Punktgruppe i 3D-rum

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetri C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

En punktgruppe i tredimensionelt rum er en gruppe isometrier i tredimensionelt rum, der ikke flytter oprindelsen, eller en gruppe af isometrier af en kugle . Gruppen er en undergruppe af den ortogonale gruppe O(3), gruppen af alle isometrier , der efterlader oprindelsen fast, eller henholdsvis gruppen af ortogonale matricer . O(3) er i sig selv en undergruppe af den euklidiske gruppe E (3) af bevægelser i et 3-dimensionelt rum.

Symmetrigrupper af objekter er isometrigrupper. Derfor er analysen af isometrigrupper analysen af mulige symmetrier . Alle isometrier af et afgrænset 3D-objekt har et eller flere fikspunkter (som ikke ændrer position på grund af symmetri). Vi vælger oprindelsen som et af disse punkter.

Et objekts symmetrigruppe kaldes nogle gange for den fulde symmetrigruppe i modsætning til dens rotationsgruppe eller dens egen symmetrigruppe , skæringspunktet mellem den fulde symmetrigruppe og SO(3) rotationsgruppen i det tredimensionelle rum. Et objekts rotationsgruppe er den samme som dets fulde symmetrigruppe, hvis og kun hvis objektet er chiralt .

Punktgrupper i tredimensionelt rum bruges i vid udstrækning i kemi, især når man skal beskrive symmetrierne af et molekyle og molekylære orbitaler , der danner kovalente bindinger , og i denne sammenhæng kaldes disse grupper molekylære punktgrupper .

Finite Coxeter-grupper er et særligt sæt punktgrupper, der er dannet af et sæt spejlplaner, der skærer hinanden i et punkt. En Coxeter-gruppe af rang n har n spejle og er repræsenteret ved et Coxeter-Dynkin-diagram . Coxeter-notationen giver en parentesnotation svarende til Coxeter-diagrammet med markup-symboler for rotations- og andre punktsymmetri-undergrupper.

Gruppestruktur

SO(3) er en undergruppe af E + (3) , som består af direkte isometrier , dvs. orienteringsbevarende isometrier . Den indeholder isometrier af denne gruppe, hvilket efterlader oprindelsen uden bevægelse.

O(3) er det direkte produkt af SO(3) og gruppen dannet af den centrale symmetri :

O(3) = SO(3) × { I , − I }

Der er således en 1-til-1 overensstemmelse mellem alle direkte isometrier og indirekte isometrier opnået ved central symmetri. Der er også en 1-til-1 overensstemmelse mellem alle direkte isometrigrupper af H i O(3) og alle isometrigrupper af K i O(3), der indeholder en central inversion:

K = H × { I , − I } H = K ∩ SO(3)

For eksempel, hvis H er en C2 - gruppe , så er K lig med C2h . Hvis H er en C 3 - gruppe , så er K lig med S 6 . (Se nedenfor for en definition af disse grupper.)

Hvis den direkte isometriske gruppe H har en undergruppe L med indeks 2, så er der udover gruppen, der indeholder central symmetri, også en tilsvarende gruppe, der indeholder indirekte isometrier, men ikke indeholder central symmetri:

M = L ∪ ( ( H \ L ) × { − I } ),

hvor isometrien ( A , I ) er identificeret med A. Et eksempel ville være C 4 for H og S 4 for M .

Således opnås M fra H ved hjælp af den centrale symmetri af isometrier fra H \ L . Denne gruppe M er en abstrakt gruppe isomorf med H . Omvendt, for alle isometrigrupper, der indeholder indirekte isometrier, men ingen central symmetri, kan vi opnå en rotationsgruppe ved at anvende central symmetri på indirekte isometrier.

I to dimensioner er den cykliske gruppe af rotationer af størrelsesordenen k C k (rotationer gennem en vinkel på 180°/ k ) for ethvert positivt heltal k en undergruppe af O(2, R ) og SO(2, R ). Følgelig er den cykliske gruppe af rotationer af orden k omkring aksen i tredimensionelt rum for enhver akse en normal undergruppe af alle rotationer omkring aksen. Da enhver undergruppe med indeks to er normal, er rotationsgruppen ( Cn ) normal både i gruppen opnået ved at tilføje spejlsymmetrier om planer, der indeholder akserne ( C nv ) og i gruppen opnået ved at tilføje spejlsymmetrier om planer vinkelret på akser ( C nh ).

Tredimensionelle isometrier, der lader oprindelsen være fast

Isometrierne af rummet R 3 , der efterlader oprindelsen fast og danner gruppen O( 3 , R ), kan opdeles i grupper som følger:

SO( 3 , R ):
- identisk bevægelse
- rotation omkring en akse, der går gennem origo gennem en anden vinkel end 180°
- rotation om en akse, der går gennem origo gennem en vinkel lig med 180°
det samme med central symmetri ( x oversættes til −x ), dvs. henholdsvis:
- central symmetri
- rotation om en akse, der går gennem origo gennem en vinkel, der ikke er lig med 180°, efterfulgt af refleksion om et plan vinkelret på aksen og passerer gennem origo
- refleksion om et fly, der passerer gennem oprindelsen

Isometri 4. og 5. isometri, og i bredere forstand også 6., kaldes ukorrekte rotationer .

Konjugation

Hvis symmetrierne af to objekter sammenlignes, så vælges oprindelsen af koordinaterne for hvert objekt separat, dvs. de vil ikke nødvendigvis have det samme center. Desuden anses objekter for at have samme type symmetri, hvis deres symmetrigrupper er konjugerede grupper af gruppen O(3) (to undergrupper H 1 og H 2 af G er konjugerede, hvis der eksisterer g ∈ G således, at H 1 = g -1 H2g ) . _

For eksempel har to 3D-objekter den samme type symmetri if

begge har spejlsymmetri, men med hensyn til forskellige planer
begge har rotationssymmetri af orden 3, men om forskellige akser.

I tilfælde af flere symmetriplaner og/eller rotationsakser er to symmetrigrupper af samme type, hvis og kun hvis der er en rotation, der afbilder den fulde struktur af den første symmetrigruppe til den anden. (Faktisk kan der være mere end én rotation, men ikke et uendeligt antal). Definitionen af konjugation tillader også spejling af strukturen, men dette er ikke nødvendigt, da selve strukturen er akiral. For eksempel, hvis en symmetrigruppe indeholder en akse af orden 3, indeholder den rotationer i to modsatte retninger (strukturen er chiral for 11 par krystallografiske grupper med en skruelinjeformet akse).

Uendelige isometrigrupper

Der er mange uendelige isometrigrupper, for eksempel den " cykliske gruppe " (antaget at være en gruppe dannet af et enkelt element - ikke at forveksle med en gruppe med torsion ) dannet af en irrationel rotation om en akse. Vi kan skabe ikke-cykliske abelske grupper ved at tilføje yderligere drejninger omkring den samme akse. Der er også ikke-abelske grupper dannet af rotationer om forskellige akser. De er normalt (generelt) gratis grupper . De vil være uendelige, hvis du ikke vælger at rotere på en bestemt måde.

Alle de uendelige grupper nævnt indtil dette punkt er ikke lukkede som topologiske undergrupper af gruppen O(3).

Den fulde gruppe O(3) er en sfærisk symmetrigruppe . SO(3) er den tilsvarende rotationsgruppe. Andre uendelige isometrigrupper består af alle rotationer om en akse, der går gennem origo og samme drejning med yderligere spejlsymmetri om planer, der går gennem denne akse og/eller spejlsymmetri om et plan, der går gennem origo og vinkelret på aksen. Disse grupper med spejle, der går gennem aksen, med eller uden et spejl, der går gennem origo og vinkelret på aksen, er symmetrigrupper for to typer cylindrisk symmetri . Bemærk, at enhver fysisk genstand, der har uendelige rotationssymmetrier, også vil have spejlsymmetrier med hensyn til planer, der passerer gennem aksen.

Finite isometrigrupper

Symmetrier i 3-dimensionelt rum, der efterlader oprindelsen på plads, er fuldstændigt defineret af symmetrier på kuglen centreret ved oprindelsen. For endelige tredimensionelle punktgrupper, se også Grupper af sfærisk symmetri .

Op til konjugation består sættet af endelige tredimensionelle punktgrupper af:

7 uendelige serier med højst en akse af orden større end 2. Disse er endelige symmetrigrupper på uendelige cylindre eller tilsvarende på endelige cylindre. Disse grupper kaldes undertiden prismatiske punktgrupper.
7 punktgrupper med flere akser af orden 3 eller mere. Disse er endelige punktgrupper med flere akser af orden 3, da alle 7 inkluderer sådanne akser. Mulige akselkombinationer:
- 4 akse rækkefølge 3
- 4 akser af orden 3 og 3 i orden 4
- 10 akser af orden 3 og 6 i orden 5

Sættet af punktgrupper ligner den diskrete overførselsgruppe - 27 ud af 7 uendelige serier og 5 ud af 7 resterende, 32 såkaldte krystallinske punktgrupper i alt. Se også Crystallographic Constraint Theorem .

Syv uendelige rækker af aksesymmetriske grupper

Den uendelige række af prismatiske grupper har indeks n , som kan være et hvilket som helst naturligt tal. I hver serie indeholder den n'te symmetrigruppe en rotation af orden n omkring aksen, dvs. rotation med 360°/ n . Tilfældet n =1 svarer til fraværet af bevægelse. Der er fire serier uden yderligere rotationssymmetriakser (se cykliske symmetrier ) og tre med yderligere symmetriakser af orden 2 (se dihedral symmetri ). De kan forstås som punktgrupper i -planet , udvidet med koordinatakser og refleksioner i dem. De er relateret til kantgrupperne [1] og kan opfattes som kantgrupper, der gentages n gange rundt om cylinderen.

Følgende tabel giver nogle typer notation for punktgrupper: Hermann-Mogen symbolisme (bruges i krystallografi ), Schoenflies symboler (bruges til at beskrive molekylær symmetri ), orbifold notation og Coxeter notation . De sidste tre er ikke kun praktiske til at forstå egenskaberne for punktgrupper, men bestemmer også rækkefølgen af gruppen. Disse er ensartede poster gældende for tapetgrupper og kantgrupper . For krystallografiske grupper er n begrænset til 1, 2, 3, 4 og 6. Hvis vi fjerner de krystallografiske begrænsninger, får vi grupper for ethvert naturligt tal.

Serie:

Herman - Mogena		Skonfluer	Orbifold [	Coxetera		Grænse	Struktur ( rækkefølge )	Eksempel	Kommentarer
Selv n	ulige n	Skonfluer	Orbifold [	Coxetera		(cylinder)	Struktur ( rækkefølge )	Eksempel	Kommentarer
n		C n	nn	[n] +		p1	n	Z n ( n )		rotationssymmetri af orden n
2n _	n	S2n _ _	n ×	[2n + ,2 + ]		p11g	Z2n ( 2n ) _ _		Spejlrotationssymmetri i orden n . Ikke at forveksle med symmetriske grupper
n /m	2n _	C n h	n *	[n + ,2]		p11m	Z n × Dih 1 (2 n )
n mm	nm _	C n v	* nn	[n]		p1m1	Dihn ( 2n ) _		Pyramideformet symmetri; i biologi - biradial symmetri
n 22	n 2	D n	22n _	[n,2] +		s211	2n _	Dih n	Dihedral symmetri
2n2m _ _	nm _	D n d , D n v	[2n,2 + ]		p2mg	4n _	Dih 2 n (2 n )		Antiprismatisk symmetri
n /mmm	2n2m _ _	D n h	* 22n	[n,2]		p2mm	Dih n ×Dih 1 (4 n )		Prismatisk symmetri

For ulige n har vi Z 2 n = Z n × Z 2 og Dih 2 n = Dih n × Z 2 .

Begreberne vandret (h) og lodret (v) såvel som de tilsvarende (nedre) indeks refererer til yderligere spejlplaner, der kan være parallelle med rotationsaksen (lodret) eller vinkelret på rotationsaksen (vandret) .

De simpleste ikke-trivielle grupper har en involutionssymmetri (den abstrakte gruppe Z 2 ):

C i - central symmetri
C 2 - rotationssymmetri af orden 2
C s - spejlsymmetri , også kaldet bilateral symmetri .

Den anden af disse grupper er den første af grupperne med én akse ( cykliske grupper ) Cn af størrelsesordenen n ( gælder også i todimensionelt rum), som genereres ved en enkelt rotation gennem en vinkel på 360°/ n . Derudover kan man tilføje et spejlplan vinkelret på aksen, hvilket giver en gruppe C nh af størrelsesorden 2 n , eller et sæt af n spejle indeholdende aksen, hvilket giver en gruppe C nv , også af størrelsesorden 2 n . Sidstnævnte er symmetrigruppen i en regulær pyramide med n sider. Et typisk objekt med symmetrigruppe Cn eller Dn er en propel .

Hvis både lodrette reflektionsplaner og vandrette planer tilføjes, giver deres skæringspunkter n akser med 180° rotation, så gruppen er ikke længere enakset. Denne nye gruppe af orden 4 n kaldes D nh . Dens rotationsundergrupper er den dihedriske gruppe D n af orden 2 n , som dog har rotationsakser af orden 2 vinkelret på hovedrotationsaksen, men ingen spejlreflektionsplaner. Bemærk, at i 2D D inkluderer n refleksioner, som kan ses som at vende over flade objekter uden at skelne mellem for- og bagside, men i 3D er de to operationer forskellige - gruppen indeholder "flip over" men ikke refleksioner.

Der er en anden gruppe i denne familie, kaldet D nd (eller D nv ), som har lodrette spejlplaner, der indeholder hoveddrejningsaksen, men i stedet for et vandret spejl har den en isometri, der kombinerer refleksion om et vandret plan og rotation gennem en vinkel på 180°/ n . D nh er symmetrigruppen af et regulært (n+2) -sidet prisme og for en regulært (2n)-sidet bipyramide . D nd er symmetrigruppen for et regulært (n+2) -sidet antiprisme , og også for et regulært (2n) -sidet trapezhedron . D n er symmetrigruppen af det delvist roterede prisme.

Grupperne D 2 og D 2 h er bemærkelsesværdige ved, at de ikke har særlige rotationsakser. Der er tre vinkelrette akser af orden 2 [2] . D 2 er en undergruppe af polyedriske symmetrier (se nedenfor), og D 2 h er en undergruppe af polyedriske symmetrier T h og O h . D 2 kan findes i homotetramerer , såsom concanavalin A , i tetraedriske komplekser med fire identiske chirale ligander eller i molekyler såsom tetrakis(chlorfluormethyl) methan , hvis alle chlorfluormethylgrupper har samme chiralitet. Elementerne i D 2 er i 1-til-2 overensstemmelse med rotationerne givet af de reversible elementer i Lipschitz quaternionerne .

Gruppen Sn genereres af en kombination af refleksion i det vandrette plan og rotation gennem en vinkel på 360° / n . For ulige n falder gruppen sammen med gruppen genereret af to separate Cnh af orden 2n , og derfor er notationen Sn ikke nødvendig . For selv n er de dog adskilte og har orden på n . Ligesom D nd indeholder gruppen flere ukorrekte rotationer , men ingen tilsvarende rotationer.

Alle symmetrigrupper i de 7 uendelige serier er forskellige, bortset fra følgende fire lige store par:

C 1h og C 1v : gruppe af orden 2 med en refleksion ( C s )
D 1 og C 2 : bestil 2 gruppe med én 180° rotation
D 1 h og C 2 v : gruppe af orden 4 med refleksion om et plan og rotation med 180° om en linje på det plan
D 1 d og C 2 h : rækkefølge 4 gruppe med refleksion om et plan og rotation med 180° om en linje vinkelret på det plan

S 2 er en gruppe af orden 2 med en unik symmetri omkring punktet ( C i )

Her betyder "Lige" det samme op til konjugation i rummet. Dette er strengere end "op til algebraisk isomorfi". For eksempel er der tre forskellige grupper af orden to i den første betydning, men kun én i den anden. Tilsvarende er for eksempel gruppen S2n algebraisk isomorf med Z2n .

