Trekant median

Medianen af en trekant ( lat. mediana - midten) er et segment, der forbinder trekantens toppunkt med midtpunktet på den modsatte side. Nogle gange kaldes medianen også for den linje, der indeholder dette segment. Skæringspunktet mellem medianen og siden af trekanten kaldes bunden af medianen .

Relaterede definitioner

Medianernes skæringspunkt deler hver median i to segmenter. Segmentet fra toppunktet til skæringspunktet kaldes præmedianen , og segmentet fra skæringspunktet til den modsatte side er postmedianen . [1] Især kan vi sige, at i enhver trekant er forholdet mellem præmedian og postmedian lig med to .

Egenskaber

Hovedejendom

Alle tre medianer af en trekant skærer hinanden i et punkt , som kaldes trekantens tyngdepunkt eller tyngdepunkt , og deles af dette punkt i to dele i forholdet 2: 1, tællet fra toppen.

Egenskaber for medianerne af en ligebenet trekant

I en ligebenet trekant er to medianer trukket til de lige sider af trekanten lige store, og den tredje median er både halveringslinjen og højden . Det omvendte er også sandt: Hvis to medianer i en trekant er lige store, så er trekanten ligebenet, og den tredje median er både halveringslinjen og højden af vinklen ved dens spids.

I en ligesidet trekant er alle tre medianer lige store.

Egenskaber for baserne for medianer

Eulers sætning for en cirkel med ni punkter : baserne for de tre højder af en vilkårlig trekant, midtpunkterne på dens tre sider ( baserne af dens medianer ) og midtpunkterne af de tre segmenter, der forbinder dens toppunkter med ortocentret , alle ligger på den samme cirkel (den såkaldte cirkel med ni punkter ).
Det segment, der trækkes gennem baserne af en hvilken som helst to medianer i en trekant, er dens midterlinje . Midtlinjen i en trekant er altid parallel med den side af trekanten, som den ikke har fælles punkter med.
- Følge ( Thales' sætning om parallelle segmenter). Midtlinjen i en trekant er halvdelen af længden af den side af trekanten, som den er parallel med.
Terkem beviste Terkems sætning . [2] Hun siger, at hvis en cirkel med ni punkter skærer siderne af en trekant eller deres forlængelser i 3 par punkter (i 3 baser henholdsvis højder og medianer), som er basen af 3 par cevianer, så hvis 3 cevianer for 3 af disse baser skærer hinanden ved 1 punkt (f.eks. skærer 3 medianer hinanden ved 1 punkt), så skærer 3 cevianer for 3 andre baser også hinanden ved 1 punkt (det vil sige, at 3 højder også skal skære hinanden ved 1 punkt).

Andre egenskaber

Hvis en trekant er skala ( ikke- ligesidet ), så ligger dens halveringslinje trukket fra et hvilket som helst toppunkt mellem medianen og højden tegnet fra samme toppunkt.
Medianen deler trekanten i to lige store trekanter (i areal).
En trekant er opdelt med tre medianer i seks trekanter med lige areal. Centrene for de omskrevne cirkler af disse seks trekanter ligger på den samme cirkel, som kaldes Lamuns cirkel .
Fra segmenterne, der danner medianerne, kan du lave en trekant, hvis areal vil være lig med 3/4 af hele trekanten. Medianlængderne opfylder trekantsuligheden .
I en retvinklet trekant er medianen trukket fra et toppunkt med en ret vinkel halvdelen af hypotenusen.
Den længere side af trekanten svarer til den mindre median.
Et lige linjestykke, der er symmetrisk eller isogonalt konjugeret med den indre median i forhold til den indre halveringslinje, kaldes trekantens symmedian . Tre simedianer passerer gennem et punkt - Lemoine-punktet .
Medianen af en vinkel i en trekant er isotomisk konjugeret med sig selv.

Den trilineære polar af tyngdepunktet (skæringspunkter for tre medianer) er en ret linje i det uendelige (se fig.).

Grundlæggende forhold

For at beregne længden af medianen, når længderne af trekantens sider er kendt, anvendes Apollonius-sætningen (afledt gennem Stewart-sætningen eller ved at udvide til et parallelogram og bruge ligheden i parallelogrammet af kvadratsummen af siderne og summen af kvadraterne af diagonalerne):

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},

hvor er henholdsvis medianerne til siderne af trekanten .

{\displaystyle m_{a},\ m_{b},\ m_{c))

a,\ b,\ c

Især summen af kvadraterne af medianerne af en vilkårlig trekant er 3/4 af summen af kvadraterne på dens sider:

m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac 34}(a^{2}+b^{2}+c^{2} )

Omvendt kan man udtrykke længden af en vilkårlig side af en trekant i form af medianer:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}} ,

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} ,

hvor er medianerne til trekantens tilsvarende sider, er trekantens sider.

m_{a},m_{b},m_{c}

a,b,c

Arealet af enhver trekant, udtrykt i længden af dens medianer: $S$

S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) ) ,

hvor er halvdelen af summen af længderne af medianerne.

\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2

Variationer og generaliseringer

Ceviana er et linjestykke i en trekant , der forbinder trekantens toppunkt med et punkt på den modsatte side.

Se også

Noter

↑ Starikov V.N. 10. undersøgelse om geometri (§ Før- (før-)- og post-Cevians) // Videnskabeligt peer-reviewed elektronisk tidsskrift fra Moscow State Agrarian University "Science and Education". 2020. Nr. 1. 7 s.// http://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/ 1604
↑ Dmitry Efremov . Ny Triangle Geometry Arkiveret 25. februar 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 16.

Litteratur

Efremov Dm. Trekantens nye geometri , 1902.

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex