Liste over sfæriske symmetrigrupper

Punktgruppe i 3D-rum

Polytopgrupper , [n,3], (*n32)
Involutionssymmetri C s , (*) [ ] =	Cyklisk symmetri C nv , (*nn) [n] =	Dihedral symmetri D nh , (*n22) [n,2] =
Tetraedrisk symmetri T d , (*332) [3,3] =	Oktaedrisk symmetri O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisk symmetri I h , (*532) [5,3] =

Sfæriske symmetrigrupper kaldes også punktgrupper i tredimensionelt rum , men denne artikel tager kun hensyn til endelige symmetrier. Der er fem fundamentale klasser af symmetri, som trekantede fundamentale domæner besidder: dihedral , cyklisk , tetraedral , octaedral og icosahedral .

Artiklen lister grupper efter Schoenflies symboler , Coxeter notation [1] , orbifold notation [2] og rækkefølge. Conway brugte en variant af Schoenflies-notationen, baseret på den algebraiske struktur af quaternion -gruppen , med et eller to store bogstaver og et komplet sæt abonnenter. Grupperækkefølgen er angivet af indekset, medmindre den fordobles med et plus/minus-tegn ("±"), hvilket indebærer central symmetri [3] .

Herman-Mogens symbolik (international rekord) er også givet. Krystallografigrupperne , 32 i alt, er en delmængde med elementer af orden 2, 3, 4 og 6 [4] .

Symmetrier-involutioner

Der er fire symmetrier, der er omvendt til sig selv, dvs. involutioner : identitetstransformation (C1 ), spejlsymmetri ( Cs ), rotationssymmetri (C2 ) og central symmetri ( Ci ) .

Int.	Geom. [5]	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.	Fond. område
en	en	elleve	C1 _	C1 _	][ [ ] +	en
2	2	22	D1 = C2 _	D2 = C2 _	[2] +	2

Int.	Geom.	Orib.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.	Fond. område
en	22	×	C i \u003d S 2	CC2 _	[2 + ,2 + ]	2
2 = m	en	*	Cs = C1v = C1h _	±C 1 = CD 2	[ ]	2

Cyklisk symmetri

Der er fire uendelige familier af cyklisk symmetri med n =2 og højere. (n kan være lig med 1 som et særligt tilfælde af ingen symmetri )

Int.	Geo	Orb.	Schönf.	Conway.	Cola.	Siden.
2	2	22	C2 = D1 _	C2 = D2 _	[2] + [2,1] +	2
mm2	2	*22	C2v = D 1 time	CD 4 = DD 4	[2] [2,1]	fire
fire	42	2×	S4 _	CC4 _	[2 + ,4 + ]	fire
2/m	2 2	2*	C2h = Dld _	±C2 = ± D2	[2,2 + ] [2 + ,2]	fire

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.
3 4 5 6 n	3 4 5 6 n	33 44 55 66 nn	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	C 3 C 4 C 5 C 6 Cn _	[3] + [4] + [5] + [6] + [n] +	3 4 5 6 n
3m 4mm 5m 6mm -	3 4 5 6 n	33 44 55 66 *nn	C 3v C 4v C 5v C 6v C nv	CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n	[3] [4] [5] [6] [n]	6 8 10 12 2n
3 8 5 12 -	62 82 10,2 12,2 2n.2	3× 4× 5× 6× n×	S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n	±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ±C n	[2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ]	6 8 10 12 2n
3/m= 64 /m5 /m= 106 /m n/m	3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	3* 4* 5* 6* n*	C 3t C 4t C 5t C 6t C nh	CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n	[2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ]	6 8 10 12 2n

Dihedral symmetri

Der er tre uendelige familier med dihedral symmetri med n lig med eller større end 2. ( n kan være lig med 1 som et specialtilfælde)

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.
222	2 . 2	222	D2 _	D4 _	[2,2] +	fire
42m _	4 2	2*2	D2d _	D.D. 8	[2 + ,4]	otte
hmmm	22	*222	D2h _	±D 4	[2,2]	otte

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.
32 422 52 622	3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2n . _ 2	223 224 225 226 22n	D 3 D 4 D 5 D 6 Dn _	D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n	[2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] +	6 8 10 12 2n
3m 8 2m 5m 12 ,2m _ _	6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2	23 24 25 26 2*n	D 3d D 4d D 5d D 6d D nd	±D 6 DD 16 ±D 10 DD 24 DD 4n / ±D 2n	[2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n]	12 16 20 24 4n
6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm	32 42 52 62 n2	223 224 225 226 *22n	D 3t D 4t D 5t D 6t D nh	DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n	[2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	12 16 20 24 4n

Symmetrier af polyedre

Der er tre typer symmetri for polyedre : tetraedrisk symmetri , oktaedrisk symmetri , og icosahedral symmetri , opkaldt efter regulære trekantede polyedre, der har sådanne symmetrier.

Tetraedrisk symmetri

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.
23	3 . 3	332	T	T	[3,3] + = [4,3 + ] +	12
m 3	4 3	3*2	T h	±T	[ 4,3+ ]	24
43m _	33	*332	T d	TIL	[3,3] = [1 + ,4,3]	24

Oktaedrisk symmetri

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.	Fond. område
432	4 . 3	432	O	O	[4,3] + = [[3,3]] +	24
m 3 m	43	*432	Åh h	±O	[4,3] = [[3,3]]	48

Ikosaedrisk symmetri

Int.	Geom.	Orb.	Schönf.	Conway	Cola.	Siden.	Fond. område
532	5 . 3	532	jeg	jeg	[5,3] +	60
53 2/m	53	*532	jeg h	±I	[5,3]	120

Se også

Krystallografisk punktsymmetrigruppe
trekant gruppe
Liste over plane symmetrigrupper
Punktgrupper i todimensionelt rum

Litteratur

Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), appendiks I
Donald E. Sands. Krystalsystemer og geometri // Introduktion til krystallografi . - Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. - S. 165 . - ISBN 0-486-67839-3 .

John H. Conway, Derek A. Smith. Om kvaternioner og oktaver = Om kvaternioner og oktonioner. - Moskva: MTSNMO, 2009. - ISBN 978-5-94057-517-7 .
John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Tingenes symmetrier. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
HSM Coxeter . Kalejdoskoper: Udvalgte skrifter af HSM Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Paper 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
- (Paper 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Norman Johnson. Kapitel 11: Finite symmetrigrupper // Geometrier og transformationer. – 2015.
D. Hestenes , J. Holt. De krystallografiske rumgrupper i geometrisk algebra // Journal of Mathematical Physics. - 2007. -Udgave. 48, 023514.

Eksterne links

Finite sfæriske symmetrigrupper
Weisstein, Eric W. Schoenflies-symbol (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Krystallografiske punktgrupper (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Enkleste kanoniske polyedre af hver symmetritype , af David I. McCooey