Grundlæggende område

Givet et topologisk rum og en handlingsgruppe på det , danner billederne af et enkelt punkt under handlingsgruppens handling handlingsbaner . En fundamental region er en delmængde af rummet, der indeholder præcis et punkt fra hver bane. Det giver en geometrisk realisering af et abstrakt sæt af kredsløbsrepræsentanter.

Der er mange måder at vælge en grundlæggende region på. Det kræves normalt, at det grundlæggende domæne er en forbundet delmængde med nogle begrænsninger på grænserne, såsom at de er glatte eller polyedriske. Billederne af det valgte grundlæggende område under gruppens handling danner en mosaik i rummet. En af de vigtigste konstruktioner af fundamentale regioner bygger på Voronoi-diagrammer .

Forslag til en generel definition

Givet en handling af en gruppe G på et topologisk rum X ved hjælp af homeomorphisms , er det grundlæggende domæne for sådanne handlinger sættet D af kredsløbsrepræsentanter. Det kræves normalt, at dette sæt er topologisk simpelt og defineres på en af ​​flere specifikke måder. Den sædvanlige betingelse er, at D er et næsten åbent sæt i den forstand, at D skal være den symmetriske forskel af et åbent sæt i G med et nulmål for et eller andet (kvasi)invariant mål på X . Grunddomænet indeholder altid et frit regulært sæt U , et åbent sæt , som bevæger sig ved virkningen af ​​G ind i afbrudte kopier og næsten ligesom D repræsenterer baner. Det kræves ofte, at D er et komplet sæt af cosets med nogle gentagelser, men at gentagelsesdelen har mål nul. Dette er en almindelig situation i ergodiske teorier . Hvis det fundamentale domæne bruges til at evaluere integralet på X / G , spiller sættet af nulmål ikke en rolle.

For eksempel, hvis X er et n - dimensionelt euklidisk rum Rn , og G er et gitter Zn , der virker på det som en parallel translation , vil kvotientrummet for X / G være en n - dimensional torus . Man kan tage D [0,1) n som det fundamentale domæne , der adskiller sig fra det åbne sæt (0,1) n ved et sæt af nulmål, eller den lukkede enhedsterning [0,1] n , hvis grænse består af punkter, hvis baner har mere end én repræsentant i D .

Eksempler

Eksempler i tredimensionelt euklidisk rum R 3 .

I det tilfælde, hvor parallel transport kombineres med andre typer symmetrier, vil det fundamentale område være en del af enhedscellen. For eksempel, for plane symmetrigrupper er det fundamentale område 1, 2, 3, 4, 6, 8 eller 12 gange mindre end den primitive celle.

Grundlæggende domæne for den modulære gruppe

Diagrammet til højre viser en del af konstruktionen af ​​det grundlæggende domæne for virkningen af ​​den modulære gruppe Γ på det øvre halvplan H (her forstås det øverste halvplan som den del af det komplekse plan med en positiv koefficient ved i ).

Dette berømte diagram optræder i alle de klassiske bøger om modulære funktioner . (Måske var det velkendt for Gauss , som beskæftigede sig med fundamentale domæner, mens han studerede reduktionen af ​​kvadratiske former.) Her er hvert trekantet domæne (afgrænset af blå linjer) et frit regulært domæne af handlinger af Γ på H . Grænserne (blå linjer) er ikke en del af gratis regulære sæt. For at konstruere det fundamentale domæne H /Γ skal man beslutte, hvordan man tildeler punkter på grænserne, og man skal passe på ikke at inkludere disse punkter to gange. Så det gratis regulære sæt til dette eksempel er

Det grundlæggende område bygges ved at tilføje venstre kant plus en halv bue fra bunden, inklusive midtpunktet:

Valget af, hvilke punkter der skal medtages, varierer fra forfatter til forfatter.

Den største vanskelighed ved at definere det fundamentale domæne ligger ikke direkte i definitionen af ​​mængden, men derimod i, hvordan man arbejder med integraler over det fundamentale domæne, når integranderne har poler og nuller ved grænsen af ​​domænet.

Se også

Links