Undergruppe

En undergruppe er en undergruppe af gruppen , der selv er en gruppe i forhold til den operation, der definerer . $H$ $G$ $G$

En undergruppe af en gruppe er dens undergruppe, hvis og kun hvis: $H$ $G$

$H$ indeholder det enkelte element fra $G$
indeholder produktet af to vilkårlige elementer fra , $H$
indeholder, sammen med hvert af dets elementer, elementet omvendt til det . $h$ ${\displaystyle h^{-1))$

I tilfælde af endelige og generelt periodiske grupper er den tredje betingelse en konsekvens af de to første.

Eksempler

En undergruppe af gruppen bestående af et element vil naturligvis være en undergruppe, og denne undergruppe kaldes gruppens identitetsundergruppe . $G$ $en$ $G$
Det er også sin egen undergruppe. $G$

Relaterede definitioner

Enhver undergruppe, der er forskellig fra hele gruppen, kaldes en sand undergruppe af denne gruppe. En ægte undergruppe af en eller anden uendelig gruppe kan være isomorf for gruppen selv.
Selve gruppen og enhedsundergruppen kaldes ukorrekte undergrupper af gruppen , alle de andre kaldes egentlige undergrupper . $G$ $G$
Skæringspunktet mellem alle undergrupper i gruppen, der indeholder alle elementer i et ikke-tomt sæt , kaldes undergruppen, der genereres af sættet, og er betegnet med . $G$ $M$ $M$ $\langle M\rangle$
- Hvis det består af et element , så kaldes det en
cyklisk undergruppe af elementet . $M$ $-en$ $\langle a\rangle$ $-en$
En gruppe, der er den samme som en af dens cykliske undergrupper, kaldes en cyklisk gruppe .

Hvis en gruppe er isomorf til en undergruppe af , så siges gruppen at være indlejret i .

G_{1}

H

G

G_{1}

G

Hvis er en undergruppe af gruppen , så for enhver undergruppe

H

G

a\i G

{\displaystyle aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\))

er en undergruppe. I dette tilfælde kaldes undergrupperne konjugat .

aHa^{-1}

H

Grundlæggende egenskaber

Skæringspunktet mellem undergruppe A og B er også en undergruppe.
Alle undergrupper danner et komplet inklusionsgitter, kaldet undergruppegitteret.
Et ikke-tomt sæt er en undergruppe af en gruppe, hvis og kun hvis for nogen $H\subset G$ $G$ $a,b\in H$ $ab^{-1}\in H.$
Det mængdeteoretiske skæringspunkt mellem to (og ethvert sæt) undergrupper af en gruppe er en undergruppe af gruppen . $G$ $G$
En mængdeteoretisk forening af undergrupper behøver generelt ikke at være en undergruppe. En forening af undergrupper er en undergruppe genereret af en forening af sæt . $H$ $K$ $H\cup K$
Et homomorfisk billede af undergrupper er en undergruppe.
Hvis der er givet to grupper, og hver af dem er isomorfe for en eller anden sand undergruppe af den anden, så følger isomorfien af disse grupper ikke selv heraf.

Relaterede klasser

For en undergruppe og et eller andet element er venstre coset defineret . Antallet af venstre cosets af en undergruppe kaldes indekset for undergruppen i og er betegnet med . På samme måde kan man definere rigtige cosets . $H$ $a\i G$ $aH=\{ax:x\in H\}$ $H$ $H$ $G$ $[G:H]$ $Ha=\{xa:x\in H\}$

Hvis venstre og højre sidesæt i en undergruppe er det samme, kaldes det normal . Denne egenskab gør det muligt at konstruere en faktorgruppe af en gruppe fra en normal undergruppe . $G/H$ $G$ $H$

Litteratur

Kurosh A. G. Teori om grupper . - 3. udg. — M .: Nauka, 1967. — 648 s.
Zhuravlev Yu. I. , Flerov Yu. A. , Vyaly M. N. Diskret analyse. Grundlæggende om højere algebra . - 2. udg. - M. : MZ Press, 2007. - S. 24-25. — 224 s.

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation