Trekant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. januar 2022; checks kræver 35 redigeringer .

Trekant

ribben	3
Schläfli symbol	{3}
Mediefiler på Wikimedia Commons

En trekant (i det euklidiske rum ) er en geometrisk figur dannet af tre segmenter , der forbinder tre punkter, der ikke ligger på én lige linje . Disse tre punkter kaldes trekantens hjørner , og segmenterne kaldes trekantens sider . Den del af planet, der er afgrænset af siderne, kaldes trekantens indre : ofte betragtes trekanten sammen med dens indre (for eksempel for at definere begrebet areal) [1] .

Siderne i en trekant danner tre vinkler i spidserne af en trekant , så en trekant kan også defineres som en polygon , der har præcis tre vinkler [2] , dvs. som en del af et plan afgrænset af tre segmenter, der forbinder tre punkter, der ikke ligger på en lige linje. Trekanten er en af de vigtigste geometriske figurer, der er meget udbredt i videnskab og teknologi, så undersøgelsen af dens egenskaber er blevet udført siden oldtiden.

Begrebet en trekant indrømmer forskellige generaliseringer. Du kan definere dette begreb i ikke-euklidisk geometri (for eksempel på en kugle ): på sådanne overflader er en trekant defineret som tre punkter forbundet med geodetik . I dimensionel geometri er analogen til en trekant den -te dimensionelle simplex . $n$ $n$

Nogle gange betragtes en degenereret trekant, hvis tre toppunkter ligger på den samme rette linje. Medmindre andet er angivet, antages trekanten i denne artikel at være ikke-degenereret.

Grundlæggende elementer i trekanten

Hjørner, sider, hjørner

Traditionelt er hjørnerne i en trekant angivet med store bogstaver i det latinske alfabet: , og siderne modsat dem - med de samme små bogstaver (se figur). En trekant med hjørner , og er betegnet som . Sider kan også betegnes med bogstaverne i deres afgrænsende hjørner: , , . $A,B,C$ $EN$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

Trekanten har følgende vinkler: $\Delta ABC$

vinkel - vinklen dannet af siderne og og modsat siden ; $\vinkel A=\vinkel BAC$ $AB$ $AC$ $f.Kr$
vinkel - vinklen dannet af siderne og og modsat siden ; $\vinkel B=\vinkel ABC$ $AB$ $f.Kr$ $AC$
vinkel - den vinkel, der dannes af siderne og og modsat siden . $\vinkel C=\vinkel ACB$ $f.Kr$ $AC$ $AB$

Værdierne af vinklerne ved de tilsvarende toppunkter er traditionelt angivet med græske bogstaver ( , , ). $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

Den ydre vinkel af en flad trekant ved et givet toppunkt er den vinkel, der støder op til trekantens indre vinkel ved dette toppunkt (se figur). Hvis den indre vinkel ved et givet toppunkt i en trekant er dannet af to sider, der kommer ud fra et givet toppunkt, så dannes den udvendige vinkel af en trekant af den ene side, der kommer ud af et givent toppunkt, og fortsættelsen af den anden side, der kommer ud fra samme toppunkt. Det ydre hjørne kan tage værdier fra til . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\cirkel }$

Omkredsen af en trekant er summen af længderne af dens tre sider, og halvdelen af denne værdi kaldes semiperimeter .

Klassificering af trekanter

Ved størrelsen af vinklerne

Da summen af vinklerne i en trekant i euklidisk geometri er , så skal mindst to vinkler i trekanten være spids (mindre end ). Der er følgende typer trekanter [2] . $180^{\cirkel }$ $90^{\cirkel }$

Hvis alle vinkler i en trekant er spidse, så kaldes trekanten spids .
Hvis en af vinklerne i trekanten er lige (lig ), kaldes trekanten retvinklet . De to sider, der danner en ret vinkel, kaldes benene , og siden modsat den rette vinkel kaldes hypotenusen . $90^{\cirkel }$
Hvis en af vinklerne i trekanten er stump (større end ), så kaldes trekanten stump . De resterende to vinkler er naturligvis spidse (der kan ikke være trekanter med to stumpe eller rette vinkler). $90^{\cirkel }$

Ved antallet af lige store sider

En trekant kaldes scalene, hvis alle tre sider ikke er lige store.
En ligebenet trekant er en, hvor to sider er lige store. Disse sider kaldes side , den tredje side kaldes base . I en ligebenet trekant er vinklerne ved bunden ens.
En ligesidet eller retvinklet trekant kaldes, hvor alle tre sider er lige store. I en ligesidet trekant er alle vinkler lig med 60 °, og centrene for de indskrevne og omskrevne cirkler falder sammen . En ligesidet trekant er et specialtilfælde af en ligebenet trekant.

Medianer, højder, halveringslinjer

Medianen af en trekant tegnet fra et givet toppunkt er det segment, der forbinder dette toppunkt til midtpunktet af den modsatte side (grundlaget for medianen). Alle tre medianer af en trekant skærer hinanden i et punkt. Dette skæringspunkt kaldes trekantens tyngdepunkt eller tyngdepunkt. Efternavnet skyldes, at en trekant lavet af et homogent materiale har et tyngdepunkt i skæringspunktet mellem medianerne. Tyngdepunktet deler hver median 1:2 fra bunden af medianen. En trekant med toppunkter i midtpunkterne af medianerne kaldes mediantrekanten . Baserne af medianerne i en given trekant danner den såkaldte komplementære trekant . Længden af medianensænket til sidenkan findes ved formlerne: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

tilsvarende for andre medianer.

Højde i trekanter af forskellige typer
Højderne skærer hinanden ved ortocentret

Højden af en trekant tegnet fra et givet toppunkt kaldes vinkelret faldet fra dette toppunkt til den modsatte side eller dens fortsættelse. De tre højder af en trekant skærer hinanden i et punkt, kaldet trekantens orthocenter . En trekant med toppunkter i højdernes basis kaldes en ortotrekant .

Længden af højden sænket til siden kan findes ved formlerne: $h_{c}$ $c$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; lignende for andre højder.

Højdernes længder sænket til siderne. kan også findes ved hjælp af formlerne: [3] :s.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Halveringspunktet ( halveringslinjen ) i en trekant tegnet fra et givet toppunkt er et segment, der forbinder dette toppunkt med et punkt på den modsatte side og deler vinklen ved det givne toppunkt i to. Halveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i et punkt, og det punkt er det samme som midten af den indskrevne cirkel ( incenter ).

Hvis trekanten er skala (ikke ligebenet), så ligger halveringslinjen tegnet fra et hvilket som helst af dets hjørner mellem medianen og højden trukket fra samme toppunkt. En anden vigtig egenskab ved halveringslinjen: den deler den modsatte side i dele, der er proportionale med siderne, der støder op til den [4] .

Længden af halveringslinjen sænket til siden kan findes ved en af formlerne: $l_{c}$ $c$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, hvor er halvperimeteren af .

s

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

; her er højden.

h_{c}

Højden, medianen og halveringslinjen af en ligebenet trekant, sænket til basen, er den samme. Det omvendte er også sandt: Hvis halveringslinjen, medianen og højden tegnet fra et toppunkt er ens, så er trekanten ligebenet.

Omskrevne og indskrevne cirkler

Den omskrevne cirkel (se figuren til højre) er en cirkel, der går gennem alle tre hjørner af trekanten. Den omskrevne cirkel er altid unik, dens centrum falder sammen med skæringspunktet mellem vinkelrette sider på trekantens sider, tegnet gennem sidernes midtpunkter. I en stump trekant ligger dette centrum uden for trekanten [4] .

Den indskrevne cirkel (se figuren til højre) er en cirkel, der tangerer alle tre sider af trekanten. Hun er den eneste. Centrum af den indskrevne cirkel kaldes incenter , det falder sammen med skæringspunktet for trekantens halveringslinjer.

Følgende formler giver dig mulighed for at beregne radierne af de omskrevne og indskrevne cirkler. $R$ $r$

r={S \over p},

hvor er trekantens areal og er dens halvperimeter .

S

s

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {c}}}

hvor er radierne af de tilsvarende cirkler ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Yderligere to nyttige forhold:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Der er også Carnot-formlen [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

hvor , , er afstandene fra midten af den omskrevne cirkel , henholdsvis til siderne , , af trekanten, , , er afstandene fra henholdsvis orthocenteret , til trekantens hjørner , , . ${\displaystyle k_{a))$ ${\displaystyle k_{b))$ ${\displaystyle k_{c))$ $-en$ $b$ $c$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $EN$ $B$ $C$

Afstanden fra midten af den omskrevne cirkel , for eksempel, til siden af trekanten er: $-en$

k_{a}=a/(2\operatørnavn {tg} A)

;

afstanden fra ortocenteret , for eksempel, til trekantens toppunkt er: $EN$

d_{A}=a/\operatørnavn {tg} A

Tegn på lige store trekanter

En trekant på det euklidiske plan kan defineres entydigt (op til kongruens ) af følgende trillinger af grundelementer: [7]

$-en$ , , (lighed på to sider og vinklen mellem dem); $b$ $\gamma$
$-en$ , , (lighed i side og to tilstødende vinkler); $\beta$ $\gamma$
$-en$ , , (lighed på tre sider). $b$ $c$

Tegn på lighed af retvinklede trekanter:

langs benet og hypotenusen;
på to ben;
langs benet og spids vinkel;
hypotenus og spids vinkel.

Yderligere egenskab: trekanter er ens, hvis de har to sider og en vinkel modsat den største af disse sider [8] .

I sfærisk geometri og i Lobachevskys geometri er der et tegn på, at trekanter er lige store i tre vinkler.

Tegn på lighed mellem trekanter

Grundlæggende egenskaber for trekantelementer

Hjørneegenskaber

I enhver trekant ligger en større vinkel modsat den større side og omvendt. Lige vinkler ligger mod lige sider [8] .

Hver ydre vinkel i en trekant er lig med forskellen mellem 180° og den tilsvarende indre vinkel. For en ydre vinkel gælder trekantens ydre vinkelsætning også : en ydre vinkel er lig med summen af to andre indre vinkler, der ikke støder op til den [8] .

