Overfladeareal

Overfladeareal er en additiv numerisk egenskab for overfladen .

Definitioner

I alle definitioner af areal beskrives først den klasse af overflader, som den er defineret for. Den enkleste måde er at bestemme arealet af polyedriske overflader: som summen af områderne af deres flade flader. Klassen af polyedriske overflader er dog ikke bred nok til de fleste anvendelser.

Oftest er overfladearealet defineret for klassen af stykkevis glatte overflader med en stykkevis glat kant. Dette kan gøres ved hjælp af følgende konstruktion: Overfladen er opdelt i dele med stykkevis glatte grænser: for hver del vælges et plan, og den del, der overvejes, projiceres ortogonalt på det; arealet af de opnåede plane projektioner er opsummeret. Arealet af selve overfladen er defineret som den nøjagtige øvre grænse for sådanne summer.

Hvis en overflade i det euklidiske rum er givet af en parametrisk stykkevis- glat funktion , hvor parametrene ændres i et område på planet , så kan arealet udtrykkes ved et dobbeltintegral $C^1$ $r(u,v)$ $u$ $v$ $D$ $(u,v)$ $S$

S=\iint \limits _{D}|r_{u}\ gange r_{v}|\cdot du\cdot dv,

hvor betegner vektorproduktet, a og er partielle derivater med hensyn til og . $\ gange$ $r_{u}$ $r_{v}$ $u$ $v$

Dette integral kan omskrives som følger:

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det g_{{ij}}}}dudv

hvor , , og også $g_{{11}}=|r_{u}|^{2}$ $g_{{12}}=\langle r_{u},r_{v}\rangle$ $g_{{22}}=|r_{v}|^{2}$

S=\iint \limits _{D}{\sqrt {\det(J_{r}^{\mathrm {T}}\cdot J_{r))))))dudv

hvor angiver kortlægningens Jacobi-matrix . $J_{r}$ $(u,v)\mapsto r(u,v)$

Kommentarer

Især hvis overfladen er grafen for en -glat funktion over et domæne i planet , så $C^1$ $z=f(x,y)$ $D$ $(x,y)$ $S=\iint \limits _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy$
- Fra disse formler udledes velkendte formler for arealet af en kugle og dens dele, metoder er underbygget til at beregne arealet af omdrejningsflader osv.
For todimensionelle stykkevis glatte overflader i Riemann-manifolds tjener denne formel som en definition af området, mens rollen som , og spilles af komponenterne i den metriske tensor af selve overfladen. $g_{{11}}$ $g_{12}=g_{21}$ $g_{{22}}$

Et forsøg på at introducere begrebet arealet af buede overflader som grænsen for områderne af indskrevne polyedriske overflader (ligesom længden af en kurve er defineret som grænsen for indskrevne polygonale linjer) støder på vanskeligheder. Selv for en meget enkel buet overflade kan området af polyedre, der er indskrevet i det med gradvist mindre flader, have forskellige grænser afhængigt af valget af sekvensen af polyedre. Dette demonstreres tydeligt af et velkendt eksempel, den såkaldte Schwartz-støvle , hvor sekvenser af indskrevne polyedre med forskellige arealgrænser er konstrueret til sidefladen af en ret cirkulær cylinder.
- Arealet af en lukket konveks overflade er dog lig med den mindste øvre grænse af områderne af konvekse polyedriske overflader, der er indskrevet i den.

Egenskaber

Arealet af den indlejrede overflade falder sammen med det 2-dimensionelle Hausdorff-mål for dets billede.
Arealet af en indlejret overflade i det tredimensionelle euklidiske rum falder sammen med Minkowski-kapaciteten af kodimension 1 af dets billede.

Se også

Litteratur

Dubrovsky V. N. På jagt efter at bestemme overfladearealet Arkivkopi af 27. juni 2017 på Wayback Machine // Kvant . - 1978. - Nr. 5. - S. 31-34.

Dubrovsky V.N. Overfladeareal ifølge Minkowski Arkivkopi af 15. februar 2017 på Wayback Machine // Kvant . - 1979. - Nr. 4. - S. 33-35.

Merzon G. A., Yashchenko I. V. Længde, areal, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .