Hovedakse

Halv -hovedaksen  er en af ​​de vigtigste geometriske parametre for objekter dannet ved hjælp af et keglesnit.

Ellipse

En ellipses hovedakse er dens største diameter - et segment, der passerer gennem midten og to brændpunkter. Den semi-hovedakse er halvdelen af ​​denne afstand og løber fra midten af ​​ellipsen gennem fokus til dens kant.

I en vinkel på 90 ° til den store halvakse er den mindre halvakse placeret - den mindste afstand fra midten af ​​ellipsen til dens kant. I et særligt tilfælde af en ellipse - en cirkel - er de store og mindre halvakser lige store og er radier. Således kan man betragte de store og små halvakser som en slags ellipseradier.

Længden af ​​den semi-hovedakse er relateret til længden af ​​den mindre halvakse gennem excentricitet , brændvidde og brændvidde (halv afstand mellem brændpunkter) som følger:

Den semi-hovedakse er det aritmetiske middelværdi mellem afstandene fra ethvert punkt på ellipsen til dens brændpunkter.

I betragtning af ligningen i polære koordinater , med et punkt ved oprindelsen (polen) og en stråle, der starter fra det punkt (polæraksen):

Vi får gennemsnitsværdierne og og den semi-hovedakse

Parabel

En parabel kan opnås som grænsen for en sekvens af ellipser, hvor det ene fokus forbliver konstant, og det andet trækkes tilbage til det uendelige, hvilket holder det konstant. Således, og tendens til uendelig, og hurtigere end .

Hyperbole

Hyperbelens semi -hovedakse er halvdelen af ​​den mindste afstand mellem hyperbelens to grene på de positive og negative sider af aksen (venstre og højre i forhold til origo). For en gren placeret på den positive side vil halvaksen være lig med:

Hvis vi udtrykker det i form af keglesnit og excentricitet, vil udtrykket have formen:

.

Linjen, der indeholder hyperbelens hovedakse, kaldes hyperbelens tværakse . [en]

Astronomi

Omløbsperiode

I himmelmekanik beregnes omløbsperioden for små legemer i en elliptisk eller cirkulær bane omkring et større centralt legeme ved formlen:

hvor:

 er størrelsen af ​​kredsløbets semi-hovedakse  er standardgravitationsparameteren (produktet af gravitationskonstanten og objektets masse )

Det skal bemærkes, at i denne formel, for alle ellipser, er omdrejningsperioden bestemt af værdien af ​​den semi-hovedakse, uanset excentriciteten.

Inden for astronomi er semi-hovedaksen sammen med omløbsperioden et af de vigtigste orbitale elementer i et kosmisk legemes kredsløb.

For objekter i solsystemet er semi- hovedaksen relateret til omløbsperioden ved Keplers tredje lov .

hvor:

 er omløbsperioden i år;  er semi-hovedaksen i astronomiske enheder .

Dette udtryk er et specialtilfælde af den generelle løsning af Isaac Newtons to-kropsproblem :

hvor:

 er gravitationskonstanten  er massen af ​​det centrale legeme  er massen af ​​satellitten, der kredser omkring den. Som regel er satellittens masse så lille i forhold til den centrale krops masse, at den kan negligeres. Derfor, efter at have foretaget passende forenklinger i denne formel, opnår vi denne formel i en forenklet form, som er givet ovenfor.

Satellittens kredsløb omkring massecentret (barycenter), der er fælles med det centrale legeme, er en ellipse. Den semi-hovedakse bruges altid i astronomi i forhold til den gennemsnitlige afstand mellem planeten og stjernen, som et resultat heraf er kredsløbene for planeterne i solsystemet givet til det heliocentriske system og ikke til bevægelsessystemet omkring massens centrum. Denne forskel kan bedst illustreres ved eksemplet med Jord-Måne-systemet. Masseforholdet i dette tilfælde er 81,30059. Halv- hovedaksen i Månens geocentriske bane er 384.400 km , mens afstanden til Månen i forhold til Jord-Måne-systemets massecenter er 379.730 km  - på grund af indflydelsen fra Månens masse, massecentrum er ikke i jordens centrum, men i en afstand af 4670 km derfra. Som følge heraf er Månens gennemsnitlige omløbshastighed i forhold til massecentret 1,010 km/s, og Jordens gennemsnitshastighed er 0,012 km/s. Summen af ​​disse hastigheder giver Månens omløbshastighed på 1,022 km/s; den samme værdi kan opnås ved at betragte Månens bevægelse i forhold til Jordens centrum, snarere end massecentret.

Gennemsnitlig afstand

Det siges ofte, at semi-hovedaksen er den gennemsnitlige afstand mellem det centrale og kredsende legeme. Dette er ikke helt sandt, da den gennemsnitlige afstand kan forstås som forskellige værdier - afhængigt af den værdi, som gennemsnittet er lavet af:

Energi; beregning af semi-hovedaksen ved metoden med tilstandsvektorer

I himmelmekanik kan semi- hovedaksen beregnes ved metoden med orbitaltilstandsvektorer :

for elliptiske baner

for hyperbolsk bane

og

( specifik orbital energi )

og

( standard gravitationsparameter ), hvor:

 er satellittens kredsløbshastighed baseret på hastighedsvektoren ,  - satellittens positionsvektor i referencerammens koordinater, som elementerne i kredsløbet skal beregnes i forhold til (f.eks. geocentrisk i ækvatorialplanet - i kredsløb om Jorden, eller heliocentrisk i det ekliptiske plan - i kredsløb om Solen),  er gravitationskonstanten , og  er kroppens masser.

Den semi-hovedakse beregnes ud fra den samlede masse og specifik energi, uanset værdien af ​​den orbitale excentricitet.

Store og mindre halvakser af planetbaner

Planeternes kredsløb er altid givet som gode eksempler på ellipser ( Keplers første lov ). Den minimale forskel mellem de store og små halvakser viser dog, at de er praktisk talt cirkulære i udseende. Denne forskel (eller forhold) er baseret på excentriciteten og beregnes som , hvilket giver meget små værdier for typiske planetariske excentriciteter. Årsagen til antagelsen om en betydelig ellipticitet af banerne ligger sandsynligvis i den meget større forskel mellem aphelion og perihelion. Denne forskel (eller forhold) er også baseret på excentriciteten og beregnes som . På grund af den store forskel mellem aphelion og perihelion er Keplers anden lov let at afbilde grafisk.

Excentricitet Halvhovedakse a ( a.u. ) Semi-molakse b ( au ) Forskel (%) Perihel ( a.u. ) Aphelios ( a.e. ) Forskel (%)
Merkur 0,206 0,38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52
Venus 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1.4
jorden 0,017 1.00000 0,99986 0,014 0,983 1,017 3.5
Mars 0,093 1,52400 1,51740 0,44 1.382 1,666 21
Jupiter 0,049 5,20440 5.19820 0,12 4.950 5.459 ti
Saturn 0,057 9,58260 9,56730 0,16 9,041 10.124 12
Uranus 0,046 19.21840 19.19770 0,11 18.330 20.110 9.7
Neptun 0,010 30,11000 30,10870 0,004 29.820 30.400 1.9

Se også

Noter

  1. 7.1 Alternativ karakterisering . Hentet 15. september 2010. Arkiveret fra originalen 24. oktober 2018.

Links