Reuleaux trekant

Reuleaux-trekanten [* 1] er skæringsområdet for tre lige store cirkler med centre i spidserne af en regulær trekant og radier lig med dens side [1] [2] . Den ikke-glatte lukkede kurve , der afgrænser denne figur, kaldes også Reuleaux-trekanten.

Reuleaux trekanten er den enkleste figur med konstant bredde efter cirklen [1] . Det vil sige, at hvis et par parallelle referencelinjer [* 2] tegnes til Reuleaux trekanten , så vil afstanden mellem dem ikke afhænge af den valgte retning [3] . Denne afstand kaldes bredden af ​​Reuleaux trekanten.

Blandt andre figurer med konstant bredde er Reuleaux-trekanten kendetegnet ved en række ekstreme egenskaber: det mindste areal [1] , den mindst mulige vinkel i spidsen [4] , den mindste symmetri om midten [5] . Trekanten er blevet udbredt i teknologi-baseret på den, knast- og clamshell - mekanismer, Wankel roterende stempelmotor og endda bor, der tillader boring ( fræsning ) firkantede huller [6] .

Navnet på figuren kommer fra efternavnet på den tyske mekaniker Franz Rehlo . Han var sandsynligvis den første, der undersøgte egenskaberne ved denne såkaldte krumlinjede trekant; han brugte det også i sine mekanismer [7] .

Historie

Reuleaux er ikke opdageren af ​​denne figur, selvom han studerede den i detaljer. Især overvejede han spørgsmålet om, hvor mange kontakter (i kinematiske par ) der er nødvendige for at forhindre bevægelsen af ​​en flad figur, og ved at bruge eksemplet med en buet trekant indskrevet i en firkant , viste han, at selv tre kontakter måske ikke er nok for at forhindre figuren i at rotere [8] .

Nogle matematikere mener, at Leonhard Euler var den første til at demonstrere ideen om en trekant med lige store cirkelbuer i det 18. århundrede [9] . Ikke desto mindre findes en lignende figur tidligere, i det 15. århundrede: Leonardo da Vinci brugte den i sine manuskripter . Reuleaux trekanten er i hans manuskripter A og B, opbevaret på Institut de France [10] , samt i Codex Madrid [9] .

Omkring 1514 skabte Leonardo da Vinci et af de første verdenskort af sin art . Jordklodens overflade på den blev delt af ækvator og to meridianer (vinklen mellem disse meridianers planer er 90°) i otte sfæriske trekanter , som blev vist på kortets plan af Reuleaux-trekanter, samlet fire omkring pæle [11] .

Endnu tidligere, i det 13. århundrede, brugte skaberne af Vor Frue Kirke i Brugge Reuleaux-trekanten som form for nogle af vinduerne [9] .

Egenskaber

Reuleaux trekanten er en flad konveks geometrisk figur [12] .

Grundlæggende geometriske egenskaber

Hvis bredden af ​​Reuleaux trekanten er , så er dens areal [13]

omkreds

indskrevet cirkelradius

og radius af den omskrevne cirkel

. Symmetri

Reuleaux trekanten har aksial symmetri . Den har tre symmetriakser af anden orden, som hver passerer gennem trekantens toppunkt og midten af ​​den modsatte bue, samt en symmetriakse af tredje orden, vinkelret på trekantens plan og passerer gennem dens centrum [* 3] . Reuleaux -trekantens symmetrigruppe består således af seks afbildninger (inklusive identiteten ) og er den samme som symmetrigruppen i en regulær trekant .

Bygning med et kompas

Reuleaux trekanten kan konstrueres med et kompas alene uden at ty til en lineal . Denne konstruktion er reduceret til den sekventielle tegning af tre lige store cirkler . Centrum af den første vælges vilkårligt, midten af ​​den anden kan være et hvilket som helst punkt i den første cirkel, og midten af ​​den tredje kan være et hvilket som helst af de to skæringspunkter for de to første cirkler.

Egenskaber, der er fælles for alle former med konstant bredde

Da Reuleaux-trekanten er en figur med konstant bredde, har den alle de generelle egenskaber for figurerne i denne klasse. I særdeleshed,

  • med hver af sine støttelinjer har Reuleaux trekanten kun ét fælles punkt [14] ;
  • afstanden mellem to vilkårlige punkter i Reuleaux-trekantens bredde må ikke overstige [15] ;
  • det segment, der forbinder to parallelle referencelinjers kontaktpunkter med Reuleaux-trekanten, er vinkelret på disse referencelinjer [16] ;
  • gennem ethvert punkt på grænsen af ​​Reuleaux trekanten passerer mindst én referencelinje [17] ;
  • gennem hvert punkt af grænsen til Reuleaux trekanten passerer der en omsluttende cirkel med radius [* 4] , og referencelinjen tegnet til Reuleaux trekanten gennem punktet er tangent til denne cirkel [18] ;
  • radius af en cirkel, der har mindst tre fælles punkter med grænsen for Reuleaux-trekantens bredde ikke overstiger [19] ;
  • ifølge Hanfried Lenz ' sætning om mængder af konstant bredde, kan Reuleaux trekanten ikke opdeles i to figurer, hvis diameter ville være mindre end bredden af ​​selve trekanten [20] [21] ;
  • Reuleaux trekanten kan ligesom enhver anden figur med konstant bredde indskrives i en firkant [22] såvel som i en regulær sekskant [23] ;
  • ved Barbiers sætning er formlen for omkredsen af ​​Reuleaux trekanten gyldig for alle figurer med konstant bredde [24] [25] [26] .

Ekstreme egenskaber

Mindste område

Blandt alle figurer med konstant bredde har Reuleaux trekanten det mindste areal [1] . Dette udsagn kaldes Blaschke-Lebesgue-sætningen [27] [28] (efter navnene på den tyske geometer Wilhelm Blaschke , som offentliggjorde sætningen i 1915 [29] , og den franske matematiker Henri Lebesgue , som formulerede den i 1914 [30 ] ). På forskellige tidspunkter blev varianter af dets bevis foreslået af Matsusaburo Fujiwara (1927 og 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovich (1963) [35 ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] og andre matematikere [5] .

For at finde arealet af en Reuleaux-trekant kan du tilføje arealet af den indre ligesidede trekant

og arealet af de tre resterende identiske cirkulære segmenter baseret på en vinkel på 60 °

det er

[38]

En figur, der har den modsatte ekstreme egenskab, er en cirkel . Blandt alle figurer af en given konstant bredde er dens areal

maksimum [39] [* 5] . Arealet af den tilsvarende Reuleaux-trekant er mindre med ≈10,27%. Inden for disse grænser ligger arealerne af alle andre figurer med en given konstant bredde.

Mindste vinkel

Gennem hvert hjørne af Reuleaux trekanten, i modsætning til resten af ​​dens grænsepunkter, er der ikke én referencelinje , men et uendeligt antal referencelinjer. Skærende på toppen danner de et "bundt". Vinklen mellem de ekstreme lige linjer i dette "bundt" kaldes spidsvinklen . For tal med konstant bredde må vinklen ved hjørnerne ikke være mindre end 120°. Den eneste figur med konstant bredde, der har vinkler nøjagtigt 120°, er Reuleaux-trekanten [4] .

Mindst central symmetri

Af alle figurerne med konstant bredde har Reuleaux trekanten den mindste grad af central symmetri [5] [40] [41] [42] [43] . Der er flere forskellige måder at definere graden af ​​symmetri af en figur på. En af dem er Kovner-Besikovich-foranstaltningen. I det generelle tilfælde er det for en konveks figur lig med

hvor  er arealet af figuren, er den centralt symmetriske konvekse figur af det maksimale område  indeholdt i . For Reuleaux-trekanten er en sådan figur en sekskant med buede sider, som er skæringspunktet mellem denne Reuleaux-trekant med dens billede med central symmetri omkring dens centrum [* 3] . Kovner-Besicovich-målet for Reuleaux-trekanten er

[5] [40]

En anden måde er Estermann-målet

hvor  er den indeholdende centralt symmetriske figur af minimumsareal. For en Reuleaux-trekant  er dette en regulær sekskant , så Estermann-målet er

[5] [36]

For centralt symmetriske figurer er Kovner-Besikovich og Estermann målene lig med én. Blandt figurer med konstant bredde er det kun cirklen [25] der har central symmetri , som (sammen med Reuleaux-trekanten) begrænser rækken af ​​mulige værdier af deres symmetri.

Firkantet rullende

Enhver figur med konstant bredde er indskrevet i en firkant med en side, der er lig med figurens bredde, og retningen af ​​kvadratets sider kan vælges vilkårligt [22] [* 6] . Reuleaux trekanten er ingen undtagelse, den er indskrevet i en firkant og kan rotere i den, hele tiden røre ved alle fire sider [44] .

Hvert toppunkt i trekanten under sin rotation "passerer" næsten hele omkredsen af ​​firkanten og afviger kun fra denne bane i hjørnerne - der beskriver toppunktet buen af ​​en ellipse . Centrum af denne ellipse er placeret i det modsatte hjørne af firkanten, og dens store og små akser er roteret i en vinkel på 45° i forhold til firkantens sider og er lige store

hvor  er trekantens bredde [45] . Hver af de fire ellipser rører to tilstødende sider af firkanten på afstand

fra hjørne [38] .

Centret af Reuleaux trekanten under rotation bevæger sig langs en bane, der består af fire identiske buer af ellipser. Centrene af disse ellipser er placeret i kvadratets spidser, og akserne drejes i en vinkel på 45 ° i forhold til kvadratets sider og er lig med

[45] .

Nogle gange, for mekanismer, der implementerer en sådan drejning af en trekant i praksis, vælges ikke en limning af fire buer af ellipser, men en cirkel tæt på den som centrums bane [46] .

Arealet af hvert af de fire hjørner, der ikke er påvirket af rotation, er lig med

[47]

og trække dem fra arealet af kvadratet, kan du få arealet af figuren, som Reuleaux-trekanten danner, når den roterer i den

[38] [47] [48]

Forskellen med det kvadratiske areal er ≈1,2%, derfor laves der ud fra Reuleaux trekanten bor der gør det muligt at opnå næsten firkantede huller [45] .

Ansøgning

Boring af firkantede huller i tværsnit til skærehullernes akse

"Vi har alle hørt om skruenøgler designet til venstrehåndede møtrikker , sammenknyttede vandrør og støbejernsbananer. Vi betragtede sådanne ting som latterlige nipsgenstande og nægtede engang at tro, at vi nogensinde ville møde dem i virkeligheden. Og pludselig er der et værktøj, der giver dig mulighed for at bore firkantede huller!


Watts Brothers Tool Works flyer [49] [* 7]

En fræser med en sektion i form af en Reuleaux-trekant og skæreklinger, der falder sammen med dens spidser, gør det muligt at opnå næsten firkantede huller. Forskellen mellem sådanne huller fra en firkant i tværsnit er kun i let afrundede hjørner [50] . Et andet træk ved en sådan fræser er, at dens akse under rotation ikke bør forblive på plads, som det er tilfældet med traditionelle spiralbor, men beskriver en kurve i snitplanet, der består af fire buer af ellipser . Derfor bør patronen , hvori fræseren er fastspændt, og værktøjsholderen ikke forstyrre denne bevægelse [45] .

For første gang lykkedes det Harry Watts, en engelsk ingeniør, der arbejder i USA , at implementere et sådant værktøjsholderdesign . Til dette brugte han en styreplade med et hul i form af en firkant, hvori et bor kunne bevæge sig radialt, fastspændt i en "flydende borepatron" [50] . Patenterne på patronen [51] og boret [52] blev opnået af Watts i 1917. De nye bor blev solgt af Watts Brothers Tool Works [53] [54] . Et andet amerikansk patent på en lignende opfindelse blev udstedt i 1978 [55] .

Wankel motor

Et andet eksempel på brug kan findes i Wankel-motoren : Rotoren på denne motor er lavet i form af en Reuleaux-trekant [6] . Den roterer inde i kammeret, hvis overflade er lavet i henhold til epitrochoiden [56] . Rotorakslen er stift forbundet med tandhjulet , som er i indgreb med et fast gear . En sådan trihedrisk rotor ruller rundt om gearet, hele tiden rører motorens indvendige vægge med toppene og danner tre områder med variabelt volumen , som hver igen er et forbrændingskammer [6] . Takket være dette udfører motoren tre komplette arbejdscyklusser på én omdrejning.

Wankel-motoren gør det muligt at udføre enhver 4-takts termodynamisk cyklus uden brug af en gasfordelingsmekanisme . Blandingens dannelse, tænding , smøring, afkøling og opstart i den er grundlæggende den samme som i konventionelle stempelforbrændingsmotorer [56] .

Clamshell-mekanisme

En anden anvendelse af Reuleaux-trekanten i mekanik er en clamshell-mekanisme , der flytter film billede-for-billede i filmprojektorer . Luch-2-projektorens greb er for eksempel baseret på Reuleaux-trekanten, som er indskrevet i en firkantet ramme fastgjort på et dobbelt parallelogram . Ved at dreje rundt om drivakslen flytter trekanten rammen med tanden placeret på den . Tanden går ind i perforeringen af ​​filmen, trækker den ned en ramme og forlader tilbage og stiger derefter til begyndelsen af ​​cyklussen. Dens bane er jo tættere på firkanten, jo tættere på toppen af ​​trekanten er skaftet fikseret (ideelt set ville en firkantet bane gøre det muligt at projicere rammen i ¾ af cyklussen) [6] [57] [58] .

Der er et andet gribedesign, også baseret på Reuleaux trekanten. Som i det første tilfælde udfører rammen af ​​denne gribe en frem- og tilbagegående bevægelse, men den bevæges ikke af en, men af ​​to knaster , hvis drift er synkroniseret ved hjælp af et geartog [28] .

Mandehulsdæksler

Mandehulsdæksler kan laves i form af Reuleaux trekanten -  på grund af den konstante bredde kan de ikke falde ned i lugen [59] .

I San Francisco , for et vandgenvindingssystem , er mandehulslegemer formet som en Reuleaux-trekant, men deres dæksler er formet som ligesidede trekanter.

Knastmekanisme

Reuleaux trekanten blev brugt i knastmekanismerne i nogle tidlige 1800-tals dampmaskiner . I disse mekanismer roterer krumtappens rotationsbevægelse Reuleaux-trekanten, der er fastgjort til stødstangen med transmissionshåndtag, hvilket får stødstangen til at bevæge sig frem og tilbage [63] . Ifølge Reuleauxs terminologi danner denne forbindelse et "højere" kinematisk par , da kontakten mellem forbindelserne sker langs linjen og ikke langs overfladen [64] . I sådanne knastmekanismer forbliver skubberen, når den når den yderste højre eller venstre position, ubevægelig i nogen begrænset tid [63] [10] .

Reuleaux trekanten blev tidligere meget brugt i zigzag - symaskiners knastmekanismer .

Reuleaux trekanten blev brugt som en knast af tyske urmagere i A. Lange & Söhne "Lange 31" [65] armbåndsurværket .

Skøjtebane

For at flytte tunge genstande over korte afstande kan du bruge ikke kun hjul, men også enklere strukturer, for eksempel cylindriske ruller [66] . For at gøre dette skal belastningen placeres på et fladt stativ monteret på ruller og derefter skubbes. Efterhånden som de bagerste ruller bliver fri, skal de bæres og placeres foran [67] [66] . Menneskeheden brugte denne transportmetode før opfindelsen af ​​hjulet .

I denne bevægelse er det vigtigt, at lasten ikke bevæger sig op og ned, da rystning vil kræve yderligere indsats fra skubberen [67] . For at bevægelsen langs rullerne skal være retlinet , skal deres tværsnit være et tal med konstant bredde [67] [68] . Oftest var sektionen en cirkel , fordi almindelige træstammer fungerede som ruller . Et snit i form af en Reuleaux-trekant vil dog være lige så godt [ clarify ] og vil tillade objekter at blive flyttet i den samme lige linje [6] [67] .

Selvom Reuleaux trekantformede ruller giver mulighed for jævn bevægelse af genstande, er denne form ikke egnet til fremstilling af hjul, da Reuleaux trekanten ikke har en fast rotationsakse [69] .

Plectrum

Reuleaux-trekant er en almindelig form for plektrum (pluk): en tynd plade designet til at spille på strengene af plukkede musikinstrumenter .

I design

Reuleaux trekanten bruges som et element i firmaers og organisationers logoer, for eksempel: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

I USA er det nationale stisystem og cykelrutesystemet dekoreret med Reuleaux trekanter [73] .

Formen på den centrale knap på Samsung Corby -smartphonen er en Reuleaux-trekant indlejret i en sølvramme af samme form. Den centrale knap er ifølge eksperter det vigtigste designelement på forsiden af ​​Corby [74] [75] .

Reuleaux-trekanten i kunsten

Arkitektur

Formen af ​​Reuleaux trekanten bruges også til arkitektoniske formål. Konstruktionen af ​​dens to buer danner en spidsbue , der er karakteristisk for den gotiske stil , men den er ret sjælden i sin helhed i gotiske bygninger [76] [77] . Vinduer i form af Reuleaux-trekanten kan findes i Vor Frue Kirke i Brugge [9] samt i den skotske kirke i Adelaide [77] . Som et dekorativt element findes den på vinduesbjælkerne i cistercienserklosteret i den schweiziske kommune Hauterives [76] .

Reuleaux trekanten bruges også i ikke-gotisk arkitektur. For eksempel, bygget i 2006 i Köln , er et 103 meter højt tårn kaldet " Köln Triangle " i tværsnit præcis denne figur [78] .

Nogle use cases
Vinduet i Vor Frue Kirke i Brügge Vinduet fra Saint Salvator's Cathedral i Brugge Notre Dame katedral vindue " Köln Triangle "
Vinduet i Saint Michael Church i Luxembourg Vinduet i Vor Frue Kirke i Brügge Vindue i katedralen for de hellige Michael og Gudula i Bruxelles Vinduet fra Saint Bavos katedral i Gent
Se også kategorien " Reuleaux trekanter i arkitektur " på Wikimedia Commons

Form og farve

Ifølge Johannes Ittens forforløb , i den "ideelle" korrespondancemodel , er en del af spektret af hver farve i det - med en form (geometrisk figur). Den grønne farve er et "derivat": resultatet af at blande gennemsigtig blå og lysegul (uden at inkludere akromatiske ), og da de i denne model svarer til en cirkel og en regulær trekant, er det figuren kaldet af I. Itten a sfærisk trekant, Reuleaux-trekanten, der svarer til grøn.

Litteratur

I Poul Andersons sci-fi- novelle "Det trekantede hjul" [79] styrtede en besætning af jordboere ned på en planet, hvis befolkning ikke brugte hjul , da alt rundt var under et religiøst forbud. Hundredvis af kilometer fra landingsstedet forlod den tidligere jordbaserede ekspedition et lager med reservedele, men det var umuligt at overføre den to-tons nukleare generator, der var nødvendig for skibet, derfra uden nogen mekanismer. Som et resultat lykkedes det jordboerne at observere tabuet og transportere generatoren ved hjælp af ruller med en sektion i form af en Reuleaux-trekant.

Variationer og generaliseringer

Reuleaux polygon

Den underliggende idé om Reuleaux trekanten kan generaliseres ved at bruge til at skabe en kurve med konstant bredde , ikke en ligesidet trekant , men en stjerneformet polygon dannet af linjestykker af lige længde [80] . Hvis vi fra hvert hjørne af en stjerneformet polygon tegner en cirkelbue, der forbinder to tilstødende hjørner, så vil den resulterende lukkede kurve med konstant bredde bestå af et endeligt antal buer med samme radius [80] . Sådanne kurver (såvel som figurerne afgrænset af dem) kaldes Reuleaux-polygoner [81] [82] .

En familie af Reuleaux-polygoner af en vis bredde danner en overalt tæt delmængde i sættet af alle kurver med konstant bredde (med Hausdorff-metrikken ) [81] . Med andre ord, med deres hjælp er det muligt at tilnærme enhver kurve med konstant bredde vilkårligt nøjagtigt [83] [82] .

Blandt Reuleaux-polygonerne er der en klasse af kurver konstrueret på basis af regulære stjernepolygoner. Denne klasse kaldes regulære Reuleaux-polygoner . Alle de buer, der udgør en sådan polygon, har ikke kun den samme radius, men også den samme længde [84] [* 8] . Reuleaux trekanten er for eksempel korrekt. Blandt alle Reuleaux-polygoner med et fast antal sider og samme bredde omslutter regulære polygoner det største område [84] [85] .

Formen af ​​sådanne polygoner bruges i mønter : mønter fra en række lande (især 20 [86] og 50 pence [87] Storbritannien ) er lavet i form af en regulær Reuleaux-heptagon. Der er en cykel lavet af en kinesisk officer , hvis hjul er i form af en regulær trekant og en Reuleaux femkant [88] .

3D-analoger

Den tredimensionelle analog af Reuleaux trekanten som skæringspunktet mellem tre cirkler er Reuleaux tetrahedron  - skæringspunktet mellem fire identiske kugler , hvis centre er placeret i hjørnerne af en regulær tetraeder , og radierne er lig med siden af dette tetraeder. Reuleaux-tetraederet er imidlertid ikke et fast stof med konstant bredde : afstanden mellem midtpunkterne af modsatte krumlinjede grænsekanter, der forbinder dets hjørner, er

gange større end kanten af ​​det oprindelige regulære tetraeder [89] [90] .

Reuleaux-tetraederet kan dog modificeres, så det resulterende legeme er et legeme med konstant bredde. For at gøre dette "udjævnes" den ene kant i hvert af de tre par af modstående buede kanter på en bestemt måde [90] [91] . To forskellige faste stoffer opnået på denne måde (de tre kanter, som udskiftninger finder sted på, kan tages enten udgående fra samme toppunkt eller danne en trekant [91] ) kaldes Meissner-faststoffer eller Meissner-tetraedre [89] . Hypotesen formuleret af Tommy Bonnesen og Werner Fenchel i 1934 [92] siger, at det er disse legemer, der minimerer volumen blandt alle legemer med en given konstant bredde, men (fra 2011) er denne hypotese ikke blevet bevist [93 ] [94] .

Endelig er det omdrejningslegeme , der opnås ved at rotere Reuleaux-trekanten omkring en af ​​dets symmetriakser af anden orden, et legeme med konstant bredde. Den har det mindste volumen blandt alle omdrejningslegemer med konstant bredde [90] [95] [96] .

Kommentarer

  1. ↑ Der er andre varianter af transskriptionen af ​​efternavnet Reuleaux. For eksempel kalder I. M. Yaglom og V. G. Boltyansky i bogen "Convex Figures" det "Rello-trekanten".
  2. ↑ Referencelinjen går gennem et punkt af figurens grænse uden at opdele figuren i dele.
  3. ↑ 1 2 Centrum af en Reuleaux-trekant er skæringspunktet for alle medianer , halveringslinjer og højder af dens regulære trekant.
  4. ↑ For en Reuleaux-trekant falder denne cirkel sammen med en af ​​de tre cirkler, der danner dens grænse.
  5. ↑ Dette udsagn følger af kombinationen af ​​to sætninger - det klassiske isoperimetriske problem i Dido og Barbiers sætning .
  6. ↑ Denne egenskab karakteriserer fuldt ud figurer med konstant bredde. Med andre ord vil enhver figur, som den beskrevne firkant kan "drejes" omkring, være en figur med konstant bredde.
  7. ↑ Original - "Vi har alle hørt om venstrehåndede abenøgler, pelsforede badekar, støbejernsbananer. Vi har alle klassificeret disse ting med det latterlige og nægtet at tro på, at noget lignende nogensinde kunne ske, og lige så kommer der et værktøj, der borer firkantede huller!"
  8. ↑ Med andre ord er de centrale vinkler af disse buer ens.

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 Sokolov D. D. En kurve med konstant bredde // Mathematical Encyclopedia / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 519. - 608 s. — 150.000 eksemplarer.
  2. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvekse figurer, 1951 , s. 91.
  3. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvekse figurer, 1951 , s. 90.
  4. ↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 206-207.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 Finch SR Reuleaux Trekantkonstanter // Matematiske konstanter . - Cambridge : Cambridge University Press, 2003. - P.  513-515 . — 624 s. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, bind 94). - ISBN 0-5218-1805-2 .  (Engelsk)
  6. ↑ 1 2 3 4 5 Andreev N. N. Rund Reuleaux-trekant . Matematiske studier . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  7. ↑ Pickover CA Reuleaux-trekanten // Matematikbogen: Fra Pythagoras til den 57. dimension, 250 milepæle i matematikkens historie . — New York ; London : Sterling, 2009. - S.  266-267 . — 528 s. — ISBN 1-4027-5796-4 .  (Engelsk)
  8. ↑ Månen. The Machines of Leonardo Da Vinci og Franz Reuleaux, 2007 , s. 240.
  9. ↑ 1 2 3 4 Taimina D. , Henderson D.W. Reuleaux Triangle  . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 10. maj 2012.
  10. ↑ 12 Måne . The Machines of Leonardo Da Vinci og Franz Reuleaux, 2007 , s. 241.
  11. ↑ Snyder Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance // Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. — Chicago ; London : University Of Chicago Press, 1997. - S. 40. - 384 s. — ISBN 0-2267-6747-7 .  (Engelsk)
  12. ↑ Kurve med konstant bredde // Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S.  478 . — 847 s. — 150.000 eksemplarer.
  13. ↑ WolframAlpha : Reuleaux Triangle  . wolframalpha . Wolfram Research. Hentet: 18. november 2011.  (utilgængeligt link)
  14. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 201.
  15. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 201-202.
  16. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 202-203.
  17. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 203.
  18. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 203-204.
  19. ↑ Rademacher, Toeplitz, 1962 , s. 204-206.
  20. ↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers  (tysk)  // Archiv der Mathematik. - Basel : Birkhäuser Verlag, 1955. - Bd. 6 , nr. 5 . - S. 413-416 . — ISSN 0003-889X . - doi : 10.1007/BF01900515 .
  21. ↑ Raigorodsky A. M. Borsuks problem. Universaldæk  // Matematisk uddannelse . - M . : MTSNMO , 2008. - Udgave. 12 . - S. 216 . — ISBN 978-5-94057-354-8 . Arkiveret fra originalen den 16. september 2011.
  22. ↑ 1 2 Yaglom, Boltjanskij. Konvekse figurer, 1951 , s. 92.
  23. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 127-128.
  24. ↑ Barbier E. Note sur le problème de l'aiguille et le jeu du joint couvert  (fransk)  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - Paris : Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. - Vol. 5 . - S. 273-286 . — ISSN 0021-7824 .  (utilgængeligt link)
  25. ↑ 1 2 Bogomolny A. Barbiers sætning  . Klip knuden . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  26. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 127.
  27. ↑ Eggleston. Convexity, 1958 , s. 128-129.
  28. ↑ 1 2 Berger M. Geometri = Géométrie / Pr. fra fransk Yu. N. Sudareva, A. V. Pajitnova, S. V. Chmutova. - M .: Mir , 1984. - T. 1. - S. 529-531. — 560 s.
  29. ↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts  (tysk)  // Mathematische Annalen . - Leipzig : Druck und Verlag von BG Teubner, 1915. - Bd. 76 , nr. 4 . - S. 504-513 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01458221 .
  30. ↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant  (fransk)  // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. - 1914. - Bd. 42 . - S. 72-76 . Arkiveret fra originalen den 28. november 2016.
  31. ↑ Fujiwara M. Analytisk bevis for Blaschkes sætning om kurven for konstant bredde med minimumsareal  //  Proceedings of the Imperial Academy. - Tokyo : Japan Academy, 1927. - Vol. 3 , nr. 6 . - S. 307-309 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.3.307 .
  32. ↑ Fujiwara M. Analytisk bevis for Blaschkes sætning om kurven for konstant bredde med minimumsareal, II  //  Proceedings of the Imperial Academy. - Tokyo : Japan Academy, 1931. - Vol. 7 , nr. 8 . - S. 300-302 . — ISSN 0369-9846 . doi : 10.2183 /pjab1912.7.300 .
  33. ↑ Mayer A.E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke  (tysk)  // Mathematische Annalen . - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1935. - Bd. 110 , nr. 1 . - S. 97-127 . — ISSN 0025-5831 . - doi : 10.1007/BF01448020 .
  34. ↑ Eggleston HG Et bevis på Blaschkes sætning om Reuleaux-trekanten  //  Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - S. 296-297 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.296 .
  35. ↑ Besicovitch AS Minimumsareal af et sæt konstant bredde  //  Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konveksitet) . - S. 13-14 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  36. ↑ 1 2 Chakerian GD Sets of Constant Width  // Pacific  Journal of Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. - Vol. 19 , nr. 1 . - S. 13-21 . — ISSN 0030-8730 . Arkiveret fra originalen den 4. marts 2016.
  37. ↑ Harrell EM Et direkte bevis på en teorem fra Blaschke og Lebesgue  //  Journal of Geometric Analysis. —St . Louis : Mathematica Josephina, 2002. - Vol. 12 , nr. 1 . - S. 81-88 . — ISSN 1050-6926 . - doi : 10.1007/BF02930861 . arXiv : math.MG/0009137
  38. ↑ 1 2 3 Weisstein E.W. Reuleaux Trekant  . wolfram mathworld . Hentet 6. november 2011. Arkiveret fra originalen 2. april 2019.
  39. ↑ Boltyansky V. G. Om et segments rotation  // Kvant . - M . : Nauka , 1973. - Nr. 4 . - S. 29 . — ISSN 0130-2221 . Arkiveret fra originalen den 26. november 2007.
  40. ↑ 1 2 Besicovitch AS Mål for asymmetri af konvekse kurver (II): Curves of Constant Width  //  Journal of the London Mathematical Society. - Oxford : Oxford University Press , 1951. - Vol. 26 , nr. 2 . - S. 81-93 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/jlms/s1-26.2.81 .
  41. ↑ Eggleston HG Mål for asymmetri af konvekse kurver med konstant bredde og begrænsede krumningsradier  //  Quarterly Journal of Mathematics. - London : Oxford University Press , 1952. - Vol. 3 , nr. 1 . - S. 63-72 . — ISSN 0033-5606 . - doi : 10.1093/qmath/3.1.63 .
  42. ↑ Grünbaum B. Mål for symmetri for konvekse sæt  //  Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Providence : American Mathematical Society , 1963. - Vol. 7 (Konveksitet) . - S. 233-270 . - ISBN 0-8218-1407-9 . — ISSN 0082-0717 .
  43. ↑ Groemer H., Wallen LJ A Measure of Asymmetry for Domains of Constant Width  //  Beiträge zur Algebra und Geometry / Bidrag til algebra og geometri. - Lemgo : Heldermann Verlag, 2001. - Vol. 42 , nr. 2 . - s. 517-521 . — ISSN 0138-4821 . Arkiveret fra originalen den 21. september 2015.
  44. ↑ Andreev N. N. Opfinder hjulet . Matematiske studier . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  45. ↑ 1 2 3 4 Andreev N. N. Boring af firkantede huller . Matematiske studier . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  46. ↑ Beliltsev V. Plus geometri! // Teknik og videnskab. - M . : Profizdat, 1982. - Nr. 7 . - S. 14 . — ISSN 0321-3269 .
  47. ↑ 1 2 Klee V. , Wagon S. Gamle og nye uløste problemer i plangeometri og talteori. - Washington DC : Mathematical Association of America , 1996. - S. 22. - 356 s. - (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9 .  (Engelsk)
  48. ↑ Wilson RG A066666: Decimaludvidelse af området skåret ud af en roterende Reuleaux-  trekant . OEIS . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  49. ↑ Citat fra bogen Gardner M. Matematisk fritid / Pr. fra engelsk. Yu. A. Danilova. Ed. A. Ya. Smorodinsky. - M .: Mir , 1972. - S. 292. - 496 s.
  50. ↑ 1 2 Yegupova M. Er det muligt at bore et firkantet hul?  // Videnskab og liv . - M . : ANO "Redaktionen af ​​tidsskriftet" Science and Life "", 2010. - Nr. 5 . - S. 84-85 . — ISSN 0028-1263 .
  51. ↑ Watts HJ US patent 1.241.175 (Floating Tool-Chuck  ) . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 29. november 2015.
  52. ↑ Watts HJ US patent 1.241.176 (Drill or Boring Member  ) . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 29. december 2011.
  53. ↑ Smith. Boring af firkantede huller, 1993 .
  54. ↑ Darling DJ Reuleaux Triangle // The Universal Book of Mathematics: Fra Abracadabra til Zenos paradokser . - Hoboken : Wiley, 2004. -  S. 272 - 400 s. — ISBN 0-4712-7047-4 .  (Engelsk)
  55. ↑ Morrell RJ, Gunn JA, Gore GD US patent 4.074.778 (Square Hole Drill  ) . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 28. december 2011.
  56. ↑ 1 2 Wankelmotor // Polyteknisk ordbog / Redaktion: A. Yu. Ishlinsky (chefredaktør) m.fl. - 3. udgave, revideret. og yderligere - M .: Soviet Encyclopedia , 1989. - S. 72. - 656 s. — ISBN 5-8527-0003-7 .
  57. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvekse figurer, 1951 , s. 93-94.
  58. ↑ Kulagin S.V. Clamshell-mekanisme // Photokinotechnics / Ch. udg. E. A. Iofis . - M .: Soviet Encyclopedia , 1981. - S. 71. - 447 s. — 100.000 eksemplarer.
  59. ↑ White HS The Geometry of Leonhard Euler  //  Leonhard Euler: Life, Work and Legacy / Eds. RE Bradley, C.E. Sandifer. - Amsterdam : Elsevier , 2007. - S. 309 . — ISBN 0-4445-2728-1 .
  60. ↑ Model: L01 Positiv returmekanisme med buet trekant (Model Metadata  ) . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 18. november 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  61. ↑ Model: L02 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 18. november 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  62. ↑ Model: L06 Positive Return Cam (Model Metadata  ) . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 18. november 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  63. ↑ 1 2 Model : L01 positiv returmekanisme med buet trekant  . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  64. ↑ Model : L06 Positive Return Cam  . Kinematiske modeller for design digitalt bibliotek . Cornell University . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  65. ↑ Gopey I. A. Lange & Söhne Lange 31  // Mit ur. - M . : Se litteratur, 2010. - Nr. 1 . - S. 39 . — ISSN 1681-5998 . Arkiveret fra originalen den 13. februar 2011.
  66. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 212.
  67. ↑ 1 2 3 4 Butuzov V. F. et al. Circle // Planimetri. Håndbog til dybdegående matematik . — M .: Fizmatlit , 2005. — S. 265. — 488 s. — ISBN 5-9221-0635-X . Arkiveret 18. september 2012 på Wayback Machine
  68. ↑ Kogan B. Yu. Fantastiske ruller  // Kvant . - M . : Nauka , 1971. - Nr. 3 . - S. 21-24 . — ISSN 0130-2221 . Arkiveret fra originalen den 28. marts 2012.
  69. ↑ Peterson. Mathematical Treks, 2002 , s. 143.
  70. ↑ Fina Logo Historie: fra Petrofina til Fina . total.com. Arkiveret fra originalen den 26. december 2012.
  71. ↑ Bayern . Dato for adgang: 7. maj 2019.
  72. ↑ Roland B. Fischer. M-Blems: Forklaring af logoet (PDF) 29. Miner: The Magazine of Colorado School of Mines. Bind 92 nummer 2 (forår 2002). Hentet 7. maj 2019. Arkiveret fra originalen 10. juli 2010.
  73. ↑ Midlertidig godkendelse for valgfri brug af et alternativt design til den amerikanske cykelrute (M1-9)-skilt (IA-15) - Midlertidige godkendelser udstedt af FHWA - FHWA MUTCD . mutcd.fhwa.dot.gov. Hentet 7. maj 2019. Arkiveret fra originalen 5. marts 2020.
  74. ↑ Alexey Goncharov. Flyv ind, det er billigere: Samsung S3650 Corby (ikke tilgængeligt link) . Nomobile (28. september 2009). Hentet 7. maj 2019. Arkiveret fra originalen 14. februar 2019. 
  75. ↑ Pavel Urusov. Anmeldelse af mobiltelefon Samsung S3650 Corby . GaGadget (18. januar 2010). Hentet 2. marts 2019. Arkiveret fra originalen 14. februar 2019.
  76. ↑ 1 2 Brinkworth P., Scott P. Fancy Gothic of Hauterive  . Matematikkens sted . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 5. april 2013.
  77. ↑ 1 2 Scott P. Reuleaux Trekantvindue  . Matematisk billedgalleri . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 1. maj 2013.
  78. ↑ KölnTriangle: Architecture  (engelsk)  (link ikke tilgængeligt) . KölnTriangles officielle hjemmeside . Hentet 11. oktober 2011. Arkiveret fra originalen 22. juni 2013.
  79. ↑ Anderson P. The Three Cornered Wheel  // Analog Science Fact - Science Fiction  . — New York : Condé Nast Publications, 1963/10. — Bd. LXXII , nr. 2 . - S. 50-69 .
  80. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 215-216.
  81. ↑ 1 2 Bezdek M. Om en generalisering af Blaschke-Lebesgue-sætningen for disk-polygoner  //  Bidrag til diskret matematik. - 2011. - Bd. 6 , nr. 1 . - S. 77-85 . — ISSN 1715-0868 .  (utilgængeligt link)
  82. ↑ 12 Eggleston . Convexity, 1958 , s. 128.
  83. ↑ Yaglom, Boltjanskij. Konvekse figurer, 1951 , s. 98-102.
  84. ↑ 1 2 Firey WJ Isoperimetriske forhold mellem Reuleaux-polygoner  // Pacific Journal of  Mathematics . - Berkeley : Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1960. - Vol. 10 , nej. 3 . - s. 823-829 . — ISSN 0030-8730 . Arkiveret fra originalen den 13. august 2016.
  85. ↑ Sallee GT Maksimale arealer af Reuleaux-polygoner   // Canadian Mathematical Bulletin. - Ottawa : Canadian Mathematical Society, 1970. - Vol. 13 , nr. 2 . - S. 175-179 . — ISSN 0008-4395 . - doi : 10.4153/CMB-1970-037-1 .  (utilgængeligt link)
  86. ↑ Storbritannien 20p Coin  (eng.)  (utilgængeligt link) . Officiel hjemmeside for Royal Mint of Great Britain . Hentet 6. november 2011. Arkiveret fra originalen 12. februar 2012.
  87. ↑ Storbritannien 50p  Coin . Officiel hjemmeside for Royal Mint of Great Britain . Hentet 6. november 2011. Arkiveret fra originalen 23. maj 2012.
  88. ↑ Hjul med hjørner: genopfinde hjulet . Popular Mechanics hjemmeside ( 29. maj 2009). Hentet 6. november 2011. Arkiveret fra originalen 18. oktober 2010.
  89. ↑ 1 2 Weisstein E.W. Reuleaux Tetrahedron  . wolfram mathworld . Hentet 6. november 2011. Arkiveret fra originalen 3. september 2011.
  90. ↑ 1 2 3 Kawohl B., Weber C. Meissners mystiske kroppe  //  Mathematical Intelligencer. - New York : Springer , 2011. - Vol. 33 , nr. 3 . - S. 94-101 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/s00283-011-9239-y . Arkiveret fra originalen den 13. juli 2012.
  91. ↑ 12 Gardner . The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, 1991 , s. 218.
  92. ↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1).  (Tysk)
  93. ↑ Kawohl B. Konvekse sæt af konstant bredde  //  Oberwolfach-rapporter. - Zürich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6 , nr. 1 . - S. 390-393 . Arkiveret fra originalen den 2. juni 2013.
  94. ↑ Anciaux H., Guilfoyle B. Om det tredimensionelle Blaschke-Lebesgue-problem  //  Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Vol. 139 , nr. 5 . - S. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
  95. ↑ Campi S., Colesanti A., Gronchi P. Minimumsproblemer for volumener af konvekse legemer  //  Partielle differentialligninger og anvendelser / Eds. P. Marcellini, G. Talenti, E. Visintin. - New York : Marcel Dekker, 1996. - S. 43-55 . - ISBN 0-8247-9698-5 .
  96. ↑ Anciaux H., Georgiou N. The Blaschke-Lebesgue Problem for Constant Width Bodies of  Revolution . arXiv : 0903.4284

Litteratur

På russisk

På engelsk

  • Eggleston HG sæt med konstant bredde // konveksitet. - London : Cambridge University Press, 1958. - S. 122-131. — 136 sider. - (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, bind 47). - ISBN 0-5210-7734-6 .
  • Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago ; London : University of Chicago Press, 1991. - S. 212-221. — 264 s. - ISBN 978-0-2262-8256-5 .
  • Gleißner W., Zeitler H. Reuleaux-trekanten og dens massecenter  // Results in Mathematics. - 2000. - Vol. 37, nr. 3-4 . - S. 335-344. — ISSN 1422-6383 . Arkiveret fra originalen den 4. december 2007.
  • Moon FC Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. - Dordrecht : Springer , 2007. - P. 239-241. — 451 s. - (History of Mechanism and Machine Science, bind 2). - ISBN 978-1-4020-5598-0 .
  • Peterson I. Rolling with Reuleaux // Matematiske ture: Fra surrealistiske tal til magiske cirkler. - Washington DC : Mathematical Association of America , 2002. - S. 141-144. - 180 sider. - (Spektrum-serien). - ISBN 0-8838-5537-2 .
  • Reuleaux F. Elementpar // Maskinernes kinematik. Skitser af en teori om maskiner / Tr. og udg. af Alexander BW Kennedy . - London : Macmillan og Co, 1876. - S. 86-168. — 622 s.
  • Smith S. Boring af firkantede huller  // Matematiklærer. - Reston : National Council of Teachers of Mathematics, 1993. - Vol. 86, nr. 7 . - S. 579-583. — ISSN 0025-5769 . Arkiveret fra originalen den 4. april 2005.

Links