Poincaré kugle

Poincaré-sfæren  er et eksempel på en tredimensionel homologisfære , det vil sige en tredimensionel mangfoldighed, hvis homologigrupper alle falder sammen med homologigrupperne i den tredimensionelle sfære.

Et eksempel blev bygget af Poincare . Dette eksempel viser, at tilstanden på grundgruppen i Poincaré-formodningen ikke kan reduceres til en tilstand på homologigrupperne.

Bygninger

• Poincaré-kuglen kan fås fra dodekaederet ved at lime hver side til den modsatte, der drejes en vinkel med uret.
• Poincaré-sfæren kan også opnås som en faktor af en tredimensionel kugle af den binære gruppe af icosahedron , eller som en faktor af gruppen af ​​rotationer af det tredimensionelle rum af gruppen af ​​rotationer af icosahedron.
• Poincaré-kuglen kan også opnås fra en tredimensionel kugle ved en morse-omlejring langs trefoilen .

Egenskaber

• Poincaré-sfæren er den eneste homologiske tredimensionelle sfære, der er forskellig fra standardsfæren og har en endelig fundamental gruppe.
• Udvidelsen af ​​Poincaré -sfæren er en firedimensionel homologimanifold , men ikke en topologisk manifold.
• Den dobbelte suspension af Poincare-sfæren er homøomorf i forhold til den femdimensionelle standardkugle.

Litteratur

• Poincar'es homologisfære ved Manifold Atlas Project