Grupper kan bygges således:

Cn . _ Genereret af et element, også kaldet C n , svarende til en rotation gennem en vinkel på 2π/ n omkring aksen. Gruppens elementer er E (identitetselement), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , svarende til drejning gennem vinklerne 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n − 1) π/ n .
S2n . _ _ Gruppen genereres af grundstoffet C 2 n σ h , hvor σ h er reflektionen (i et spejl vinkelret på aksen). Dens elementer er elementer C n med tilføjede elementer C 2n σ h , C 2 n 3 σ h , ..., C 2 n 2 n −1 σ h .
C n h . Gruppen genereres af grundstoffet C n og reflektionen σ h . Dens elementer er elementer i gruppen C n med tilføjede elementer σ h , C n σ h , C n 2 σ h , ..., C n n −1 σ h .
C nv . _ Gruppen genereres af elementet C n og reflektionen σ v i spejlet, der passerer gennem aksen. Dens elementer er elementer i gruppen C n med tilføjede elementer σ v , C n σ v , C n 2 σ v , ..., C n n −1 σ v .
D n . Gruppen genereres af elementet C n og en 180° rotation U = σ h σ v om en ret linje, der ligger i et plan vinkelret på aksen. Dens elementer er elementer i gruppen C n med tilføjede elementer U, C n U, C n 2 U, ..., C n n − 1 U.
D n d . Gruppen genereres af elementerne C 2 n σ h og σ v . Dens elementer er elementer i gruppen C n og elementer i grupperne S 2 n og C n v , sammen med elementerne C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , ..., C 2 n 2 n − 1 σ h σ v .
D n h . Gruppen genereres af elementerne C n , σ h og σ v . Dens elementer er elementer i gruppen C n med tilføjelse af elementer fra grupperne C n h , C n v og D n .

Tager vi n lig med ∞, får vi en gruppe med kontinuerlige aksiale rotationer:

G-M	Skonfluer	Orbifold	Coxeter	Begrænse	abstrakt gruppe
∞	C∞ _	∞∞	[∞] +	C n	Z∞ _	SO(2)
∞ , ∞/m	C∞h _	∞*	[2,∞ + ]	Cnh , S2n _ _ _	Dih 1 × Z∞	Z2 × SO(2 )
∞m	C∞v _	*∞∞	[∞]	C n v	Dih∞ _	O(2)
∞2	D∞ _	22∞	[2,∞] +	D n	Dih∞ _	O(2)
∞m, ∞ /mm	D∞h _	*22∞	[2,∞]	D n h , D n d	Dih 1 × Z∞	Z2 ×O(2 )

De syv resterende punktgrupper

De resterende punktgrupper har meget høj eller polyedrisk symmetri, fordi de har mere end én rotationsakse af orden større end 2. Her betegner Cn en 360°/n rotationsakse, og Sn betegner en ukorrekt rotationsakse med samme vinkel. Notationskolonnen angiver orbifold-notationen (i parentes), Coxeter-notationen ( Coxeter-diagram ), den fulde Hermann-Maugin-symbolik og den forkortede form, hvis den er anderledes. Liste over grupper:

T , (332) [3,3] + () 23 ordre 12	chiral tetraedrisk symmetri	Der er fire C 3 -akser, der hver går gennem to spidser af terningen (langs den store diagonal) eller højden af et regulært tetraeder , og tre C 2 -akser gennem midten af terningens flader eller midtpunkterne af (modsatte) sider af tetraederet. Denne gruppe er isomorf til A 4 , en vekslende gruppe på 4 grundstoffer, og er rotationsgruppen af et regulært tetraeder. Gruppen er en normal undergruppe af grupperne T d , T h og oktaedriske symmetrier. Elementerne i gruppen svarer til 1-til-2 rotationer, som er givet af 24 Hurwitz quaternion - enheder (" Binær Tetrahedrongruppe ").
T d , (*332) [3,3] () 4 3m ordre 24	komplet tetraedrisk symmetri	Denne gruppe har de samme rotationsakser som T, men med seks spejlplaner, der hver indeholder to terningkanter eller en tetraedrisk kant, en C2- akse og to C3 - akser . Akserne C 2 bliver til akserne S 4 . Denne gruppe er symmetrigruppen for det regulære tetraeder . T d er isomorf til S 4 , den symmetriske gruppe på 4 bogstaver, da der er en 1-til-1 overensstemmelse mellem elementerne i T d og 24 permutationer af de fire 3.ordenakser d svarer til sættet af permutationer af disse fire elementer. T d er en normal undergruppe af O h . Se også isometri af et regulært tetraeder .
T h , (3*2) [3 + ,4] () 2/m 3 , m 3 orden 24	pyritedrisk symmetri	Denne gruppe har de samme rotationsakser som T med spejlplaner parallelt med terningens flader. C 3 akserne bliver til S 6 akser , og der er en central symmetri. Gruppen Th er isomorf til gruppen A 4 × Z 2 (da T og C i er normale undergrupper), men ikke til den symmetriske gruppe S 4 . Dette er symmetrigruppen af en terning, på hver side af hvilken der tegnes et segment, der deler terningen i to lige store rektangler, og segmenterne af tilstødende flader har ikke fælles punkter (de forbinder forskellige kanter). Symmetrier svarer til lige permutationer af de store diagonaler, kombineret med central symmetri. Gruppen er også en symmetri af pyrithedronen , som ligner den ovenfor beskrevne terning, hvor hvert rektangel er erstattet af en femkant med en symmetriakse, der har 4 lige store sider og en side af forskellig længde (som svarer til linjen segment, der deler terningens overflade). Det vil sige, at terningens flader stikker ud langs skillelinjen og bliver smallere her. Gruppen er en undergruppe (men ikke en normal undergruppe) af gruppen af komplet icosahedral symmetri (som en isometrisk gruppe, men ikke kun som en abstrakt gruppe), med 4 af de 10 ordensakser 3. Gruppen er en normal undergruppe af O h -gruppen .
O , (432) [4,3] + () 432 ordre 24	chiral oktaedrisk symmetri	Denne gruppe ligner T-gruppen, men C 2 - akserne bliver til C 4 -akser , og der er 6 yderligere C 2 -akser, der passerer gennem midtpunkterne af terningens kanter. Denne gruppe er isomorf til S 4 , fordi dens 1-til-1 elementer svarer til 24 permutationer af rækkefølgen 3 akser, som i T. Et objekt med symmetri D 3 omkring en af rækkefølgen 3 akser opnås ved virkningen af O på en bane bestående af fire sådanne objekter, og O svarer til sæt af permutationer af disse fire elementer. Gruppen er rotationsgruppen for terningen og oktaederet . Hvis rotationer er repræsenteret ved quaternions , består O af 24 enheder af Hurwitz quaternions og 24 normerede Lipschitz quaternions , normaliseret ved division med . Som tidligere er der tale om en 1-til-2 kamp. ${\sqrt {2}}$
Åh , (*432) [ 4,3] () 4/m 3 2/m, m 3 m orden 48	fuld oktaedrisk symmetri	Denne gruppe har samme rotationsakser som O , men med spejlplaner inklusive symmetriplanerne T d og Th . Gruppen er isomorf til S 4 × Z 2 (da både O og C i er normale undergrupper), og er symmetrigruppen for terningen og oktaederet . Se også cube isometrics
I , (532) [5,3] + () 532 ordre 60	chiral icosahedral symmetri	Gruppe af rotationer af icosahedron og dodecahedron . Gruppen er en normal undergruppe med indeks 2 for den komplette symmetrigruppe I h . Gruppen indeholder 10 versioner af gruppe D 3 og 6 versioner af gruppe D 5 (rotationssymmetrier, som prismer og antiprismer). Gruppen indeholder også fem versioner af Th (se Forbindelse af fem tetraedre ). Gruppe I er isomorf til A5 , den alternerende 5 -bogstavsgruppe, da dens elementer svarer til 1-til-1 lige permutationer af de fem Th - symmetrier (eller de fem tetraedre nævnt ovenfor).
I h , (*532) [5,3] () 5 3 2/m, 5 3 m ordre 120	komplet icosahedral symmetri	Symmetrigruppe af icosahedron og dodecahedron. Gruppen Ih er isomorf til A 5 × Z 2 , fordi I og C i er normale undergrupper. Gruppen indeholder 10 D 3d - versioner, 6 D 5d -versioner (symmetrier som antiprismer) og 5 T h -versioner .

De kontinuerlige grupper, der er knyttet til denne gruppe, er:

K eller SO(3), alle mulige rotationer.
K h eller O(3), alle mulige rotationer og refleksioner.

Som nævnt ovenfor for kontinuerte rotationsgrupper vil enhver fysisk genstand, der har K-symmetri, også have Kh- symmetri .

Forholdet mellem orbifold notation og rækkefølge

Rækkefølgen af enhver gruppe er 2 divideret med orbifold Euler-karakteristikken . Sidstnævnte er lig med 2 minus summen af værdierne, som beregnes efter følgende regler:

n uden eller før * tæller som ( n − 1)/ n
n efter * tæller som ( n −1)/(2 n )
* og × tæller som 1

Dette kan også anvendes på tapetgrupper og kantgrupper - for dem er summen 2, hvilket giver en uendelig rækkefølge. Se orbifold Euler karakteristik .

Coxeter refleksionsgrupper

Grundlæggende domæne af tredimensionelle Coxeter-grupper

A 3 , [3,3]	BC 3 , [4,3]	H3 , [5,3 ]
6 spejle	3+6 spejle	15 spejle
A 1 ×A 1 , [1,2]	A 1 ×A 1 ×A 1 , [2,2]	I 2 (3) × A 1 , [2,3]
2 spejle	3 spejle	4 spejle
A 1 , [1]	A 1 ×A 1 , [2]	I 2 (3), [3]
1 spejl	2 spejle	3 spejle

Refleksionspunktgrupper i tredimensionelt rum, som også kaldes Coxeter-grupper og kan defineres ved Coxeter-Dynkin-diagrammer , repræsenterer et sæt spejle, der skærer hinanden i ét centralt punkt og begrænser domæneområdet i form af en sfærisk trekant på kuglens overflade. Coxeter-grupper med færre end 3 generatorer har degenererede sfæriske trekantede domæner såsom lune eller hemisfære . I Coxeter-notation er sådanne grupper tetraedrisk symmetri [3,3], oktaedrisk symmetri [4,3], icosahedral symmetri [5,3] og dihedral symmetri [s,2]. Antallet af spejle i en irreducerbar gruppe er nh/2 , hvor h er gruppens Coxeter-nummer , n er dimensionen (3) [3] .

Weil gruppe		Bestille	Coxeter nummer (h)	Spejle (m)
Polytopgrupper
A 3	[3,3]	24	fire	6
B3 _	[4,3]	48	6	3+6
H3 _	[5,3]	120	ti	femten
Dihedral gruppe
2A1 _ _	[1,2]	fire		1+1
3 A 1	[2,2]	otte		2+1
I 2 (p) A 1	[s,2]	4 p		p+1
Cykliske grupper
2A1 _ _	[2]	fire		2
I 2 (p)	[p]	2 p		s
enkelt spejl
A 1	[ ]	2		en

Rotationsgrupper

Rotationsgrupper, dvs. endelige undergrupper af SO(3) er: cykliske grupper C n (rotationsgrupper af kanoniske pyramider ), dihedrale grupper D n (rotationsgrupper af homogene prismer eller kanoniske bipyramider ) og rotationsgrupper T , O og I af regulær tetraeder , oktaeder / terning og icosahedron / dodecahedron .

Især de dihedrale grupper D 3 , D 4 osv. er grupper af rotationer af plane regulære polygoner indlejret i tredimensionelt rum, og sådanne figurer kan betragtes som degenererede regulære prismer. Derfor kaldes de dihedral (på græsk: en krop med to ansigter), hvilket forklarer navnet dihedral gruppe .

Et objekt med en symmetrigruppe C n , C nh , C nv eller S 2n har en rotationsgruppe C n .
Et objekt med en symmetrigruppe D n , D nh eller D nd har en rotationsgruppe D n .
Et objekt med en af de syv andre symmetrigrupper har en rotationsgruppe svarende til en gruppe uden indeks - T , O eller I .

Et objekts rotationsgruppe er lig med dets fulde symmetrigruppe, hvis og kun hvis objektet er chiralt .

Liste over rotationsundergrupper efter deres Schoenflies- notation , Coxeter-notation , ( orbifold notation ):

Afspejling	Refleksion/rotation	Ukorrekt rotation	Rotation
C nv , [n], (*nn)	C nh , [n + ,2], (n*)	S 2n , [2n + ,2 + ], (n×)	C n , [n] + , (nn)
D nh , [2,n], (*n22)	Dnd , [ 2 + ,2n], (2*n)		D n , [2,n] + , (n22)
T d , [3,3], (*332)			T , [3,3] + , (332)
Åh , [ 4,3 ], (*432)	T h , [3 + ,4], (3*2)		O , [4,3] + , (432)
I h , [5,3], (*532)			I , [5,3] + , (532)

Korrespondance af rotationsgrupper og andre grupper

Følgende grupper indeholder central symmetri :

C nh og D nh for lige n
S 2 n og D nd for ulige n ( S 2 = C i er en gruppe genereret af central symmetri; D 1d = C 2h )
T h , O h og I h

Som forklaret ovenfor er der en 1-til-1 overensstemmelse mellem disse grupper og alle rotationsgrupper:

C nh for lige n og S 2 n for ulige n svarer til C n
D nh for lige n og D nd for ulige n svarer til D n
T h , O h og I h svarer til henholdsvis T , O og I .

Andre grupper indeholder indirekte isometrier, men ingen central symmetri:

C nv
C nh og D nh for ulige n
S 2 n og D nd for lige n
T d

De svarer alle til rotationsgruppen H og undergruppen L med indeks 2 i den forstand, at de opnås fra H ved at invertere isometrierne til H \ L , som forklaret ovenfor:

C n er en undergruppe af D n med indeks 2, hvilket giver C nv
C n er en undergruppe af C 2n med indeks 2, som giver C nh for ulige n og S 2 n for lige
D n er en undergruppe af D 2n med indeks 2, som giver D nh for ulige n og D nd for lige
T er en undergruppe af O med indeks 2, hvilket giver T d

Maksimal symmetri

Der er to diskrete punktgrupper med den egenskab, at ingen diskret punktundergruppe har dem som en egentlig undergruppe, O h og I h . Deres største fælles undergruppe er T h . To grupper opnås fra det ved at erstatte rotationssymmetri af orden 2 med symmetri af orden 4 og tilføje symmetri af orden 5, henholdsvis. Du kan også få to grupper ved at tilføje spejlplaner til T h .

Der er to krystallografiske punktgrupper med den egenskab, at ingen krystallografisk punktgruppe indeholder dem som deres egen undergruppe - O h og D 6h . Deres maksimale fælles undergrupper, afhængigt af orienteringen, er D 3d og D 2h .

Sortering af grupper efter abstrakt gruppetype

Yderligere er grupperne beskrevet ovenfor arrangeret efter gruppens abstrakte type.

De mindste abstrakte grupper, der ikke er symmetrigrupper i tredimensionelt rum, er quaterniongruppen (af orden 8), Z 3 × Z 3 (af orden 9), den dicykliske gruppe Dic 3 (af orden 12) og 10 af 14 grupper af ordre 16.

Kolonnen "Antal elementer af orden 2" i følgende tabel viser det samlede antal isometriundergrupper af typen C 2 , C i , C s . Dette fælles nummer er et af de kendetegn, der gør det muligt at skelne abstrakte typer af grupper, mens deres isometritype hjælper med at skelne grupper af isometrier af samme abstrakte gruppe.

Blandt de mulige isometrier af grupper i tredimensionelt rum er der uendeligt mange abstrakte typer grupper med 0, 1 og 3 elementer af orden 2, der er to grupper med 2 n + 1 elementer af orden 2, og der er tre grupper med 2 n + 3 elementer af orden 2 (for enhver n ≥ 2 ). Der er ikke noget positivt lige antal elementer i orden 2.

Symmetrigrupper i tre dimensioner, der er cykliske som abstrakte grupper

Rotationssymmetrigruppen af orden n er C n . Dens abstrakte gruppetype er den cykliske gruppe Z n , som også betegnes C n . Der er dog yderligere to uendelige serier af symmetrigrupper med typer af abstrakte grupper:

For selv 2 n er der en gruppe S 2n (i Schoenflies notation) genereret af en 180°/n rotation omkring en akse, kombineret med en refleksion i et plan vinkelret på aksen. For S 2 bruger vi notationen C i , denne gruppe er genereret af den centrale symmetri.
For enhver rækkefølge 2 n , hvor n er ulige, har vi C nh . Gruppen har en rotationsakse af orden n og et vinkelret spejlplan. Gruppen genereres af en 360°/ n rotation omkring aksen i kombination med refleksion. For C 1 h bruger vi notationen C s , denne gruppe er genereret ved refleksion i planet.

Ved at fremhæve de 10 krystallografiske punktgrupper med fed skrift, for hvilke krystallografiske restriktioner gælder , har vi:

Bestille	Isometriske grupper	abstrakt gruppe	Antal ordreelementer 2
en	C1 _	Z1 _	0
2	C2 , Ci , Cs _ _ _	Z2 _	en
3	C3 _	Z3 _	0
fire	C4 , S4 _ _	Z4 _	en
5	C5 _	Z5 _	0
6	C6 , S6 , C3h _ _ _	Z 6 \u003d Z 3 × Z 2	en
7	C7 _	Z7 _	0
otte	C8 , S8 _ _	Z8 _	en
9	C9 _	Z9 _	0
ti	C10 , S10 , C5h _ _ _	Z10 = Z5 × Z2 _	en

etc.

Symmetrigrupper i tredimensionelt rum, dihedrale som abstrakte grupper

I to dimensioner omfatter den dihedrale gruppe D n refleksioner, som kan opfattes som at vende objektet uden at skelne mellem for- og bagside.

Men i tredimensionelt rum er de to operationer forskellige - symmetrigruppen med betegnelsen D n indeholder n akser af orden 2, vinkelret på akserne af orden n , og ikke refleksion. D n er rotationsgruppen af et n - sidet prisme med en regulær base, en n - sidet bipyramide med en regulær base og en regulær n - sidet antiprisme og et regulært n - sidet trapezhedron . Gruppen er også den fulde symmetrigruppe af sådanne objekter, hvis de er gjort chirale ved at markere flader eller ved en modifikation af figuren.

Den abstrakte gruppe er den dihedrale gruppe Dih n , som også er betegnet med symbolet D n . Der er dog yderligere tre symmetrigrupper med den samme abstrakte gruppe:

C nv af orden 2 n , symmetrigruppen af en regulær n - sidet pyramide
D nd af orden 4 n , symmetrigruppen af et regulært n - sidet antiprisme
D nh af orden 4 n for ulige n . For n = 1 får vi D 2 allerede givet ovenfor, så n ≥ 3.

Bemærk følgende egenskab:

Dih 4n+2 Dih 2n+1 × Z 2

\kong

Ved at sætte de 12 krystallografiske grupper med fed skrift og skrive D 1d som ækvivalent med C 2h , har vi:

Bestille	Isometriske grupper	abstrakt gruppe	Antal ordreelementer 2
fire	D2 , C2v , C2h _ _ _	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D3 , C3v _ _	Dih 3	3
otte	D4 , C4v , D2d _ _ _	Dih 4	5
ti	D5 , C5 v _ _	Dih 5	5
12	D6 , C6v , D 3d , D 3h _ _	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
fjorten	D7 , C7 v _ _	Dih 7	7
16	D8 , C8v , D4d _ _ _ _ _	Dih 8	9
atten	D 9 , C 9 v	Dih 9	9
tyve	D 10 , C 10 v , D 5 h , D 5 d	Dih 10 = D 5 × Z 2	elleve

etc.

Andet

C 2n,h af størrelsesordenen 4 n er en abstrakt gruppe af typen Z 2 n × Z 2 . For n = 1 får vi Dih 2 , gruppen allerede beskrevet ovenfor, så n ≥ 2.

Ved at sætte de 2 cykliske krystallografiske punktgrupper med fed skrift har vi:

Bestille	Isometriske grupper	abstrakt gruppe	Antal ordreelementer 2
otte	C4h _	Z4 × Z2 _	3
12	C6h _	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
16	C 8h	Z8 × Z2 _	3
tyve	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

etc.

D nh af orden 4 n er en abstrakt gruppe af typen Dih n × Z 2 . For ulige n er gruppen allerede beskrevet ovenfor, så her har vi D 2 n h af orden 8 n , som er en abstrakt gruppe af typen Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).

Ved at fremhæve de 3 dihedriske krystallografiske punktgrupper med fed skrift har vi således:

Bestille	Isometriske grupper	abstrakt gruppe	Antal ordreelementer 2
otte	D2h _	Dih 2 × Z 2	7
16	D4h _	Dih 4 × Z 2	elleve
24	D6h _	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	femten
32	D8h _	Dih 8 × Z 2	19

etc.

