Fuld trunkering (geometri)

I euklidisk geometri er opretning eller fuld trunkering processen med at afkorte et polyeder ved at markere midten af alle dets kanter og afskære alle hjørner op til disse punkter [1] . Det resulterende polyeder vil være afgrænset af facetter (facetter af dimension n-1, i tredimensionelt rum er disse polygoner) af topformer og afkortede facetter af det oprindelige polyeder. Retteoperationen får et enkeltbogstavssymbol r . Så for eksempel er r {4,3} en ensrettet terning, dvs. cuboctahedron.

Conway bruger notationen ambo til denne operation . I grafteori skaber denne operation en midterste graf .

Et eksempel på udretning som det sidste trin af kantafskæring

Fuld trunkering er den sidste fase af trunkeringsprocessen. Figuren viser de fire stadier af en kontinuerlig trunkeringsproces fra en almindelig terning til en fuldt trunkeret tilstand:

Højere grader af fuld trunkering

Højere grader af total trunkering kan implementeres på almindelige polyedre med højere dimensioner. Den højeste grad af fuldstændig trunkering skaber et dobbelt polyeder . Udretning afkorter kanter til punkter. Dobbelt udretning afkorter (2D) vender mod punkter. I højere dimensioner trunkerer tredobbelt opretning celler (3D-flader) til punkter og så videre.

Et eksempel på dobbelt opretning som sidste fase af ansigtsafskæring

Sekvensen i figuren viser den dobbelte trunkering af terningen som det sidste trin i processen fra terningen til det dobbelte oktaeder, hvor den oprindelige flade er afkortet til et punkt:

For polygoner

Den dobbelte polygon er den samme som dens fuldt afkortede form. De nye hjørner er placeret ved midtpunkterne på siderne af den oprindelige polygon.

Til polyedre og plane fliser

Enhver almindelig polytop og dens dual har den samme fuldstændigt afkortede polytop. (Dette gælder ikke for polytoper i rum med dimension 4 eller mere.)

En fuldt afkortet polytop kan opnås som skæringspunktet mellem den originale regulære polytop med en passende skaleret koncentrisk version af den dobbelte. Af denne grund er deres navne konstrueret som kombinationer af navnet på det originale polyeder og dets dual:

Det fuldt afkortede tetraeder , hvis dual er tetraederet, kaldes tetratetraederet , bedre kendt som oktaederet .
Det fuldt afkortede oktaeder , hvis dual er terningen , kaldes cuboctahedron .
Det fuldt afkortede icosahedron , hvis dual er dodecahedron , kaldes icosidodecahedron .
En fuldt afkortet firkantet parket er en firkantet parket .
En helt afkortet trekantet parket , hvis dual er en sekskantet parket , kaldes en trekantet parket .

Eksempler

Familie	Forælder	fuld afkortning	Dobbelt
[p,q]
[3,3]	Tetraeder	Oktaeder	Tetraeder
[4,3]	terning	Cuboctahedron	Oktaeder
[5,3]	Dodekaeder	icosidodecahedron	icosahedron
[6,3]	Sekskantet mosaik	Tresekskantet mosaik	trekantet mosaik
[7,3]	Heptagonal flisebelægning af tredje orden	Trisemigonal mosaik	Trekantet flisebelægning af syvende orden
[4,4]	firkantet mosaik	firkantet mosaik	firkantet mosaik
[5,4]	Fjerde ordens femkantede fliser	Firkantet femkantet mosaik	Firkantet flisebelægning af femte orden

For uregelmæssige polyedre

Hvis polyederet ikke er regelmæssigt, ligger midtpunkterne af kanterne, der omgiver toppunktet, muligvis ikke i samme plan. En eller anden form for fuldstændig trunkering forbliver dog også mulig i dette tilfælde - enhver polytop har en polyedrisk graf , som et 1-skelet (polytop), og ud fra denne graf kan man danne en midtergraf ved at placere toppunkter i midten af kanterne på den originale graf og forbinder to nye hjørner, hvis de hører til på hinanden følgende kanter langs en fælles flade. Den resulterende midterste graf forbliver polyeder, så ved Steinitz' sætning kan den repræsenteres som et polyeder.

Conway-notationsækvivalenten for fuld trunkering er ambo , angivet med en . Påføring to gange aa , (opretning efter opretning) er Conway ekspansionsoperationen , e , som er den samme operation som Johnson affasningsoperationen , t 0,2 for almindelige polytoper og flisebelægninger.

Til 4-dimensionelle polyedre og 3-dimensionelle tessellationer

Enhver konveks regulær 4-polytop har en fuld trunkeringsform, ligesom en ensartet 4-polytop .

En regulær 4-dimensionel polytop {p,q,r} har celler {p,q}. At afkorte det fuldstændigt vil give to typer celler - fuldstændigt trunkerede {p,q} polyedre tilbage fra de oprindelige celler, og {q,r} polyedre som nye celler dannet på stederne af de trunkerede hjørner.

Trunkeringen af {p,q,r} er dog ikke den samme som trunkeringen af {r,q,p}. En yderligere trunkering, kaldet dobbelt total trunkering , er symmetrisk med hensyn til 4-polytopen og dens dual. Se Uniform 4-polytop .

Eksempler

Familie	Forælder	fuld afkortning	Dobbelt fuld trunkering (dobbelt trunkering)	Tredobbelt fuld trunkering (dobbelt)
[p,q,r]
[3,3,3]	Fem-celler	Fuldt afkortet fem-celle	Fuldt afkortet fem-celle	Fem-celler
[4,3,3]	tesseract	Fuldt afkortet tesseract	Fuldt afkortet seksten -celler ( fireogtyve-celler )	Hexadecimal celle
[3,4,3]	fireogtyve celler	Fuldt afkortet 24-celler	Fuldt afkortet 24-celler	fireogtyve celler
[5,3,3]	120 celler	Fuldt afkortet 120-celler	Fuldt afkortet 600-celler	Seks hundrede celler
[4,3,4]	kubisk honningkage	Fuldt afkortet kubisk honeycomb	Fuldt afkortet kubisk honeycomb	kubisk honningkage
[5,3,4]	Dodekaedriske honningkager af 4. orden	Fuldt afkortet 4. ordens dodekaedrisk honeycomb	Fuldt afkortet 5. ordens kubisk honeycomb	Kubiske honningkager af 5. orden

Grader af udretning

Den første fulde trunkering afkorter kanterne til punkter. Hvis polyederet er regulært , er denne form repræsenteret af det udvidede Schläfli-symbol t 1 {p,q,...} eller r {p,q,...}.

Den anden fulde trunkering, eller dobbelt opretning , afkorter ansigterne til punkter. Hvis polyederet er regulært, er den dobbelte trunkering betegnet med t 2 {p,q,...} eller 2 r {p,q,...}. For 3-dimensionelle polytoper giver dobbelt fuld trunkering den dobbelte polytop .

Højere grader af fuldstændig trunkering kan konstrueres for polyedre i rum med dimension 4 og højere. Generelt klipper det fulde trunkeringsniveau n n-dimensionelle flader til punkter.

Hvis et polyeder i n-dimensionelt rum er fuldstændig afkortet til graden (n-1), afkortes dets facetter (facetter af dimension n-1) til et punkt, og det bliver dobbelt med det oprindelige.

Notation og facetter

Der er tre forskellige ækvivalente notationer for hver grad af fuldstændig trunkering. Tabellerne nedenfor viser navnene efter dimension og to facettyper for hver.

Regulære polygoner

Facetter er kanter repræsenteret som {2}.

navn {p}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Lodret Schläfli-symbol
navn {p}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Navn	Facet-1	Facet-2
Forælder		t 0 {p}	{p}	{2}
Fuldstændig afkortet		t 1 {p}	{p}		{2}

Almindelige 3-dimensionelle ensartede polytoper og flisebelægninger

Facetter er regulære polygoner.

Titel {p,q}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Lodret Schläfli-symbol
Titel {p,q}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Navn	Facet-1	Facet-2
Forælder		t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
Fuldstændig afkortet		t 1 {p,q}	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix))$ = r{p,q}	{p}	{q}
dobbelt afkortet		t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

Almindelige ensartede 4-dimensionelle polytoper og honningkager

Facetter er regelmæssige eller fuldstændigt afkortede polyedre.

navn {p,q,r}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Udvidet Schläfli-symbol
navn {p,q,r}	Coxeter diagram	t-record Schläfli symbol	Navn	Facet-1	Facet -2
Forælder		t 0 {p, q, r}	{p,q,r}	{p,q}
Udbedret		t 1 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	$\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}$ = r{p,q}	{q,r}
Dobbelt fuldt trunkeret (Fuldt afkortet dobbelt)		t 2 {p, q, r}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	{q,r}	${\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix))$ = r{q,r}
Trix fuldstændig afkortet (dobbelt)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

Almindelige polytoper i 5-dimensionelt rum og 4-dimensionelle honeycombs

Facetter er regulære eller fuldstændigt afkortede firedimensionelle polyedre.

Titel {p,q,r,s}	Coxeter diagram	t-record af Schläfli-symbolet	Udvidet Schläfli-symbol
Titel {p,q,r,s}	Coxeter diagram	t-record af Schläfli-symbolet	Navn	Facet-1	Facet -2
Forælder		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
Fuldstændig afkortet		t 1 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix))$ = r{p,q,r}	{q,r,s}
Dobbelt fuldt afkortet (to gange fuldt afkortet dobbelt)		t 2 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix))$ = 2r{p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix))$ = r{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix))$ = r{q,r,s}
Tredobbelt trunkeret (Fuldstændig afkortet dobbelt)		t 3 {p,q,r,s}	${\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix))$ = r{s,r,q}
Firedobbelt fuldt afkortet (dobbelt)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

Se også

Noter

↑ Weisstein, Eric W. Rectification på Wolfram MathWorld- webstedet .

Litteratur

HSM Coxeter . Almindelige polytoper . — 3. udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 . (s.145-154 Kapitel 8: Trunkering)
NW Johnson . Uniforme polytoper. - Manuskript, 1991.
- NW Johnson . Teorien om ensartede polytoper og honningkager. — University of Toronto: Ph.D. afhandling, 1966.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . (Kapitel 26)

Links

George Olszewski Berigtigelse på ordliste for hyperrum.

Operationer på polyedre

Fonden	trunkering	fuld afkortning	Dyb trunkering	Dualitet _	udstrækning	Trunkering	Alternation


t 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p,q} t{p, q}	t 1 {p, q} r{p, q}	t 12 {p,q} 2t{p, q}	t 2 {p, q} 2r{p, q}	t 02 {p,q} rr{p, q}	t 012 {p,q} tr{p, q}	ht 0 {p,q} h{q, p}	ht 12 {p,q} s{q, p}	ht 012 {p,q} sr{p, q}