Euler karakteristik

Euler-karakteristikken eller Euler-Poincaré- karakteristikken er et heltalskarakteristik af et topologisk rum . Euler-karakteristikken for rummet er normalt betegnet med . $x$ $\chi (X)$

Definitioner

For et endeligt cellekompleks (især for et endeligt simplicialt kompleks ) kan Euler-karakteristikken defineres som en alternerende sum $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

hvor angiver antallet af celler med dimension .

k_i

jeg

Euler-karakteristikken for et vilkårligt topologisk rum kan defineres i form af Betti-tallene som en alternerende sum: $b_n$ $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Denne definition giver kun mening, hvis alle Betti-tal er endelige og forsvinder for alle tilstrækkeligt store indekser.

Den sidste definition generaliserer den foregående og generaliserer til andre homologier med vilkårlige koefficienter.

Egenskaber

Euler-karakteristikken er en homotopi-invariant ; det vil sige, det er bevaret under homotopi-ækvivalens af topologiske rum.
- Især Euler-karakteristikken er en topologisk invariant.
Euler-karakteristikken for enhver lukket manifold af ulige dimensioner er lig med nul [1] .
Euler-karakteristikken for produktet af de topologiske rum M og N er lig med produktet af deres Euler-karakteristika:

\chi (M\ gange N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Euler karakteristisk for polyedre

Euler-karakteristikken for todimensionelle topologiske polyedre kan beregnes ved formlen hvor Г, Р og В er antallet af henholdsvis flader, kanter og toppunkter. Især for et enkelt forbundet polyeder er Eulers formel sand : $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

For eksempel er Euler-karakteristikken for en terning 6 − 12 + 8 = 2, og for en trekantet pyramide 4 − 6 + 4 = 2.

Gauss-Bonnet formel

For en kompakt todimensionel orienteret Riemann-manifold (overflade) uden grænse er der Gauss-Bonnet-formlen , som relaterer Euler-karakteristikken til den Gaussiske krumning af manifolden: $S$ $\chi (S)$ $K$

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

hvor er overfladearealelementet . $d\sigma$ $S$

Der er en generalisering af Gauss-Bonnet-formlen for en todimensionel manifold med grænse.
Der er en generalisering af Gauss-Bonnet-formlen til en ligedimensionel Riemann-manifold , kendt som Gauss-Bonnet-Chern-sætningen eller den generaliserede Gauss-Bonnet-formel .
Der er også en diskret analog til Gauss-Bonnet-sætningen, som siger, at Euler-karakteristikken er lig med summen af defekter i polyederet divideret med [2] . $2\pi$
Der er kombinatoriske analoger af Gauss-Bonnet-formlen.

Orienterbare og ikke-orienterbare overflader

Euler-karakteristikken for en lukket orienterbar overflade er relateret til dens slægt g (antallet af håndtag , det vil sige antallet af tori i den forbundne sum , der repræsenterer denne overflade) ved relationen

\chi =2-2g.\

Euler-karakteristikken for en lukket ikke-orienterbar overflade er relateret til dens ikke-orienterbare slægt k (antallet af projektive planer i den forbundne sum, der repræsenterer denne overflade) ved relationen

\chi =2-k.\

Værdien af Euler-karakteristikken

Navn	Udsigt	Euler karakteristik
Linjestykke		en
Cirkel		0
En cirkel		en
kugle		2
torus (produkt af to cirkler)		0
dobbelt torus		−2
tredobbelt torus		−4
Rigtigt projektivt plan		en
Möbius strimmel		0
Lille flaske		0
To kugler (frakoblet)		2 + 2 = 4
Tre kugler		2 + 2 + 2 = 6

Historie

I 1752 offentliggjorde Euler [3] en formel, der relaterer til antallet af flader af et tredimensionelt polyeder. I det originale værk er formlen givet i skemaet

S+H=A+2,

hvor S er antallet af hjørner, H er antallet af flader, A er antallet af kanter.

Tidligere findes denne formel i René Descartes ' manuskripter , udgivet i det 18. århundrede.

I 1812 udvidede Simon Lhuillier denne formel til polyedre med "huller" (for eksempel til kroppe som en billedramme). I Lhuilliers arbejde er udtrykket hvor er antallet af huller (" overfladens slægt ") tilføjet til højre side af Eulers formel . Billedrammetest: 16 sider, 16 hjørner, 32 kanter, 1 hul: $(-2g),$ $g$ $16+16=32+2-2\cdot 1.$

I 1899 generaliserede Poincaré [4] denne formel til tilfældet med en N -dimensionel polytop:

\sum _{{i=0}}^{{N-1}}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{{N-1}},

hvor er antallet af i -dimensionelle flader af et N -dimensionelt polyeder. $A_{i}$

Hvis vi betragter polyederet selv som dets eget unikke ansigt af dimension N , kan formlen skrives på en enklere form:

\sum _{{i=0}}^{{N}}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Variationer og generaliseringer

Dehn-Somerville-ligningerne er et komplet sæt lineære relationer for antallet af flader af forskellige dimensioner i et simpelt polyeder.

Se også

Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler

Noter

↑ Richeson 2008, s. 261
↑ Praktisk polygonal mesh-modellering med diskret Gauss-kappesætning
↑
L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Præsenteret for Skt. Petersborgs Akademi den 6. april 1752 . Opera Omnia 1(26): 94-108.
- Engelsk oversættelse: Leonhard Euler Bevis for nogle bemærkelsesværdige egenskaber, med hvilke faste stoffer omgivet af plane ansigter er udstyret . (Oversat af Christopher Francese og David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la generalization d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Acad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, bind. XI, 6-7.

Litteratur

Dolbilin N. Tre sætninger om konvekse polyedre // Kvant . - 2001. - Nr. 5 . - S. 7-12 .
Lakatos I. Beviser og afvisninger. Hvordan sætninger bevises / Pr. I. N. Veselovsky. - M . : Nauka, 1967.
Shashkin Yu. A. Euler karakteristisk . - M . : Nauka, 1984. - T. 58. - ( Populære forelæsninger om matematik ).
Yu. M. Burman Eulers karakteristiske sommerskole "Modern Mathematics", 2012, Dubna

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)