De resterende syv grupper, hvor de 5 krystallografiske punktgrupper er med fed:

Bestille	Isometriske grupper	abstrakt gruppe	Antal ordreelementer 2
12	T	A4 _	3
24	Td , O _	S4 _	6
24	T h	A 4 × Z 2	6
48	Åh h	S 4 × Z 2	6
60	jeg	A5 _
120	jeg h	A 5 × Z 2

Umulige diskrete symmetrier

Da gennemgangen er udtømmende, viser den implicit, hvilke tilfælde der ikke er mulige som diskrete symmetrigrupper. For eksempel:

Akse C 6 i den ene retning og C 3 i den anden
Akse C 5 i den ene retning og C 4 i den anden
C 3 akse i én retning og en anden C 3 akse i vinkelret retning

Etc..

Binære polyedriske grupper

Kortlægningen Spin(3) → SO(3) er en dobbeltdækning af rotationsgruppen af spinorgruppen i tredimensionelt rum. (Dette er den eneste forbundne dækning af SO(3), da Spin(3) simpelthen er forbundet.) Ved korrespondancesætningen , er der en Galois-korrespondance mellem undergrupper af Spin(3) og undergrupper af SO(3) (punktrotationsgrupper)—billedet af en undergruppe af Spin (3) er en punktgruppe af rotationer, og det omvendte billede af en punktgruppe er en undergruppe af gruppen Spin(3).

Det omvendte billede af en endelig punktgruppe kaldes den binære polyedriske gruppe , betegnet som <l,n,m>, og kaldes det samme navn som punktgruppen, men med tilføjelsen af binær , mens rækkefølgen af gruppen er fordoblet med hensyn til den associerede gruppe af polyederet (l,m,n). For eksempel er forbilledet af den icosaedriske gruppe (2,3,5) den binære icosaedriske gruppe , <2,3,5>.

Binære polyedriske grupper:

$A_{n}$ : Binær cyklisk gruppe af ( n + 1)-gon, orden 2 n
$D_{n}$ : Binær dihedral gruppe af en n -gon, <2,2,n>, orden 4 n
$E_{6}$ : Binær tetraedrisk gruppe , <2,3,3>, orden 24
$E_7$ : Binær oktaedrisk gruppe , <2,3,4>, orden 48
$E_8$ : Binær icosahedral gruppe , <2,3,5>, orden 120

Grupperne er systematiseret efter ADE-klassifikationen og faktorgruppen C 2 i henhold til virkningen af den binære polyedriske gruppe har Du Val-singulariteten [4] .

For orienteringsvendende punktgrupper er situationen mere kompliceret, da der er to Pin-grupper , så der er to mulige binære grupper svarende til en given punktgruppe.

Bemærk, at denne afdækning er en afdækning af grupper , ikke en afdækning af rum .

Se også

Liste over sfæriske symmetrigrupper
Liste over karakteristiske tabeller over kemisk vigtige grupper af 3-dimensionelt rum
Punktgrupper i todimensionelt rum
Punktgrupper i firedimensionelt rum
Symmetri
Isometri af det euklidiske plan
Gruppehandling
Punktsymmetrigruppe
Syngony
Krystallografisk gruppe
Liste over små ordregrupper
Molekylær symmetri

Noter

↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ med en akse af orden n mener vi rotationsaksen gennem en vinkel på 360°/ n , en sådan rotation vil blive kaldt en rotation af orden n .
↑ Coxeter, 1973 .
↑ Du Val Singularities, af Igor Burban

Litteratur

HSM Coxeter . 7 De binære polyedriske grupper // [ [1] Regulære komplekse polytoper]. - Cambridge University Press, 1974. - S. 73-82.
HSM Coxeter . §12.6 Antallet af refleksioner, ligning 12.61 // Regular Polytopes . — 3. udgave. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
H.S.M. Coxeter , W.O.J. Moser. 6.5 De binære polyedriske grupper, s. 68 // Generatorer og relationer for diskrete grupper, 4. udgave. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
John Horton Conway , Daniel H. Huson. Orbifold-notationen for todimensionelle grupper // Strukturkemi. - Springer Holland, 2002. - T. 13 , no. 3 . — S. 247–257 . - doi : 10.1023/A:1015851621002 .
G. L. Fisher, B. Mellor. Tredimensionelle endelige punktgrupper og perlers symmetri // Journal of Mathematics and the Arts . – 2007.

Punktgruppe i 3D-rum

Gruppestruktur

Tredimensionelle isometrier, der lader oprindelsen være fast

Konjugation

Uendelige isometrigrupper

Finite isometrigrupper

Syv uendelige rækker af aksesymmetriske grupper

De syv resterende punktgrupper

Forholdet mellem orbifold notation og rækkefølge

Coxeter refleksionsgrupper

Rotationsgrupper

Korrespondance af rotationsgrupper og andre grupper

Maksimal symmetri

Sortering af grupper efter abstrakt gruppetype

Symmetrigrupper i tre dimensioner, der er cykliske som abstrakte grupper

Symmetrigrupper i tredimensionelt rum, dihedrale som abstrakte grupper

Andet

Umulige diskrete symmetrier

Binære polyedriske grupper

Se også

Noter

Litteratur

Links