Stereografisk projektion

Stereografisk projektion er en kortlægning af en bestemt type fra en kugle med et punkt udstanset på et plan.

Definition

Punktet (sfærens nordpol) er punktet i den maksimale afstand fra planet . Gennem hvert punkt i kuglen er der en enkelt lige linje, der forbinder og . Linjen skærer planet i et enkelt punkt , som dermed er det stereografiske billede af punktet. Som et resultat opnås en en-til-en-kortlægning af en kugle med et punkteret punkt på et plan . $N$ $\Pi$ $x\neq N$ $D$ $N$ $x$ $D$ $x$ $x$ $N$ $\Pi$

For at opnå en en-til-en kortlægning af hele kuglen er det nødvendigt at supplere planet med et element, der er billedet af et punkteret punkt . Dette element er det såkaldte punkt ved uendelighed , angivet med symbolet . Et plan suppleret med et element kaldes et udvidet plan . Den stereografiske projektion af en hel kugle på et udvidet plan er en homøomorf kortlægning, hvor det omvendte billede aspirerer til sit billede . $N$ $\infty$ $\infty$ $x\to N$ $X\to \infty$

Egenskaber

En stereografisk projektion er en konform kortlægning - den bevarer vinklerne mellem kurver og formen på infinitesimale figurer. Stereografisk projektion kortlægger cirkler på et plan til cirkler på en kugle og lige linjer på et plan til cirkler, der går gennem midten af projektionen . $N$

Den stereografiske projektion kortlægger konjugerede blyanter af meridianer og paralleller på en kugle til konjugerede elliptiske og hyperbolske blyanter af cirkler på et plan.

Den stereografiske projektion realiserer homeomorfismen af den komplekse projektive linje på den todimensionelle sfære: til dette er det nødvendigt at betragte det todimensionelle (over feltet ) reelle plan med koordinater som den endimensionelle (over feltet ) linje af den komplekse variabel . ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{1}$ $\mathbb {R}$ $x,y$ $\mathbb {C}$ $z=x+iy$

Bevægelserne i den stereografiske projektionssfære genererer Möbius-transformationer på det komplekse plan , ligesom Gnomonic-projektionen genererer projektive transformationer på planet. [en]

Ansøgninger

I fotografering

Stereografisk projektion bruges til at vise sfæriske panoramaer. Dette fører til interessante resultater: områder langt fra midten af projektionen strækkes meget, hvilket producerer de såkaldte "small planet effects". Sammenlignet med andre azimutprojektioner producerer stereografiske projektioner normalt de mest behagelige panoramaer; dette skyldes den nøjagtige overførsel af formularer som følge af projektionens overensstemmelse .

I krystallografi

Stereografisk projektion bruges til at visualisere punktsymmetrigrupper af krystaller .

Historie

Stereografisk projektion blev opdaget af Apollonius af Perga ca. 200 f.Kr e. Egenskaberne ved denne projektion blev beskrevet af Claudius Ptolemæus i afhandlingen "Planispherius". Gamle astronomer brugte stereografisk projektion til at afbilde himmelkuglen på et fly i astrolabiet .

Variationer og generaliseringer

Den stereografiske projektion er anvendelig til n -sfæren S n in ( n + 1)-dimensionelle euklidiske rum E n + 1 . Hvis Q er et punkt på S n og E er et hyperplan i E n + 1 , så er den stereografiske projektion af punktet P ∈ S n − { Q } punktet P ′ i skæringspunktet mellem linjen og E . $\scriptstyle \overline {QP}$

Den generaliserede stereografiske projektion bruges for eksempel til grafisk at repræsentere 3-sfæren og Hopf-bundtet .

Se også

Litteratur

Rosenfeld B. A., Sergeeva N. D. Stereografisk projektion . Popular Lectures in Mathematics series , vol. 53. M.: Nauka, 1973.

Noter

↑ G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nye_møder_med_geometri_1978 (ubestemt) . - Moskva "Nauka", 1978. - S. 225. (utilgængeligt link) (s. 186)

Links

Eksempler på "små planeter"

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk stor kinesisk Fantastisk norsk Stor russer Great Soviet (1 udg.) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11940456d J9U : 987007565815005171 LCCN : sh85126597 NDL : 00571765