Figur areal

Arealet af en flad figur er en additiv numerisk karakteristik af en figur , der udelukkende tilhører et plan . I det enkleste tilfælde, når figuren kan opdeles i et endeligt sæt enhedskvadrater , er arealet lig med antallet af kvadrater.

Om definitionen

En formel introduktion af begrebet areal og volumen kan findes i artiklen Jordan måle , her giver vi kun en opridsning af definitionen med kommentarer.

Arealet er en funktion med reel værdi defineret på en bestemt klasse af figurer i det euklidiske plan og som opfylder fire betingelser:

Positivt - området er ikke-negativt;
Normalisering - en firkant med en side af enhed har et areal på 1;
Kongruens - kongruente figurer har lige stort areal;
Additivitet - arealet af foreningen af to figurer uden fælles indre punkter er lig med summen af arealerne.

I dette tilfælde skal en bestemt klasse være lukket med hensyn til skæring og forening, såvel som med hensyn til planbevægelser, og inkludere alle polygoner . Af disse aksiomer følger områdets monotonitet , dvs.

Hvis en figur tilhører en anden figur, så overstiger arealet af den første ikke arealet af den anden:

Oftest tages et sæt kvadratfigurer for en "vis klasse" . En figur siges at være kvadratisk, hvis der for nogen eksisterer et par polygoner og , sådan at og , hvor betegner området . $F$ $\varepsilon >0$ $P$ $Q$ $P\undersæt F\undersæt Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Eksempler på kvadratiske figurer

polygoner;
enhver figur afgrænset af en retificerbar kurve , især en cirkel;
en figur afgrænset af et Koch-snefnug , selvom dens grænse ikke kan rettes.

Relaterede definitioner

To figurer kaldes lige , hvis de har samme areal.

Kommentarer

Der er en matematisk streng, men tvetydig måde at bestemme arealet for alle afgrænsede delmængder af planet. Det vil sige, at på sættet af alle afgrænsede delmængder af planet er der forskellige arealfunktioner, der opfylder ovenstående aksiomer, og sættet af kvadratiske figurer er det maksimale sæt af figurer, hvorpå arealet er entydigt bestemt.
- Det samme kan gøres for længde på en lige linje, men ikke for volumen i det euklidiske rum , og heller ikke for areal på en enhedssfære i det euklidiske rum (se hhv . kuglefordoblingsparadokset og Hausdorffs paradoks ).

Formler

Figur	Formel	Kommentar
retvinklet trekant	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}{\cdot }a^{2}$	$-en$ er længden af trekantens side.
Trekant	${\sqrt {p{\cdot }(pa){\cdot }(pb){\cdot }(pc)))$	Herons formel . er semiperimeteren , , og er længderne af trekantens sider. $s$ $-en$ $b$ $c$
Trekant	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }\sin \gamma$	$-en$ og er trekantens to sider, og er vinklen mellem dem. $b$ $\gamma$
Trekant	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }b{\cdot }h$	$b$ og - trekantens side og højden tegnet til denne side. $h$
Firkant	$a^2$	$-en$ er længden af kvadratets side.
Rektangel	$a{\cdot }b$	$-en$ og er længderne af rektanglets sider. $b$
Rhombus	$a^{2}{\cdot }\sin \alpha ,{\tfrac {1}{2}}bc$	$-en$ - side af romben, - indre vinkel, - diagonaler . $\alfa$ $b,c$
Parallelogram	$b{\cdot }h$	$b$ - længden af en af siderne af parallelogrammet, og - højden tegnet til denne side. $h$
Trapeze	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }(a+b){\cdot }h$	$-en$ og er længderne af parallelle sider, og er afstanden mellem dem (højde). $b$ $h$
Firkantet	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }m{\cdot }n{\cdot }\sin \phi$	$n$ og er længderne af diagonalerne, og er vinklen mellem dem. $m$ $\phi$
Regelmæssig sekskant	${\tfrac {3{\cdot }{\sqrt {3}}}{2}}{\cdot }a^{2}$	$-en$ er længden af siden af sekskanten.
Regelmæssig ottekant	$2{\cdot }(1+{\sqrt {2))){\cdot }a^{2}$	$-en$ er længden af ottekantens side.
regulær polygon	${\frac {n{\cdot}a^{2}}{4{\cdot }\tan(\pi /n)))$	$-en$ er længden af siden af polygonen, og er antallet af sider af polygonen. $n$
regulær polygon	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }a{\cdot }p$	$-en$ er apotemet (eller radius af cirklen indskrevet i polygonen), og er polygonens omkreds. $s$
Vilkårlig polygon	${1 \over 2}\left\|\sum _{i=0}^{n-1}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i} &y_{i+1}\end{pmatrix}}\right\|$	Gauss område formel . er koordinaterne for hjørnerne af -gon, $(x_{i},y_{i})$ $n$ $(x_{n},y_{n})=(x_{0},y_{0})$
En cirkel	${\displaystyle \pi {\cdot }r^{2))$ eller ${\frac {\pi {\cdot }d^{2}}{4}}$	$r$ er cirklens radius og er dens diameter. $d$
cirkel sektor	${\tfrac {1}{2}}{\cdot }r^{2}{\cdot }\theta$	$r$ og er henholdsvis sektorens radius og vinkel (i radianer ). $\theta$
Ellipse	$\pi {\cdot }a{\cdot }b$	$-en$ og er ellipsens store og mindre halvakser. $b$

Se også

Celle forsvinden
Borel mål
Jordan foranstaltning
Lebesgue mål
Orienteret område
Firkant
Overfladeareal
Bolyai-Gerwin-sætning om ækvikonstituenten af polygoner med lige areal
Trekant om arealer af trekanter
Firkant om arealer af firkanter

Litteratur

V. Boltyansky , om begreberne areal og volumen. Arkiveret 5. maj 2017 på Wayback Machine Kvant , nr. 5, 1977
B. P. Heidman , Areas of polygons Arkiveret 10. juni 2017 på Wayback Machine , Mathematical Education Library , Issue 16, (2002).
§§ 244-276 i A. P. Kiselev, Geometri ifølge Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Længde, areal, volumen. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
V. A. Rokhlin , Area and Volume Archived April 11, 2021 at the Wayback Machine , Encyclopedia of Elementary Mathematics, Bog 5, Geometry, redigeret af P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich og A. Ya. Khinchin.