Lobachevsky plads

Lobachevsky-rum eller hyperbolsk rum - et rum med konstant negativ krumning . Det todimensionelle Lobachevsky -rum er Lobachevsky-planet .

Negativ krumning adskiller Lobachevsky rum fra euklidisk rum med nul krumning, beskrevet af euklidisk geometri , og fra en kugle - et rum med konstant positiv krumning, beskrevet af Riemann geometri .

Det n -dimensionelle Lobachevsky-rum er normalt betegnet med eller . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle {\Lambda }^{n))$

Definition

Et n -dimensionelt Lobachevsky-rum er en simpelt forbundet n - dimensional Riemann-manifold med konstant negativ tværsnitskrumning .

Hyperbolske rummodeller

Lobachevsky-rummet, som uafhængigt blev udforsket af Nikolai Ivanovich Lobachevsky og Janos Bolyai , er et geometrisk rum, der ligner det euklidiske rum , men Euklids aksiom for parallelisme er ikke opfyldt i det. I stedet erstattes parallelismens aksiom af følgende alternative aksiom (i et rum med dimension to):

Givet enhver linje L og et punkt P ikke på linje L , så er der mindst to distinkte linjer gennem P , der ikke skærer L .

Dette indebærer sætningen, at der er uendeligt mange sådanne linjer, der går gennem P . Aksiomet definerer ikke entydigt Lobachevsky-planet op til bevægelse , da det er nødvendigt at indstille en konstant krumning K < 0 . Aksiomet definerer imidlertid planet op til homoteti , det vil sige op til transformationer, der ændrer afstande med en eller anden konstant faktor uden rotation. Hvis man kan vælge en passende længdeskala, så kan man uden tab af generalitet antage, at K = −1 .

Det er muligt at bygge modeller af Lobachevsky-rum, der kan indlejres i flade (det vil sige euklidiske) rum. Især følger det af eksistensen af Lobachevsky-rummodellen i euklidisk, at aksiomet for parallelisme er logisk uafhængigt af andre aksiomer i euklidisk geometri.

Der er flere vigtige modeller af Lobachevsky-rummet - Klein-modellen , hyperboloidmodellen, Poincaré-modellen i en bold og Poincaré-modellen i det øverste halvplan. Alle disse modeller har den samme geometri i den forstand, at to af dem er forbundet med en transformation, der bevarer alle de geometriske egenskaber af det hyperbolske rum, de beskriver.

Hyperboloid model

Hyperboloidmodellen realiserer Lobachevsky-rummet som en hyperboloid i . En hyperboloid er stedet for punkter, hvis koordinater opfylder ligningen $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1, ...,n\}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

I denne model er en linje (dvs. i virkeligheden en geodætisk ) en kurve dannet af et skæringspunkt med et plan, der går gennem oprindelsen ved . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\R^{n+1}$

Hyperboloidmodellen er tæt forbundet med Minkowski-rummets geometri . kvadratisk form

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

som definerer en hyperboloid, giver dig mulighed for at angive den tilsvarende bilineære form

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

Rummet udstyret med den bilineære form B er ( n +1)-dimensionelt Minkowski-rum . $\R^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$

Man kan definere en "afstand" på en hyperboloid model ved at definere [1] afstanden mellem to punkter x og y på som ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

d(x,y)=\operatørnavn {arch} B(x,y).

Denne funktion er en metrisk, da aksiomer af et metrisk rum er opfyldt for den . Det er bevaret under virkningen af den ortokroniske Lorentz-gruppe O + ( n ,1) på . Derfor virker den ortokroniske Lorentz-gruppe som en gruppe af afstandsbevarende automorfier , det vil sige bevægelser . $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Kleins model

En alternativ model af Lobachevskys geometri er et bestemt område i det projektive rum . Minkowski-kvadratformen Q definerer en delmængde , defineret som det sæt af punkter, hvor x er i homogene koordinater . Regionen U n er Klein-modellen af Lobachevsky-rummet. $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ $Q(x)>0$

Lige linjer i denne model er åbne segmenter af det omgivende projektive rum, der ligger i U n . Afstanden mellem to punkter x og y i U n er defineret som

d(x,y)=\operatørnavn {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\right).

Denne afstand er veldefineret på et projektivt rum, da tallet ikke ændres, når alle koordinater ændres med den samme faktor (op til hvilken de homogene koordinater er defineret). ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))))$

Denne model er relateret til hyperboloidmodellen på følgende måde. Hvert punkt svarer til linjen L x gennem origo i ved definitionen af et projektivt rum. Denne linje skærer hyperboloidet i et enkelt punkt. Omvendt: gennem et hvilket som helst punkt på der passerer en enkelt lige linje, der går gennem origo (som er et punkt i projektivt rum). Denne korrespondance definerer en bijektion mellem U n og . Dette er en isometri, da beregningen af d ( x , y ) langs reproducerer definitionen af afstand i hyperboloidmodellen. $x\in U^{n}$ $\R^{n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $Q(x)=Q(y)=1$

Poincaré-modellen i en bold

Der er to nært beslægtede modeller af Lobachevskys geometri i euklidisk: Poincaré-modellen i bolden og Poincaré-modellen i det øverste halvplan.

Kuglemodellen opstår fra en stereografisk projektion af en hyperboloid ind i et hyperplan . Flere detaljer: lad S være et punkt ind med koordinater (−1,0,0,...,0) - sydpolen for den stereografiske projektion. For hvert punkt P på hyperboloiden, lad P ∗ være det eneste skæringspunkt for linjen SP med planet . $\R^{n+1}$ $\{x_{0}=0\}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\{x_{0}=0\}$

Dette sætter det bijektive kort til enhedskuglen ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

i planet { x 0 = 0}.

Geodætikken i denne model er halvcirkler vinkelret på grænsen af kuglen B n . Kugleisometrier dannes ved sfæriske inversioner med hensyn til hypersfærer vinkelret på grænsen.

Poincaré-modellen i det øverste halvplan

Modellen af det øverste halvplan fås fra Poincaré-modellen i kuglen ved at anvende en inversion centreret på grænsen af Poincaré-modellen B n (se ovenfor) og med en radius lig med to gange modellens radius.

Denne transformation kortlægger cirkler til cirkler og linjer (i sidstnævnte tilfælde - hvis cirklen passerer gennem inversionscentret) - og desuden er det en konform afbildning . Derfor er geodætikken i modellen af det øvre halvplan de rette linjer og (halv)cirkler vinkelret på hyperplanets grænse.

Hyperbolske manifolder

Enhver komplet , forbundet , simpelt forbundet manifold med konstant negativ krumning −1 er isometrisk for Lobachevsky-rummet . Som et resultat heraf er det universelle dæksel af enhver lukket manifold M med konstant negativ krumning −1, det vil sige den hyperbolske manifold ] . Så kan enhver sådan manifold M skrives som , hvor er en diskret torsionsfri isometrigruppe på . Det vil sige, at det er et gitter i SO + ( n ,1) . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\Gamma$

Riemann overflader

Todimensionelle hyperbolske overflader kan også forstås som Riemann-overflader . Ifølge uniformiseringsteoremet er enhver Riemann-overflade elliptisk , parabolsk eller hyperbolsk . De fleste hyperbolske overflader har en ikke-triviel fundamental gruppe . Grupper, der opstår på denne måde, kaldes Fuchsian . Det øvre halvplans kvotientrum i forhold til den fundamentale gruppe kaldes den fuchsiske model af en hyperbolsk overflade. Det øvre Poincare-halvplan er også hyperbolsk, men simpelthen forbundet og ikke kompakt . Derfor er det en universel belægning af andre hyperbolske overflader. $\pi _{1}=\Gamma$ $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$

En lignende konstruktion for tredimensionelle hyperbolske overflader er Klein-modellen .

Se også

Stivhedsbro
Hyperbolsk manifold
Hyperbolsk 3-manifold
Murakami-Yano formel
Pseudosfære
Dini overflade

Noter

↑ Dette udtryk ligner akkordmetrikken på sfæren, hvor udtrykket ligner, men trigonometriske funktioner bruges i stedet for hyperbolske.

Litteratur

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Noter om hyperbolsk geometri // Strasbourg Master class on Geometry . - Zürich: European Mathematical Society (EMS), 2012. - Vol. 18. - S. 1-182. — (IRMA Forelæsninger i Matematik og Teoretisk Fysik). — ISBN 978-3-03719-105-7 . - doi : 10.4171/105. .
John G. Ratcliffe. Grundlaget for hyperbolske manifolder . — New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Hyperbolsk geometri på en hyperboloid // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . — S. 442–455 .
Joseph en ulv. Rum med konstant krumning . - 1967. - S. 67. Oversættelse:
- Wolf J. Rum med konstant krumning. - M . : "Nauka", 1982.
Hyperbolske Voronoi-diagrammer gjort nemme, Frank Nielsen

Ordbøger og encyklopædier	stor kinesisk