Konform kortlægning

En konform mapping er en kontinuerlig mapping , der bevarer vinklerne mellem kurver, og dermed formen af infinitesimale figurer.

Definition

En en-til-en kortlægning af et domæne D på et domæne D * ( Euklidisk rum eller Riemann manifold ) kaldes konform ( lat. conformis - lignende), hvis differentialet for denne transformation i et kvarter til et punkt D er sammensætning af en ortogonal transformation og en homoteti .

Dette udtryk kommer fra kompleks analyse , der oprindeligt kun blev brugt til konforme kortlægninger af flyregioner.

Hvis orienteringen er bevaret under en konform kortlægning , så taler man om en konform kortlægning af den første slags ; hvis det ændrer sig til det modsatte, så taler man om en konform kortlægning af den anden slags eller en antikonform kortlægning .
To metrikker på en glat manifold siges at være konformt ækvivalente , hvis der eksisterer en glat funktion, sådan at . I dette tilfælde kaldes funktionen en konform faktor . $g,{\tilde g}$ $M$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g$ ${\displaystyle e^{\psi ))$ ${\tilde g}$

En konform kortlægning bevarer formen af infinitesimale figurer;
En konform kortlægning bevarer vinklerne mellem kurver ved deres skæringspunkter ( vinkelbevarende egenskab ).
- Denne egenskab kan også tages som definitionen af en konform kortlægning.
Riemanns sætning : Ethvert enkelt forbundet åbent domæne i planet, bortset fra hele planet, tillader en konform bijektion på enhedsskiven.
Liouvilles sætning : Enhver konform kortlægning af et domæne af euklidisk rum ved kan repræsenteres som en superposition af et endeligt antal inversioner . $\mathbb {R} ^{n}$ $n\geq 3$
Weil-krumningen er bevaret under en konform mapping, det vil sige, hvis og er konformt ækvivalente metriske tensorer , så ${\tilde g}$ $g$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

hvor og betegner Weyl-tensorerne for hhv .

{\tilde W}

W

{\tilde g}

g

Forbindelser er forbundet med følgende formel: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Krumningerne er forbundet med følgende formel: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

hvis a betegner funktionens hessian .

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi }

\psi

I det todimensionelle tilfælde , så formlen kan skrives som $|\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi

hvor betegner Laplacian med hensyn til .

\triangle _{g}

g

For et ortonormalt par af vektorer og kan sektionskrumningen i retningen skrives som følger: $x$ $Y$ $X\wedge Y$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot [Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

hvor .

f=e^{{-\psi }}

Når man beregner den skalære krumning af en dimensionel Riemannmanifold , er det mere bekvemt at skrive den konforme faktor i formularen . I dette tilfælde: $n$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac {n-2}{n+2}}$

Det enkleste eksempel er lighedstransformationer , de udtømmer alle konforme kortlægninger af hele det euklidiske rum på sig selv;
Inversion er en konform kortlægning af den anden slags;
Enhver holomorf funktion, hvis inverse også er holomorf, definerer en konform afbildning af den første type af det tilsvarende domæne af det komplekse plan ;
Stereografisk projektion .

Konform kortlægning bruges i kartografi , elektrostatik til at beregne fordelingen af elektriske felter [1] , kontinuummekanik ( hydro- og aeromekanik , gasdynamik , elasticitetsteori , plasticitetsteori osv.).

Aleshkov Yu. Z. Forelæsninger om teorien om funktionen af en kompleks variabel, St. Petersburg: forlag ved St. Petersburg State University, 1999;
Ivanov V. I. Konforme kortlægninger og deres anvendelser (et kort historisk essay). // Historisk og matematisk forskning . - M. : Janus-K, 2001. - nr. 41 (6) . — S. 255-266. .
Carathéodory K. Konform kortlægning. M.-L.: ONTI Statens Tekniske og Teoretiske Forlag, 1934 / Pr. fra engelsk. M. V. Keldysha
Lavrentiev M.A. Konforme kortlægninger. M.-L.: Gostekhizdat, 1946. 160 s.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Yanushauskas AI Tredimensionelle analoger af konforme kortlægninger. Novosibirsk: Nauka, 1982. 173 s., 2650 eksemplarer.
Radygin V. M. , Polyansky I. S. Metoder til konforme kortlægninger af polyedre i // Vestn. Udmurtsk. universitet Måtte. Pels. Computer. Nauki, 27:1 (2017), 60-68. $\mathbb {R} ^{3}$