Sfærisk trekant

En sfærisk trekant er en geometrisk figur på overfladen af en kugle , bestående af tre punkter og tre buer af storcirkler, der forbinder disse punkter i par. Tre storcirkler på overfladen af en kugle, der ikke skærer hinanden i ét punkt, danner otte kugleformede trekanter . Relationer mellem elementer i sfæriske trekanter studeres ved sfærisk trigonometri .

Siden af en sfærisk trekant måles ved værdien af den centrale vinkel baseret på den . Vinklen af en sfærisk trekant måles ved værdien af den dihedriske vinkel mellem de planer, hvori denne vinkels sider ligger. En sfærisk trekant, hvor alle sider er mindre end halvdelen af storcirklen, og vinklerne er mindre end π, kaldes Euler [1] :9 . Dernæst betragtes Euler trekanter.

Egenskaber

Ud over de tre lighedstegn for plane trekanter gælder et mere for sfæriske trekanter: to sfæriske trekanter er ens, hvis deres tilsvarende vinkler er ens [1] :16 . I euklidisk geometri er sådanne trekanter ens . I sfærisk geometri er enhver lighedstransformation isometrisk ( det vil sige, at lighedskoefficienten altid er lig med én), så i sfærisk geometri er der ingen ulige ens figurer (det vil sige figurer, der er oversat til hinanden ved en lighedstransformation).
En polær trekant for en given sfærisk trekant (ABC) er en sfærisk trekant (A'B'C'), hvis toppunkter A', B', C' er polerne på [a] i forhold til siderne BC, CA, AB , henholdsvis. I dette tilfælde ligger punkterne A og A', B og B', C og C' på samme side i forhold til henholdsvis BC, CA, AB. [3]
- For enhver polar trekant er følgende regler opfyldt: ; , hvor er vinklen og siden . $K'=\pi -k$ $k'=\pi -K$ $K=\alpha ,\beta ,\gamma$ $k=a,b,c$
- En sfærisk trekant, hvor alle sider er lig med en ret vinkel, vil være polær i forhold til sig selv.
- Den polære trekant, bygget til den polære trekant for en sfærisk en, falder sammen med den oprindelige.

For siderne i en sfærisk trekant gælder 3 trekantuligheder : hver side er mindre end summen af de to andre sider og større end deres forskel [1] :11 .

Summen af alle sider er altid mindre end [1] :11 . $a+b+c$ $2\pi$
- Størrelsen kaldes
den sfæriske defekt [4] [5] . $2\pi -(a+b+c)$

Summen af vinklerne i en sfærisk trekant er altid mindre og mere [6] [7] [1] :14—15 . $s=\alfa +\beta +\gamma$ $3\pi$ $\pi$
- Værdien kaldes
sfærisk overskud eller sfærisk kurtosis [4] . $s-\pi=\varepsilon$
Arealet af en sfærisk trekant bestemmes af formlen . Arealets proportionalitet med det sfæriske overskud følger af, at kuglen dækkes af tre digoner , der danner en kugleformet trekant. [8] [9] [1] :44 $S=R^{2}\varepsilon =R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$

Hvis vi trækker den tredje fra to vinkler i en sfærisk trekant, får vi en vinkel mindre end [1] :15 . $\pi$
I modsætning til en flad trekant kan en sfærisk trekant have to eller tre rette eller stumpe vinkler.

Løsning af sfæriske trekanter

En retvinklet sfærisk trekant er fuldstændigt defineret af to elementer, de andre tre findes ved hjælp af Napiers mnemoniske regel . Og for at løse en skrå sfærisk trekant skal du kende tre af dens elementer. For at løse, kan du bruge følgende relationer mellem dem [1] :102-139 :

Halvsideformel og halvvinkelformel - ved løsning på tre sider og tre vinkler;
Napiers analogiformler - når man løser på to sider og vinklen mellem dem og på to vinkler og den side, der støder op til dem;
Sinussætningen og Napiers analogiformler - når man løser på to sider og vinklen modsat en af dem og på to vinkler og siden modsat en af dem.

Kommentarer

↑ En pol i forhold til AB er et punkt X af kuglen, således at segmentet OX (her er O centrum af kuglen) er vinkelret på planet af storcirklen AB. [2] Der er to sådanne punkter. For eksempel, hvis AB er ækvatorbuen, så er AB's poler nord- og sydpolen.

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Stepanov N. N. Sfærisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 521.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 530.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. — M .: Nauka, 1974.
↑ Kugleformet trekant
↑ Artikel arkiveret 23. september 2013 på Wayback Machine in Advances in the Physical Sciences
↑ Weisstein, Eric W. Spherical Triangle hos Wolfram MathWorld .
↑ Wentzel M. K. Sfærisk trigonometri. - 2. udg., IGKL, 1948, 115 s. (tilgængelig på bookfi.org ). For et strengt bevis på, at arealet er proportionalt med det sfæriske overskud, se s. 82
↑ Vasiliev N., Gutenmakher V. Summen af vinklerne af en sfærisk polygon Arkivkopi af 5. februar 2018 på Wayback Machine // Kvant , nr. 2, 1988

Litteratur

Prasolov VV Lobachevskys geometri. - M. , 1995.(§ 1. Sfærisk geometri.)
Grundlæggende begreber for sfærisk geometri og trigonometri // Encyclopedia of elementary mathematics. - Fizmatgiz, 1963. - V. 4 (geometri) . - S. 518-558 .

Links

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Britannica (online)

Sfærisk trigonometri
Basale koncepter	sfærisk trekant polar trekant Overskydende Bigon
Formler og forhold	Cosinussætninger Sinus-sætning Formel med fem elementer Halvsideformel Napiers mnemoniske regel Sfærisk Pythagoras sætning Delambre formler Napiers analogi formler Legendres sætning Løsning af trekanter
relaterede emner	Sfærisk koordinatsystem sfærisk geometri trihedral vinkel