppunkter har samme størrelse. De andre tre polyedere med denne egenskab er den femkantede bipyramide , snub biklinoid , og et uregelmæssigt polyeder med 12 hjørner og 20 trekantede flader [2] .

Et oktaeder kan indskrives i et tetraeder, desuden vil fire af de otte flader af oktaederet være på linje med de fire flader af tetraederet, alle seks spidser af oktaederet vil være på linje med midten af de seks kanter af tetraederet.
Et oktaeder kan indskrives i en terning, desuden vil alle seks toppunkter på oktaederet være på linje med midten af terningens seks flader.
En terning kan indskrives i et oktaeder, desuden vil alle otte hjørner af terningen være placeret i midten af oktaederets otte flader.

Ensartet farve og symmetri

Der er 3 ensartede farver oktaederet, opkaldt efter deres ansigtsfarver: 1212, 1112, 1111.

Oktaederets symmetrigruppe er O h med orden 48, en tredimensionel hyperoktaedrisk gruppe . Undergrupper af denne gruppe inkluderer D 3d (orden 12), den trekantede antiprismesymmetrigruppe , D 4h (orden 16), den firkantede bipyramide symmetrigruppe og Td (orden 24), den fuldt trunkerede tetrahedronsymmetrigruppe . Disse symmetrier kan understreges ved forskellig farvning af ansigterne.

Navn	Oktaeder	Fuldt afkortet tetraeder (Tetratetrahedron)	Trekantet antiprisme	Firkantet bipyramide	Rhombisk bipyramide
Tegning (ansigtsfarvning)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeter diagram		=
Schläfli symbol	{3,4}	r{3,3}	s{2,6} sr{2,3}	ft{2,4} { } + {4}	ftr{2,2} { } + { } + { }
Wythoff symbol	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Symmetri	Åh , [ 4,3 ], (*432)	T d , [3,3], (*332)	D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322)	D 4t , [2,4], (*422)	D 2h , [2,2], (*222)
Bestille	48	24	12 6	16	otte

Reamers

Der er elleve varianter af udviklingen af oktaederet [3] .

Dualitet

Oktaederet er dobbelt til kuben .

Klip

Et homogent tetrahemihexahedron er en facettering med tetraedrisk symmetri af et regulært oktaeder, der bevarer arrangementet af kanter og hjørner . Snittet har fire trekantede facetter og 3 centrale firkanter.

Oktaeder	tetrahemihexahedron

Uregelmæssige oktaedre

De følgende polyedre er kombinatorisk ækvivalente med et regulært oktaeder. De har alle seks hjørner, otte trekantede flader og tolv kanter, hvilket svarer en til en til parametrene for et regulært oktaeder.

Trekantede antiprismer - to flader er ligesidede trekanter, der ligger i parallelle planer og har en fælles symmetriakse. De resterende seks trekanter er ligebenede.
Firkantede bipyramider , hvor mindst en ækvatorial firkant ligger i et plan. Et regulært oktaeder er et specialtilfælde, hvor alle tre firkanter er flade firkanter.
Schoenhardt polytop , en ikke-konveks polytop, der ikke kan brydes op i tetraeder uden at introducere nye hjørner.

Andre konvekse oktaeder

Generelt kan ethvert polyeder med otte flader kaldes et oktaeder. Et regulært oktaeder har 6 hjørner og 12 kanter, det mindste antal for et oktaeder. Uregelmæssige ottekanter kan have op til 12 hjørner og 18 kanter [3] [4] . Der er 257 topologisk distinkte konvekse oktaeder, eksklusive spejlkopier [3] . Især er der 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 oktaeder med henholdsvis 6 til 12 toppunkter [5] [6] . (To polyedre er "topologisk adskilte", hvis de har internt forskellige arrangementer af flader og hjørner, således at det ikke er muligt at transformere en krop til en anden blot ved at ændre længden af kanter eller vinklerne mellem kanter eller flader.)

Nogle bemærkelsesværdige uregelmæssige ottekanter:

Sekskantet prisme : To flader er parallelle regulære sekskanter, seks firkanter forbinder tilsvarende par af sider af sekskanterne.
Heptagonal pyramide : Den ene side er en syvkant (normalt regelmæssig), og de resterende syv flader er trekanter (normalt ligebenede). Det er umuligt at opnå, at alle trekantede flader er ligesidede.
Afkortet tetraeder : De fire flader af tetraederet er afkortet til regulære sekskanter, og tre yderligere ligesidede trekantede flader er dannet i stedet for de afkortede hjørner.
Firkantet trapezohedron : Otte flader er kongruente med deltoider .

Oktaeder i den fysiske verden

Oktaeder i naturen

Mange naturlige kubiske krystaller er formet som et oktaeder. Disse er diamant , aluminium-kaliumsulfat , natriumchlorid , perovskit , olivin , fluorit , spinel .
De interatomiske hulrum (porer) i tætpakkede strukturer af rene metaller ( nikkel , kobber , magnesium , titanium , lanthan og mange andre) og ioniske forbindelser (natriumchlorid, sphalerit , wurtzite , etc.) har form som et oktaeder.
Plader af kamacite- legeringen i oktaedritmeteoritter er placeret parallelt med oktaederets otte flader .

Oktaeder i kunst og kultur

I spil er oktaederterningerne kendt som "d8".
Hvis hver kant af oktaederet erstattes af en modstand på 1 ohm , vil den samlede modstand mellem modsatte hjørner være 1/2 ohm, og mellem tilstødende hjørner - 5/12 ohm [7] .
Seks noder kan arrangeres på hjørnerne af et oktaeder, så hver kant repræsenterer et konsonantpar, og hver side repræsenterer en konsonanttripel.
Panserværnspindsvinet har form som tre diagonaler af et oktaeder.

Tetraedrisk ligament

Rammen med gentagne tetraedre og oktaeder blev opfundet af Fuller i 1950'erne og er kendt som rumrammen anses for at være den stærkeste struktur, der modstår udkragende strålespændinger .

Relaterede polytoper

Et regulært oktaeder kan forstørres til et tetraeder ved at tilføje fire tetraeder på skiftende flader. Tilføjelse af tetraedre til alle otte flader danner et stjerneformet oktaeder .

tetraeder	stjerneformet oktaeder

Oktaederet tilhører familien af ensartede polyedere relateret til terningen.

Ensartede oktaedriske polyedre

Symmetri : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Dobbelt polyedre

V4 3	v3.82 _	V(3,4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Det er også et af de enkleste eksempler på en hypersimplex , et polyeder dannet af et bestemt skæringspunkt mellem en hyperkube og et hyperplan .

Oktaederet er inkluderet i en sekvens af polyedre med Schläfli-symbolet {3, n }, der strækker sig til det hyperbolske plan .

* n 32 almindelige flisesymmetrier: 3 n eller {3, n }

sfærisk				Euklidisk	Kompakt hyperbel.		Para -kompakt	Ikke-kompakt hyperbolsk

3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3∞ _	3 12i	39i _	36i _	3 3i

Tetratetrahedron

Et regulært oktaeder kan ses som et fuldstændigt afkortet tetraeder og kan kaldes et tetratetraeder . Dette kan vises med en tofarvet model. I denne farve har oktaederet tetraedrisk symmetri .

Sammenligning af trunkeringssekvensen af et tetraeder og dets dobbelte figur:

Familie af ensartede tetraedriske polyedre

Symmetri : [3,3] , (*332)							[3,3] + , (332)


{3,3}	t{3,3}	r{3,3}	t{3,3}	{3,3}	rr{3,3}	tr{3,3}	sr{3,3}
Dobbelt polyedre

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

De faste stoffer ovenfor kan forstås som skiver vinkelret på den lange diagonal af tesserakten . Hvis denne diagonal er placeret lodret med en højde på 1, vil de første fem sektioner fra toppen være i højderne r , 3/8, 1/2, 5/8 og s , hvor r er et vilkårligt tal i intervallet (0 ,1/4], og s — ethvert tal i intervallet [3/4,1).

Oktaederet som et tetratetraeder eksisterer i en sekvens af symmetrier af kvasiregulære polyedre og flisebelægninger med vertexkonfiguration (3. n ) 2 , der går fra fliser på kuglen til det euklidiske plan og derefter til det hyperbolske plan. I orbifold-notationen af symmetri * n 32 er alle disse flisebelægninger Wythoff-konstruktioner inden for det fundamentale symmetridomæne med genererende punkter i den rigtige vinkel af domænet [8] [9] .

* n 32 orbifold symmetrier af kvasi-regulære flisebelægninger : (3. n ) 2

Bygning	sfærisk			Euklidisk	hyperbolsk
Bygning	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Kvasi -regulære figurer
Vertex	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2	(3.6) 2	(3.7) 2	(3.8) 2	(3.∞) 2

Trekantet antiprisme

Som en trekantet antiprisme er oktaederet relateret til familien af sekskantet dihedral symmetri.

Ensartede sekskantede dihedrale sfæriske polyedre

Symmetri : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Deres dobbelte polyedre

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Familie af homogene antiprismer n .3.3.3

Konfiguration	V2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	... ∞.3.3.3
Polyeder
Mosaik

Firkantet bipyramide

Bipyramide familie

Konfiguration	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	... V∞.4.4
Polyeder
Mosaik

Se også

Noter

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk krop // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
↑ Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010 , s. 894-912.
↑ 1 2 3 Weisstein, Eric W. Octahedron (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Steven Dutch. Optælling af polyedre (ikke tilgængeligt link) . Hentet 8. november 2015. Arkiveret fra originalen 10. oktober 2011. (ubestemt)
↑ Optælling af polyedre . Hentet 8. november 2015. Arkiveret fra originalen 6. maj 2016. (ubestemt)
↑ Arkiveret kopi . Hentet 14. august 2016. Arkiveret fra originalen 17. november 2014. (ubestemt)
↑ Klein, 2002 , s. 633-649.
↑ Williams, 1979 .
↑ Todimensionelle symmetrimutationer af Daniel Huson

Litteratur

Store sovjetiske encyklopædi
Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer. På godt overdækkede trianguleringer. III // Diskret anvendt matematik. - 2010. - T. 158 , no. 8 . - doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 .
Douglas J. Klein. Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. - 2002. - T. 75 , no. 2 . Arkiveret fra originalen den 10. juni 2007.
R. Williams. Kapitel 5 Kalejdoskopet, afsnit: 5.7 Wythoffs // Naturstrukturens geometriske fundament: En kildebog til design . — New York: Dover Publications , 1979.

Links

Weisstein, Eric W. Octahedron (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Klitzing polytoper, 3D konvekse ensartede polyedre
Redigerbart printbart net af et oktaeder med interaktiv 3D-visning
Papirmodel af oktaederet
KJM MacLean, en geometrisk analyse af de fem platoniske faste stoffer og andre semi-regulære polyedre
Det ensartede polyeder
Virtual Reality Polyhedra Encyclopedia of Polyhedra
- Conway-notation for Polyhedra Prøv: dP4

Polyeder

korrekt

Tredimensionelle (platoniske faste stoffer)	almindelig tetraeder terning Oktaeder Dodekaeder icosahedron
4D	Fem-celler tesseract Hexadecimal celle fireogtyve celler 120 celler Seks hundrede celler
Større dimension (angivet i parentes)	Almindelig simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaeder

Regelmæssig
ikke-konveks

Tredimensionel ved antallet af
ansigter (angivet i parentes)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraeder (4)
Pentahedron (5)
Hexahedron (6)
Heptahedron (7)
Oktaeder (8)
Enneahedron (9)
Dekaeder (10)
Endecahedron (11)
Dodekaeder (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadekaeder (15)
Hexadekaeder (16)
Heptadekaeder (17)
Octadecahedron (18)
Enneadekaeder (19)
Icosahedron (20)
Icosotetrahedron (24)
Triacontahedron (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hectotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konveks

Arkimediske faste stoffer

catalanske kroppe

Prismer
trekantet prisme firkantet prisme Femkantet prisme Sekskantet prisme Heptagonal prisme Ottekantet prisme Ni-vinklet prisme Tikantet prisme Ellevvinklet prisme Todekagonalt prisme

Johnson polyeder

Formler ,
teoremer ,
teorier

Andet

Schläfli symbol
Polygoner	{en} {2} {3} {fire} {5} {6} {7} {otte} {9} {ti} {elleve} {12} {fjorten} {femten} {17} {atten} {tyve} {tredive} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
stjerne polygoner	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Flade parketgulve _	{3,6} {4,4} {6,3}
Almindelige polyedere og kugleformede parketgulve	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot polyedre	{5/2.5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
honningkager	{4,3,4}
Firedimensionelle polyedre	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}