Almindelig dodekaeder

Almindelig dodekaeder
( roterende model , 3D-model )
Type	almindelig polyeder
Ejendomme	konveks
Kombinatorik
Elementer	12 sider 30 kanter 20 hjørner X  = 2
Facetter	regulære femkanter
Vertex konfiguration	5 3
Dobbelt polyeder	almindelig icosahedron
Vertex figur
Scan
Klassifikation
Notation	U23 , C26 , W5 _
Schläfli symbol	{5,3}
Wythoff symbol	3 | 25
Dynkin diagram
Symmetri gruppe	I h , H3 , [5,3 ] , (*532)
Rotationsgruppe	I, [5,3] + , (532)
kvantitative data
Finnelængde
Overfladeareal
Bind
Dihedral vinkel
Solid vinkel i spidsen
Mediefiler på Wikimedia Commons

Det regulære dodekaeder (fra andet græsk δώδεκα  - "tolv" og εδρον  - "ansigt") er et af de fem mulige regulære polyedre . Dodekaederet er sammensat af tolv regulære femkanter [1] , som er dets ansigter. Hvert toppunkt af dodekaederet er et toppunkt af tre regulære femkanter. Således har dodekaederet 12 flader (femkantet), 30 kanter og 20 hjørner (3 kanter konvergerer i hver).

Historie

Måske den ældste genstand i form af et dodekaeder blev fundet i det nordlige Italien , nær Padua , i slutningen af ​​det 19. århundrede, det dateres tilbage til 500 f.Kr. e. og blev formodentlig brugt af etruskerne som en terning [2] [3] .

Dodecahedron blev betragtet i deres skrifter af gamle græske videnskabsmænd. Platon sammenlignede forskellige klassiske elementer med regulære polyedre . Om dodekaedret skrev Platon, at "... hans gud bestemte for universet og greb det til som model" [4] . Euklid i sætning 17 i bog XIII i " Begyndelsen " bygger et dodekaeder på kanterne af en terning [5] [6] :132-136 . Pappus af Alexandria i "Mathematical Collection" er engageret i konstruktionen af ​​et dodekaeder indskrevet i en given kugle, hvilket undervejs beviser, at toppunkterne på dodekaederet ligger i parallelle planer [7] [6] :318-319 [8] .

På flere europæiske landes territorium er der fundet mange genstande, kaldet romerske dodekaeder , der går tilbage til det 2.-3. århundrede. n. e., hvis formål ikke er helt klart.

Kort efter Rubiks terning dukkede op , blev et lignende puslespil i 1981 patenteret i form af et regulært dodekaeder - megaminx . Ligesom den klassiske Rubik's Cube har hver kant tre dele ved siden af ​​sig [9] . Senere, hvad angår Rubiks terning, dukkede sådanne dodekaedriske puslespil op med fire stykker ved kanten (gigaminx), fem (theraminx) osv. Kompleksiteten og tiden for at samle dem, som for Rubiks terning, stiger, efterhånden som antallet af dele ved kanten øges.

Grundlæggende formler

Hvis vi tager for længden af ​​kanten , så er overfladearealet af dodecahedron lig med

Dodecahedron volumen

Radius af den omskrevne kugle [10]

Radius af en semi-indskrevet kugle er [10]

Radius af den indskrevne kugle [10]

Egenskaber

• Alle tyve hjørner af dodekaederet ligger fem i fire parallelle planer og danner en regulær femkant i hver af dem.
• Den dihedriske vinkel mellem to tilstødende dodekaederflader er arccos(−1/√5) ≈ 116,565° [10] .
• Summen af ​​de flade vinkler ved hver af de 20 toppunkter er 324°, den massive (trihedriske) vinkel er arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617  steradianer .
• En terning kan indskrives i et dodekaeder , så siderne af terningen er diagonalerne på dodekaederet.
• Dodekaederet har tre stjernebilleder .
• Fem terninger kan indskrives i et dodekaeder. Hvis vi erstatter de femkantede flader af dodekaederet med flade femkantede stjerner, så alle kanterne af dodekaederet forsvinder, så får vi rummet af fem krydsende terninger. Dodekaederet som sådan vil forsvinde. I stedet for et lukket polyeder vises et åbent geometrisk system med fem ortogonaliteter. Eller et symmetrisk skæringspunkt mellem fem tredimensionelle rum.
• Det nærmeste plan parallelt med en vilkårligt valgt flade, hvori der er fem hjørner, som ikke hører til den valgte flade, er adskilt fra denne flade med en afstand af radius af cirklen, der er omskrevet omkring denne flade. Og radius af cirklen, der er beskrevet omkring disse fem hjørner, er lig med diameteren af ​​cirklen, der er indskrevet i nogen af ​​fladerne. Disse to mængder er henholdsvis og , hvor er længden af ​​kanten af ​​dodekaederet.

Elementer af symmetri af dodecahedron

• Dodekaederet har et symmetricenter og 15 symmetriakser. Hver af akserne passerer gennem midtpunkterne af modsatte parallelle kanter.
• Dodekaederet har 15 symmetriplaner. Ethvert af symmetriplanerne passerer i hver flade gennem toppunktet og midten af ​​den modsatte kant.
• Rotationsgruppen i dodekaederet er betegnet og isomorf ( en vekslende gruppe af grad 5), mens den fulde symmetrigruppe er isomorf .

Forholdet til sfæriske tessellers

Et regulært dodekaeder inducerer også en flisebelægning af kuglen med regelmæssige femkanter.

Interessante fakta

• Den radiolariske Circorrhegma dodecahedra [11] beskrevet af Ernst Haeckel i 1887 har en form tæt på et dodecahedron .
• I 2003 blev der, mens man analyserede data fra WMAP - rumfartøjet , fremsat en hypotese om, at universet er et dodekaedrisk Poincaré-rum [12] [13] [14] .

I kultur

• Dodekaedret bruges som en tilfældig talgenerator (sammen med andre knogler ) i bordplade-rollespil [15] , og betegnes d12 (terning - knogler).
• Bordkalendere er lavet i form af et dodekaeder af papir, hvor hver af de tolv måneder er placeret på en af ​​siderne [15] .
• I spillet Pentacore præsenteres verden i form af denne geometriske figur .
• I spillene "Sonic the Hedgehog 3" og "Sonic & Knuckles" i Sonic the Hedgehog-serien har Chaos Emeralds udseende af et dodecahedron .
• I spillet "Destiny" har engrammer form af et dodekaeder .
• I spillet "Overwatch" frigiver karakteren Sigma 2 dodekaeder under hovedangrebet .
• Nanoleaf Smart fjernbetjening [16] .

Se også

• Pentagondodecahedron  - uregelmæssig dodecahedron
• rombisk dodekaeder
• Rhombicosidodecahedron
• Dodekaeder

Noter

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrisk krop // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron  : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
2. ↑ Stefano De'Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa  (italiensk)  // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: diario. - 1885-86. - S. 1437-1459 . Se også billedet af dette emne i slutningen af ​​bindet, side 709 i scanningsfilen
3. ↑ Amelia Carolina Sparavigna. Et etruskisk dodekahedron. - arXiv : 1205.0706 .
4. ↑ Platon . " Timæus "
5. ↑ Euklids elementer. Bog XIII. Forslag 17 . Hentet 1. juni 2014. Arkiveret fra originalen 19. maj 2014. (ubestemt)
6. ↑ 1 2 Elementer af Euklid. Bøger XI-XV . - M. - L .: State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1950.  - Ud over oversættelsen til russisk af Euklids værk indeholder denne udgave i kommentarerne en oversættelse af Pappus' forslag om regulære polyedre.
7. ↑ Originaltekst på oldgræsk med paralleloversættelse til latin : Liber III. Forslag. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - T. I. - S. 156-163.
8. ↑ Roger Herz-Fischler. En matematisk historie om det gyldne  tal . - Courier Dover Publications , 2013. - S. 117-118.
9. ↑ Hort V. Desperate gåder. Megaminx er et tricky dodecahedron // Science and Life . - 2018. - Nr. 1 . - S. 104-109 . Denne artikel giver blandt andet en algoritme til at samle en megaminx.
10. ↑ 1 2 3 4 Bevis i: Cobb, John W. The Dodecahedron  ( 2005-2007). Dato for adgang: 1. juni 2014. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016.
11. ↑ I tabel XVII arkiveret 7. juni 2014 på Wayback Machine i fjerde bind af hans monografi om radiolarier, er den nummereret 2
12. ↑ Den optimale fase af den generaliserede Poincare dodekaedrale rumhypotese impliceret af den rumlige krydskorrelationsfunktion af WMAP-  himmelkortene . Dato for adgang: 31. oktober 2012. Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
13. ↑ Dodekaedrisk rumtopologi som en forklaring på svage vidvinkeltemperaturkorrelationer i den kosmiske  mikrobølgebaggrund . Dato for adgang: 31. oktober 2012. Arkiveret fra originalen den 7. december 2013.
14. ↑ Jeffrey Weeks. Poincare Dodecahedral Space og mysteriet om de manglende  fluktuationer . Arkiveret fra originalen den 4. november 2012.
15. ↑ 12 A. T. Hvid . Grafer over grupper på overflader: Interaktioner og modeller . - Elsevier , 2001. - S. 45. - 378 s. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.
16. ↑ Produkter » Nanoleaf Remote |   USA » Forbruger IoT & LED Smart Lighting Produkter ? . NanoLeaf | USA . Hentet 25. november 2021. Arkiveret fra originalen 25. november 2021.  (ubestemt)

Links

• Wikimedia Commons har medier relateret til Regular dodecahedron