Tegn på lighed mellem trekanter

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. april 2022; checks kræver 3 redigeringer .

Lignende trekanter i euklidisk geometri er trekanter , hvis vinkler er henholdsvis lige store, og hvis sider er henholdsvis proportionale . De er lignende figurer .

Denne artikel diskuterer egenskaberne af lignende trekanter i euklidisk geometri . Nogle udsagn er ikke sande for ikke-euklidiske geometrier .

Tegn på lighed mellem trekanter

Lighedskriterier for trekanter er geometriske træk, der giver dig mulighed for at fastslå, at to trekanter ligner hinanden uden at bruge alle elementerne i definitionen.

Første tegn

Hvis to vinkler i en trekant er lig med to vinkler i en anden trekant, så ligner trekanterne hinanden.

det er: $\trekant ABC \sim \trekant A_1 B_1 C_1 \Venstrehøjrepil \vinkel A = \vinkel A_1,\ \vinkel B= \vinkel B_1.$

Givet: og $\trekant ABC$ $\trekant A_1 B_1 C_1,\ \vinkel A = \vinkel A_1,\ \vinkel B = \vinkel B_1.$

Bevise: $\trekant ABC \sim \trekant A_1 B_1 C_1.$

Bevis Ud fra Trekantvinkelsætningen kan vi konkludere, at alle vinkler i trekanter er lige store. Arranger dem, så vinklen overlapper med vinklen . Fra den generaliserede Thales-sætning (det kan bevises uden lighed, se f.eks. en lærebog om geometri 7-9 af Sharygin eller Pogorelov) . På samme måde kan man bevise, at forholdet mellem de andre tilsvarende sider er ens, hvilket betyder, at trekanterne er ens pr. definition osv.

\vinkel BAC

{\displaystyle \angle B_{1}A_{1}C_{1))

{\displaystyle AC/A_{1}C_{1}=BC/B_{1}C_{1))

Konsekvenser af det første tegn på lighed

Hvis tre sider af den oprindelige trekant er parvis parallelle (to gange anti-parallelle eller vinkelrette) med tre sider af en anden trekant, så er disse to trekanter ens . For eksempler på anvendelsen af denne konsekvens, se afsnittene nedenfor: "Eksempler på lignende trekanter" og "Egenskaber for parallelisme (anti-parallelisme) af siderne af beslægtede trekanter."
Dobbelt antiparallelle sider betyder følgende. For eksempel er siderne af en given spidsvinklet trekant antiparallelle med de tilsvarende sider af den ortotrekant , de ligger imod. I et sådant tilfælde er de tilsvarende sider af ortotrekanten i en ortotrekant (dobbelt ortotriangel) to gange antiparallelle med de tilsvarende sider af den oprindelige trekant , dvs. lige parallelle. Derfor ligner ortotrekanten for eksempel en ortotrekant og den oprindelige trekant trekanter med parallelle sider.

Det andet tegn

Hvis to sider af en trekant er proportionale med to sider af en anden trekant, og vinklerne mellem disse sider er ens, så ligner sådanne trekanter.

Givet: og $\trekant ABC$ $\trekant A_1 B_1 C_1,\ \vinkel A = \vinkel A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$

Bevise: $\trekant ABC \sim \trekant A_1 B_1 C_1.$

Bevis

1) Overvej , hvor og $\trekant ABC_2$ $\vinkel BAC_2=\vinkel A_1$ $\vinkel ABC_2=\vinkel B_1:$

\trekant ABC_2\sim \trekant A_1 B_1 C_1

( første tegn )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Efter betingelse:

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle ABC_2

( første tegn ) ( første tegn ).

\Højrepil \vinkel B=\vinkel ABC_2 \Højrepil \trekant ABC \sim \trekant A_1 B_1 C_1

Det tredje tegn

Hvis de tre sider af en trekant er henholdsvis proportionale med de tre sider af en anden, så ligner trekanterne hinanden.

Givet : og == . _ $\trekant ABC$ ${\displaystyle \triangle A_{1}B_{1}C_{1},{\frac {AB}{A_{1}B_{1))))$ $\frac{AC}{A_1C_1}$ $\frac{BC}{B_1C_1}$

Bevis : $\trekant ABC \sim \trekant A_1 B_1 C_1.$

Bevis

1) Overvej , hvor og $\trekant ABC_2$ $\vinkel BAC_2=\vinkel A_1$ $\vinkel ABC_2=\vinkel B_1:$

\trekant ABC_2\sim \trekant A_1 B_1 C_1

( første tegn )

\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.

2) Efter betingelse:

\frac{AB}{A_1B_1}

= = AC=AC 2 , BC=BC 2 => ∆ABC = ∆ABC 2 ( tredje træk ); ∆ABC 2 ∆A 1 B 1 C 1 => .