Trekantuligheden

I en ikke-degenereret trekant er summen af længderne af dens to sider større end længden af den tredje side; i en degenereret en er den lig. Med andre ord er længderne af siderne i en ikke-degenereret trekant forbundet med følgende uligheder:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Yderligere egenskab: hver side af trekanten er større end forskellen på de to andre sider [8] .

Trekantsumsætning

Summen af de indre vinkler i en trekant er altid 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

I Lobachevsky geometri er summen af vinklerne i en trekant altid mindre end 180°, mens den på en kugle altid er større.

Sinus-sætning

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

hvor er radius af cirklen omskrevet omkring trekanten. $R$

Cosinussætning

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Det er en generalisering af Pythagoras sætning .

Bemærkning . cosinussætningen kaldes også for følgende to formler, let udledt af cosinussætningen (se s. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

Projektionssætningen

Kilde: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Tangentsætning

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatørnavn {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatørnavn {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operatørnavn {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operatørnavn {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\operatørnavn {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\operatørnavn {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Et andet navn: Regiomontanus formel .

Cotangenssætning

{\frac {pa}{\operatørnavn {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatørnavn {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\operatørnavn {ctg} (\gamma /2)}}=r

Mollweides formler

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Løsning af trekanter

Beregningen af ukendte sider, vinkler og andre karakteristika for en trekant fra kendte er historisk blevet kaldt " trekantløsning ". Dette bruger ovenstående generelle trigonometriske sætninger, såvel som tegn på lighed og lighed mellem trekanter .

Areal af en trekant

Dernæst bruger vi notationen

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - højder tegnet til siderne , $\ a,b,c$
$\m$ - median fra vinklens toppunkt med sider $\a,b,$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - semi-perimeter,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ er radius af den indskrevne cirkel ,
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$ er radierne af cirklen, der tangerer siderne , $\ a,b,c$
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ er radius af den omskrevne cirkel .

Arealet af en trekant er relateret til dets hovedelementer ved følgende forhold.

$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Herons formel
${\displaystyle S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b))$ [elleve]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))$ [12]
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operatørnavn {ctg} \alpha +\operatørnavn {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ er det orienterede område af trekanten.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\right)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 }{h_{c}}}\right)}}}}}$ - se Analoger af Herons formel
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operatørnavn {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operatørnavn {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\operatørnavn {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Særlige tilfælde

$S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2))$ - for en retvinklet trekant
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - for en ligesidet trekant

Andre formler

Der er andre formler, såsom [13]

S={\frac {\operatørnavn {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

til hjørne . ${\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ ))$

I 1885 foreslog Baker [14] en liste med over hundrede formler for arealet af en trekant. Det omfatter især:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Uligheder for arealet af en trekant

Følgende uligheder gælder for området:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , og begge ligheder er opnået.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , hvor der opnås lighed for en ligebenet retvinklet trekant.
Arealet af en trekant med omkreds mindre end eller lig med . Ligestilling opnås hvis og kun hvis trekanten er ligesidet ( regulær trekant ) [15] [16] :657 . $s$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
Andre grænser for området er givet af formlerne [17] :s.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

og ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

hvor der i begge tilfælde opnås lighed, hvis og kun hvis trekanten er ligesidet (regulær).

Studiehistorie

Egenskaberne af en trekant studeret i skolen, med sjældne undtagelser, har været kendt siden den tidlige oldtid. Begyndelsen til trigonometrisk viden kan findes i de matematiske manuskripter fra det gamle Egypten , Babylon og det gamle Kina . Den vigtigste bedrift i denne periode var forholdet, som senere fik navnet Pythagoras sætning ; Van der Waerden mener, at babylonierne opdagede det mellem 2000 og 1786 f.Kr. e. [atten]

En generel og ret komplet teori om trekanters geometri (både flade og sfæriske ) dukkede op i det antikke Grækenland [19] . Især i den anden bog " Beginnings " er Euklids sætning 12 en verbal analog til cosinussætningen for stumpe trekanter [20] . Sætning 13 efter den er en variant af cosinussætningen for spidse trekanter . Egenskaberne af elementerne i trekanter (vinkler, sider, halveringslinjer osv.) efter Euklid blev behandlet af Arkimedes , Menelaos , Claudius Ptolemæus , Pappus af Alexandria [21] .

I det IV århundrede, efter tilbagegangen af den antikke videnskab, flyttede centrum for udvikling af matematik til Indien. Indiske matematikeres ( siddhantas ) skrifter viser, at deres forfattere var godt bekendt med græske astronomers og geometres værker [22] . Indianerne var lidt interesserede i ren geometri, men deres bidrag til anvendt astronomi og de beregningsmæssige aspekter af trigonometri er meget betydningsfuldt.

I det 8. århundrede stiftede videnskabsmænd fra landene i Nær- og Mellemøsten bekendtskab med værker af antikke græske og indiske matematikere og astronomer. Deres astronomiske afhandlinger, analoge med de indiske siddhantas, blev kaldt " ziji "; en typisk zij var en samling af astronomiske og trigonometriske tabeller, forsynet med en guide til deres brug og (ikke altid) et resumé af den generelle teori [23] . Sammenligning af zijs fra perioden i det 8.-13. århundrede viser den hurtige udvikling af trigonometrisk viden. De tidligste overlevende værker tilhører al-Khwarizmi og al-Marvazi (9. århundrede).

Thabit ibn Qurra (9. århundrede) og al-Battani (10. århundrede) var de første til at opdage den grundlæggende sinussætning for det særlige tilfælde af en retvinklet sfærisk trekant . For en vilkårlig sfærisk trekant blev beviset fundet (på forskellige måder og sandsynligvis uafhængigt af hinanden) af Abu-l-Vafa , al-Khujandi og ibn Irak i slutningen af det 10. århundrede [24] . I en anden afhandling formulerede og beviste ibn Irak sinussætningen for en flad trekant [25] .

Den grundlæggende præsentation af trigonometri (både flad og sfærisk) blev givet af den persiske matematiker og astronom Nasir ad-Din at-Tusi i 1260 [26] . Hans "Treatise on the complete quadripartite" indeholder praktiske metoder til at løse typiske problemer, inklusive de sværeste, løst af at-Tusi selv [27] . I slutningen af det 13. århundrede blev de grundlæggende teoremer, der var nødvendige for praktisk arbejde med trekanter, opdaget.

I Europa blev udviklingen af trigonometrisk teori ekstremt vigtig i moderne tid, primært for artilleri , optik og navigation på lange sørejser. I 1551 dukkede 15-cifrede trigonometriske tabeller af Rheticus , en elev af Copernicus , op med et trin på 10" [28] . Behovet for komplekse trigonometriske beregninger forårsagede opdagelsen af logaritmer i begyndelsen af det 17. århundrede , og John Napiers første logaritmiske tabeller indeholdt kun logaritmerne af trigonometriske funktioner.

Studiet af trekanten fortsatte i det 17. århundrede: Desargues-sætningen (1636) blev bevist, Torricelli-punktet blev opdaget (1640) og dets egenskaber blev undersøgt. Giovanni Ceva beviste sit tværgående teorem (1678). Leibniz viste, hvordan man beregner afstanden fra en trekants tyngdepunkt til dens andre bemærkelsesværdige punkter [21] . I det 18. århundrede blev Euler-linjen og cirklen med seks punkter opdaget (1765).

I begyndelsen af det 19. århundrede blev Gergonne-punktet opdaget . I 1828 blev Feuerbachs teorem bevist . I slutningen af det 19. århundrede hører værket af Emile Lemoine , Henri Brocard , Joseph Neuberg til . Cirklen med ni punkter blev udforsket af Poncelet , Brianchon og Steiner.Tidligere ukendte geometriske relationer og billeder blev opdaget - for eksempel Brocard-cirklen , Steiner- og Tarry -punkter . I 1860 beviste Schlömilch en sætning: Tre linjer, der forbinder midtpunkterne på siderne af en trekant med midtpunkterne af dens respektive højder, skærer hinanden i et punkt. I 1937 viste den sovjetiske matematiker S. I. Zetel , at denne teorem ikke kun gælder for højder, men også for alle andre cevianer . Studierne af de ovenfor nævnte geometre gjorde trekantens geometri til en selvstændig gren af matematikken [29] .

Et væsentligt bidrag til trekantens geometri blev ydet i slutningen af det 19. og begyndelsen af det 20. århundrede af Frank Morley . Han beviste, at stedet for centrene af cardioid indskrevet i en trekant består af ni lige linjer, som taget i tre, er parallelle med de tre sider af en ligesidet trekant. Derudover er de 27 punkter, hvor disse ni linjer skærer hinanden, skæringspunkterne for to trisektorer i trekanten, der hører til den samme side af trekanten. Det mest berømte er et særligt tilfælde af denne sætning: de indre trisektorer af vinklerne i en trekant, der støder op til den samme side, skærer parvis ved tre spidser af en ligesidet trekant. En generalisering af disse værker blev udgivet af Henri Lebesgue (1940), han introducerede -sektorerne i en trekant og studerede deres placering i en generel form [30] . $n$

Fra 1830'erne blev trilineære punktkoordinater meget brugt i trekantsgeometri . Teorien om transformationer blev aktivt udviklet - projektiv , isogonal , isotomisk og andre. Ideen om at overveje problemerne med teorien om trekanter på det komplekse plan viste sig at være nyttig . [29] .

Yderligere information

Alle fakta i dette afsnit henviser til euklidisk geometri .

Linjestykket , der forbinder et toppunkt med et punkt på den modsatte side, kaldes en ceviana . Normalt forstås en cevian ikke som et sådant segment, men som et af tre sådanne segmenter tegnet fra tre forskellige hjørner af en trekant og skærende i et punkt . De opfylder betingelserne i Cevas sætning . Cevians, der forbinder toppunktet af en trekant med punkter på den modsatte side, fordelt på et givet forhold fra dens ender, kaldes nedians . ${\frac {1}{n}}$
Midtlinjen i en trekant er det linjestykke, der forbinder midtpunkterne på trekantens to sider. De tre midterlinjer i en trekant deler den i fire lige store trekanter, 4 gange mindre i areal end arealet af den oprindelige trekant.
De vinkelrette halveringslinjer (mediatriser) til siderne af trekanten skærer også et punkt, som falder sammen med midten af den omskrevne cirkel .
Cevians, der ligger på linjer, der er symmetriske med medianerne i forhold til halveringslinjen, kaldes symmedianer . De passerer gennem et punkt - Lemoine-punktet .
Cevians, der ligger på linjer, som er isotomisk konjugeret til bisektorerne i forhold til baserne af medianerne , kaldes antibisectors . De passerer gennem et punkt - midten af antibisektorer .
En trekants fok er et segment, hvoraf det ene toppunkt er i midten af en af trekantens sider, det andet toppunkt er på en af de to resterende sider, mens fokken deler omkredsen i to.

Nogle punkter i trekanten er "parret". For eksempel er der to punkter, hvorfra alle sider er synlige enten i en vinkel på 60° eller i en vinkel på 120°. De kaldes Torricelli-punkter . Der er også to punkter, hvis projektioner på siderne ligger i spidserne af en regulær trekant. Dette er Apollonius' pointer . Points og lignende kaldes Brokars point . $P$ $Q$ $\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP$ $\angle BAP=\angle CBP=\angle ACP$

Nogle vidunderlige lige trekanter

I enhver trekant ligger tyngdepunktet , orthocenteret , midten af den omskrevne cirkel og midten af Euler-cirklen på den samme lige linje, kaldet Euler-linjen .
I en hvilken som helst trekant ligger tyngdepunktet , midten af cirklen indskrevet i den (i midten ) , dens Nagel-punkt og midten af cirklen indskrevet i den komplementære trekant (eller Spiekers centrum) på den samme rette linje, kaldet den anden Euler-linje (Nagel-linjen) $A'B'C'$
Den lige linje, der går gennem midten af den omskrevne cirkel og Lemoine-punktet , kaldes Brocards akse . Apollonius-punkter ligger på den .
Torricelli-punkterne og Lemoine-punktet ligger også på den samme lige linje .
Hvis vi tager et punkt på omkredsen af en trekant, så vil dets projektioner på siderne af trekanten ligge på en ret linje, kaldet Simson-linjen i det givne punkt. Simsons linjer med diametralt modsatte punkter i den omskrevne cirkel er vinkelrette.

Trilineære trekantede polarer

Den trilineære polar af et punkt (pol) i forhold til en ikke-degenereret trekant er en ret linje defineret af følgende konstruktion. Hvis vi fortsætter siderne af den cevianske trekant på et eller andet punkt og tager deres skæringspunkter med de tilsvarende sider, så vil de resulterende skæringspunkter ligge på en lige linje, kaldet startpunktets trilineære polar (figuren viser konstruktionen af trilineær polar af det røde punkt ). $P$ $EDF$ $Y$
Den trilineære polar af tyngdepunktet er den rette linje ved uendelig - (se fig.)

Den trilineære polar af Lemoine-punktet er Lemoine- aksen (se fig.)

Alle tre baser , henholdsvis tre ydre halveringslinjer, og trekantens ydre vinkler ligger på én ret linje, kaldet aksen for ydre halveringslinjer eller den antiortiske akse (se figur). Denne akse er også den trilineære polar af midten af cirklen ( incenter ). $D$ $E$ $F$ $AD$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Orthic akse - trilineær polar af orthocenteret (se fig.) $DEF$
De trilineære polarer af punkter, der ligger på den omskrevne kegleform , skærer hinanden i et punkt (for den omskrevne cirkel er dette Lemoine-punktet , for den omskrevne Steiner-ellipse er det tyngdepunktet ).

Indskrevne og omskrevne figurer for en trekant

Transformationer

3 typer af transformationer er beskrevet nedenfor: 1) Isogonal konjugation, 2) Isotomisk konjugation, 3) Icirkulær transformation.

Isogonal konjugation

Hvis linjerne, der går gennem hjørnerne og et punkt, der ikke ligger på siderne, og deres forlængelser reflekteres i forhold til de tilsvarende halveringslinjer, vil deres billeder også skære hinanden i et punkt, som kaldes det isogonalt konjugerede begyndelsespunkt (hvis punktet lå på den omskrevne cirkel, så vil de resulterende linjer være parallelle ).
Mange par bemærkelsesværdige punkter er isogonalt konjugerede :
- Centrum af den omskrevne cirkel og ortocenteret (højdernes skæringspunkt),
- Centroid (skæringspunkt for medianer ) og Lemoine punkt (skæringspunkt for simedianer ),
- Centrum for de ni punkter og Kosnita-punktet i trekanten, der er forbundet med Kosnita-sætningen [31] ;
- To Brocard-punkter ;
- Apollonius-punkter og Torricelli-punkter .
Gergonne-punktet og midten af den negative homoteti af de indskrevne og omskrevne cirkler.
Nagels punkt og midten af den positive homoteti af incircle og circumcircle ( Verrier point ).
De omskrevne cirkler af subdermale trekanter af isogonalt konjugerede punkter falder sammen.
Foci af de indskrevne ellipser er isogonalt konjugerede.
En isogonal konjugation har præcis fire fikspunkter (det vil sige punkter, der er konjugeret til sig selv): midten af den indskrevne cirkel og midten af trekantens excirkler [32] .
Hvis vi for et hvilket som helst indre punkt i en trekant konstruerer tre punkter, der er symmetriske med den i forhold til siderne, og derefter trækker en cirkel gennem de sidste tre, så er dens centrum isogonalt konjugeret med udgangspunktet [33] .

Isogonale konjugationer af trekantslinjer

Under påvirkning af isogonal konjugation går linjer ind i omskrevne keglelinjer og omskrevne kegler i rette linjer.
Så isogonalt konjugeret:
- Kiepert-hyperbelen og Brocards akse ,
- Enzhabeks hyperbel og Eulers linje ,
- Feuerbach-hyperbelen og centerlinjen for de indskrevne og omskrevne cirkler.
Nogle velkendte terninger - for eksempel Thomson-terningen - er isogonalt selvadjoint i den forstand, at når alle deres punkter i en trekant er isogonalt konjugeret, opnås terninger igen.

Isotomy konjugation

Hvis vi i stedet for en symmetrisk cevian tager en cevian , hvis base er så langt fra midten af siden som bunden af den originale, så vil sådanne cevianer også skære hinanden på et tidspunkt. Den resulterende transformation kaldes isotomisk konjugation . Den kortlægger også linjer til omskrevne kegleformer .

Følgende punkter er isotomisk konjugerede :
- Gergonne og Nagel peger på,
- halveringspunktets skæringspunkt ( i midten ) og skæringspunktet for bisektorerne ,
- Lemoine -punktet (skæringspunktet for symmedianerne) i en trekant er isotomisk konjugeret med dets Brocard-punkt ,
- Centroidet (skæringspunktet for medianerne) er isotomisk konjugeret til sig selv.

Under affine transformationer går isotomisk konjugerede punkter over i isotomisk konjugerede. Med isotomi-konjugation vil den beskrevne Steiner-ellipse gå til linjen i det uendelige .

Sammensætning af en isogonal (eller isotomisk ) konjugation og en trilineær polær

Sammensætningen af en isogonal (eller isotomisk ) konjugation og en trilineær polær er en dualitetstransformation . Dette betyder, at hvis punktet isogonalt ( isotomisk ) konjugeret til punktet ligger på punktets trilineære polar , så ligger den trilineære polar af punktet isogonalt ( isotomisk ) konjugeret til punktet på punktets trilineære polar . $x$ $Y$ $Y$ $x$
Punktets trilineære polar er isogonalt konjugeret med trekantens punkt kaldes punktets midterlinje [34] [35] . $Y$ $x$ $x$

Isocikulær transformation

Hvis i segmenterne afskåret af trekantens sider fra den omskrevne cirkel, er der indskrevet cirkler, der berører siderne ved bunden af cevianerne trukket gennem et bestemt punkt, og derefter er disse cirklers kontaktpunkter forbundet med de omskrevne cirkel med modsatte hjørner, så vil sådanne linjer skære hinanden i et punkt. Transformationen af planet, der sammenligner udgangspunktet med det resulterende, kaldes den icirkulære transformation [36] . Sammensætningen af de isogonale og isotomiske konjugationer er sammensætningen af den icirkulære transformation med sig selv. Denne komposition er en projektiv transformation , der efterlader trekantens sider på plads og oversætter aksen for de ydre halveringslinjer til en lige linje i det uendelige.

Trigonometriske identiteter med kun vinkler

Tre positive vinkler , og , hver mindre end , er vinkler i en trekant, hvis og kun hvis en af følgende relationer gælder: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $180^{\cirkel }$

\operatørnavn {tg} \alpha +\operatørnavn {tg} \beta +\operatørnavn {tg} \gamma =\operatørnavn {tg} \alpha \operatørnavn {tg} \beta \operatørnavn {tg} \gamma

( første identitet for tangenter )

Bemærkning . Ovenstående relation gælder kun, når ingen af vinklerne er 90° (i så fald er tangentfunktionen altid defineret).

\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatørnavn {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatørnavn {tg} {\frac {\beta }{2 }}\operatørnavn {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operatørnavn {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( anden identitet for tangenter )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( første identitet for sines )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( anden identitet for sines )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identitet for cosinus )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( identitet for forhold mellem radier )

Bemærkning . Når begge dele af den anden identitet for tangenter divideres med produktet , opnås en identitet for cotangenter : $\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatørnavn {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatørnavn {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operatørnavn {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatørnavn {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatørnavn {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\operatørnavn {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operatørnavn {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operatørnavn {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

i form (men ikke i indhold) meget lig den første identitet for tangenter .

Forskellige forhold

Metriske forhold i en trekant er givet for : $\trekant ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Euler formel
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operatørnavn {ctg} \alpha +\operatørnavn {ctg} \beta +\operatørnavn {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :s.70

Hvor:

$-en$ , og er siderne af trekanten, $b$ $c$
$a_{L}$ , er de segmenter, som halveringslinjen deler siden i, $b_{L}$ $l_{c}$ $c$
$m_{a}$ , , er medianerne tegnet henholdsvis til siderne , og , $m_{b}$ $m_{c}$ $-en$ $b$ $c$
$h_{a}$ , , er højderne sænket henholdsvis på siderne , og , $h_{b}$ $h_{c}$ $-en$ $b$ $c$
$r$ er radius af den indskrevne cirkel ,
$R$ er radius af den omskrevne cirkel ,
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - semi -perimeter ,
$S$ - område ,
$d$ er afstanden mellem centrum af de indskrevne og omskrevne cirkler.
For enhver trekant, hvis sider er forbundet med uligheder , og hvis areal er , er længderne af midperpendiculars eller mediatriser indesluttet inde i trekanten, faldet til den tilsvarende side (markeret med et underskrift), [38] :Corollaries 5 og 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

, og .

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

Formler for arealet af en trekant i kartesiske koordinater på planet

Notation

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ er koordinaterne for trekantens toppunkter.

Den generelle formel for arealet af en trekant i kartesiske koordinater på planet

S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}

Især hvis toppunkt A er ved origo (0, 0), og koordinaterne for de to andre toppunkter er B = ( x B , y B ) og C = ( x C , y C ) , så kan arealet være beregnes som 1 ⁄ 2 af den absolutte værdi af determinanten

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Den sidste formel for arealet af en trekant i engelsk litteratur kaldes formlen for området indesluttet i en knækket snøre strakt over negle ( snørebåndsformel ), eller den geodætiske formel ( inspektørformel [39] ) eller Gauss-området formel.

Beregning af arealet af en trekant i rummet ved hjælp af vektorer

Lad spidserne af trekanten være i punkterne , , . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Lad os introducere arealvektoren . Længden af denne vektor er lig med arealet af trekanten, og den er rettet langs normalen til trekantens plan: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Lad , hvor , , er projektionerne af trekanten på koordinatplanerne. Hvori $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\displaystyle S_{y))$ ${\displaystyle S_{z))$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

og ligeledes

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

Arealet af trekanten er . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Et alternativ er at beregne længderne af siderne (ifølge Pythagoras sætning ) og videre ved hjælp af Heron-formlen .

Beregning af arealet af en trekant ved hjælp af de komplekse kartesiske koordinater for dens hjørner

Hvis vi betegner de komplekse kartesiske koordinater (på det komplekse plan) af trekantens toppunkter henholdsvis med , og og betegner deres komplekse konjugerede punkter med henholdsvis , og , så får vi formlen: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bar {a}}$ ${\bar {b}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}

hvilket svarer til formlen for området indesluttet inden for den stiplede linje af snørebåndet strakt over neglene ( snørebåndsformlen ), eller den geodætiske formel ( opmålerens formel [39] ), eller Gauss områdeformlen.

Trekant i ikke-euklidiske geometrier

På kuglen

Egenskaber for en trekant med sider , , og vinkler , , . $-en$ $b$ $c$ $EN$ $B$ $C$

Summen af vinklerne i en (ikke-degenereret) trekant er strengt taget større end . $180^{\cirkel }$

Alle lignende trekanter er kongruente.

Sinus-sætning (herefter måles siden af en sfærisk trekant normalt ikke ved et lineært mål, men ved værdien af den centrale vinkel baseret på den ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Cosinussætninger:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

På Lobachevsky-flyet

For en trekant med sider , , og vinkler , , . $-en$ $b$ $c$ $EN$ $B$ $C$

Summen af vinklerne i en (ikke-degenereret) trekant er strengt taget mindre end . $180^{\cirkel }$

Som på en kugle er alle lignende trekanter kongruente.

Sinus-sætning

{\frac {\sin A}{\operatørnavn {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatørnavn {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatørnavn {sh}c}}

Cosinussætninger

\operatørnavn {ch} c=\operatørnavn {ch} a\operatørnavn {ch} b-\operatørnavn {sh} a\operatørnavn {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operatørnavn {ch} c

Forholdet mellem summen af vinkler og arealet af en trekant

Værdien for summen af vinklerne i en trekant i alle tre tilfælde (Euklidisk plan, kugle, Lobachevsky-plan) er en konsekvens af Gauss-Bonnet-formlen

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

I tilfælde af en trekant er Euler-karakteristikken . Hjørnerne er de ydre hjørner af trekanten. Værdien af mængden (gaussisk krumning) er for euklidisk geometri, for en kugle, for Lobachevsky-planet. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K=0$ $K=1$ $K=-1$

Trekant i Riemannsk geometri

Betegnelse

Symbol	Unicode	Navn
△	U+25B3	hvid opadgående trekant

Se også

Yderligere artikler om trekantsgeometri kan findes i kategorierne:

Kategori:Trekantgeometri .
Kategori:Sætninger om euklidisk geometri
Kategori:Planimetri
Kategori:Planimetrisætninger

Noter

↑ Trekant // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind). - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., "Om forholdet mellem inradius og cirkumradius af en trekant", Mathematical Gazette 87, marts 2003, 119-120.
↑ Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. problem på s. 120-125. afsnit 57, s.73.
↑ Geometri ifølge Kiselyov Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , § 41.
↑ 1 2 3 4 Håndbog i elementær matematik, 1978 , s. 219.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , f. 1.11-4.
↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Arkiveret 24. oktober 2018 på Wayback Machine
↑ Pathan, Alex og Tony Collyer, "Arealegenskaber af trekanter revisited," Mathematical Gazette 89, november 2005, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, juli 2009, 306-309.
↑ Baker, Marcus, "En samling af formler for arealet af en plan trekant," Annals of Mathematics , del 1 i bind 1(6), januar 1885, 134-138; del 2 i bind 2(1) ), september 1885, 11-18 Formlerne her er #9, #39a, #39b, #42 og #49.
↑ Chakerian, GD "A Distorted View of Geometry." Kap. 7 i matematiske blommer (R. Honsberger, red.). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; og Wulf, Daniel B. "Heron trekanter og modulrum", Mathematics Teacher 101, maj 2008, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S., og Lehmann, Ingmar, The Secrets of Triangles , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometri og algebra i antikke civilisationer . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 94-95.
↑ 1 2 Fra trekantgeometriens historie, 1963 , s. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . En afhandling om den komplette firkant. Baku, red. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie i to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ History of Mathematics, bind I, 1970 , s. 320.
↑ 1 2 Fra trekantgeometriens historie, 1963 , s. 130-132.
↑ Fra trekantgeometriens historie, 1963 , s. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Korte bemærkninger om nogle glemte geometriske teoremer. Mathematics and Informatics Quarterly, bind 7, side 156-158 (som citeret af Kimberling).
↑ V. V. Prasolov. Brocard-punkter og isogonal konjugation. - M . : MTsNPO, 2000. - (Bibliotek "Mathematical Education"). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematik i opgaver. Indsamling af materialer fra besøgende skoler i Moskva-holdet til den all-russiske matematiske olympiade. Redigeret af A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov og A. V. Shapovalov. Moskva: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Centrale punkter og centrale linjer i en trekants plan // Mathematics Magazine : magazine . - 1994. - Juni ( bind 67 , nr. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Trekantcentre og centrale trekanter . - Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - s. 285. Arkiveret 10. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Myakishev A.G. Elementer af trekantgeometri (Serie: "Library" Mathematical Education "") M.: MTSNMO, 2002. s. 14-17
↑ 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, "Simple trigonometric substitutions with broad results", Mathematical Reflections no 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bisectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. Landmålerens områdeformel // The College Mathematics Journal :magasin. - 1986. - Bd. 17 , nr. 4 . - s. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Arkiveret fra originalen den 6. april 2015.

Litteratur

Hadamard J. Elementær geometri. Del 1: Planimetri. Ed. 4., Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Efremov Dm. Ny trekantgeometri . Odessa, 1902.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Myakishev A.G. Elementer af trekantgeometri . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Historie

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM Fra historien om en trekants geometri // Spørgsmål om de fysiske og matematiske videnskabers historie. - M . : Højere skole, 1963. - S. 129-133. — 524 s.
Glazer G.I. Matematikkens historie i skolen. VII-VIII klasser. En guide til lærere. - M . : Uddannelse, 1982. - S. 76-95. - 240 sek.
Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind, M .: Nauka.
- Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
- Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
- Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Essays om trigonometriens historie: Det antikke Grækenland. middelalderlige øst. Senmiddelalder. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fysisk-matematisk arv: matematik (matematikkens historie)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Links

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Brockhaus og Efron Lille Brockhaus og Efron Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Trekant

Grundlæggende elementer i trekanten

Hjørner, sider, hjørner

Klassificering af trekanter

Medianer, højder, halveringslinjer

Omskrevne og indskrevne cirkler

Tegn på lige store trekanter

Tegn på lighed mellem trekanter

Grundlæggende egenskaber for trekantelementer

Hjørneegenskaber

Trekantuligheden

Trekantsumsætning

Sinus-sætning

Cosinussætning

Projektionssætningen

Tangentsætning

Cotangenssætning

Mollweides formler

Løsning af trekanter

Areal af en trekant

Andre formler

Uligheder for arealet af en trekant

Studiehistorie

Yderligere information

Nogle vidunderlige lige trekanter

Trilineære trekantede polarer

Indskrevne og omskrevne figurer for en trekant

Transformationer

Trigonometriske identiteter med kun vinkler

Forskellige forhold

Formler for arealet af en trekant i kartesiske koordinater på planet

Den generelle formel for arealet af en trekant i kartesiske koordinater på planet

Beregning af arealet af en trekant i rummet ved hjælp af vektorer

Beregning af arealet af en trekant ved hjælp af de komplekse kartesiske koordinater for dens hjørner

Trekant i ikke-euklidiske geometrier

På kuglen

På Lobachevsky-flyet

Forholdet mellem summen af ​​vinkler og arealet af en trekant

Trekant i Riemannsk geometri

Betegnelse

Se også

Noter

Litteratur

Links

Forholdet mellem summen af vinkler og arealet af en trekant