\frac{AC}{A_1C_1}

{\frac {BC}{B_{1}C_{1))}\Højrepil \

\sim

{\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle A_{1}B_{1}C_{1))

Tegn på lighed mellem retvinklede trekanter

På en spids vinkel - se det første tegn ;
På to ben - se det andet tegn ;
På benet og hypotenusen - se det tredje tegn .

Egenskaber for lignende trekanter

Forholdet mellem arealer af lignende trekanter er lig med kvadratet af lighedskoefficienten
Forholdet mellem omkredse og længder af halveringslinjer , medianer , højder og midt-perpendikulære er lig med lighedskoefficienten.

Eksempler på lignende trekanter

Følgende typer trekanter ligner hinanden:

Komplementær trekant og antikomplementær trekant ligner hinanden; deres respektive sider er parallelle.
Trekant ABC ligner dens komplementære trekant ; deres tilsvarende sider er parallelle og er relateret til 2:1.
Trekant ABC ligner dens antikomplementære trekant ; deres tilsvarende sider er parallelle og relateret som 1:2.
Den oprindelige trekant i forhold til ortotrekanten er en trekant med tre ydre halveringslinjer [1] . $\Delta ABC$
En ortotrekant og en tangentiel trekant ligner hinanden (Zetel, følge 1, § 66, s. 81).
Ortotrekanten i ortotrekanten og den oprindelige trekant ligner hinanden.
Trekanten med tre ydre halveringslinjer i trekanten med tre ydre halveringslinjer og den oprindelige trekant ligner hinanden.
Lad kontaktpunkterne for cirklen indskrevet i en given trekant være forbundet med segmenter, så får vi Gergonne-trekanten , og højderne tegnes i den resulterende trekant. I dette tilfælde er linjerne, der forbinder baserne af disse højder, parallelle med siderne af den oprindelige trekant. Derfor er ortotrekanten i Gergonne-trekanten og den oprindelige trekant ens.
Ovenstående egenskaber for lighed af beslægtede trekanter er en konsekvens af egenskaberne for parallelitet af siderne af beslægtede trekanter anført nedenfor .
Sætning : en periferisk-ceviansk trekant ligner en subdermal en [2] . Definitioner, der bruges her:
- En trekant med toppunkter ved det andet skæringspunkt for linjer trukket gennem toppunkterne og et givet punkt, med en omskrevet cirkel, kaldes periferisk-ceviansk trekant .
- En trekant med spidser i projektionerne af et givet punkt på siderne kaldes en subdermal eller pedaltrekant af dette punkt.

Egenskaber for parallelisme (anti-parallelisme) af siderne af beslægtede trekanter

De tilsvarende sider af den komplementære trekant , den antikomplementære trekant og den oprindelige trekant er parvis parallelle.
Siderne i en given spidsvinklet trekant er antiparallelle med de tilsvarende sider af den ortotrekant , de ligger imod.
Siderne i en tangentiel trekant er antiparallelle med de tilsvarende modsatte sider af den givne trekant (ved egenskaben antiparallelisme af tangenter til en cirkel).
Siderne i en tangentiel trekant er parallelle med de tilsvarende sider af en ortotrekant .
Lad kontaktpunkterne for cirklen indskrevet i en given trekant være forbundet med segmenter, så får vi Gergonne-trekanten , og højderne tegnes i den resulterende trekant. I dette tilfælde er linjerne, der forbinder baserne af disse højder, parallelle med siderne af den oprindelige trekant. Derfor er ortotrekanten i Gergonne-trekanten og den oprindelige trekant ens.

Lighed i en retvinklet trekant

De trekanter, som højden sænket fra den rette vinkel deler den rette trekant i, svarer til hele trekanten i det første kriterium , hvilket betyder:

Højden af en retvinklet trekant, sænket til hypotenusen, er lig med det geometriske middelværdi af projektionerne af benene på hypotenusen ,
Benet er lig med hypotenusens geometriske middelværdi og projektionen af dette ben på hypotenusen.

Relaterede definitioner

Lighedskoefficienten er tallet k, lig med forholdet mellem lignende sider af lignende trekanter.
Lignende sider af lignende trekanter er de sider, der ligger modsat lige store vinkler.

Se også

Noter

↑ Starikov V. N. Geometriforskning // Samling af publikationer fra det videnskabelige tidsskrift Globus baseret på materialerne fra den V. internationale videnskabelig-praktiske konference "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling af artikler (standardniveau, akademisk niveau). S-P.: Videnskabeligt tidsskrift Globus , 2016. S. 99-100
↑ System af problemer i geometri af R. K. Gordin. Opgave 6480 . Hentet 26. april 2016. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)

Litteratur

Geometri 7-9 / L. S. Atanasyan et al. - 12. udg. - M.: Oplysning, 2002. - 384 s.:
Zetel S.I. Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udgave. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.

Links

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex