Indskrevne og omskrevne figurer for en trekant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. juni 2022; checks kræver 10 redigeringer .

En vigtig komponent i en trekants geometri er teorien om figurer og kurver indskrevet i en trekant eller beskrevet omkring den - cirkler , ellipser og andre.

Indskrevne og omskrevne cirkler i en trekant

Cirkler, der går gennem hjørnerne af en trekant

Den omskrevne cirkel (se figuren til venstre) er en cirkel, der går gennem alle tre hjørner af trekanten. Den omskrevne cirkel er altid unik, medmindre trekanten er degenereret på en særlig måde, det vil sige, at to af dens tre hjørner ikke falder sammen.

Johnson-cirkel - enhver af de tre cirkler (se figuren til højre), der passerer gennem to hjørner af trekanten og gennem dens ortocenter . Radierne af alle tre Johnson-cirkler er lige store. Johnson-cirkler er omskrevne cirkler af Hamiltonske trekanter, der har to spidser af en given spidsvinklet trekant som to spidser og har dets ortocenter som et tredje spidspunkt .

Cirkler, der rører siderne af en trekant eller deres forlængelser

Den indskrevne cirkel (se figuren til højre) er en cirkel, der tangerer alle tre sider af trekanten. Hun er den eneste. Centrum af den indskrevne cirkel kaldes incenteret .
- Linjestykkerne, der forbinder tangentpunkterne i den indskrevne cirkel med hjørnerne, skærer hinanden i et punkt, kaldet Gergonne-punktet . Gergonne-punktet er isotomisk konjugeret med Nagel-punktet (se nedenfor).
En excirkel (se figuren til højre) er en cirkel, der tangerer den ene side af en trekant og forlængelsen af de to andre sider. Der er tre sådanne cirkler i en trekant. Deres radikale centrum er midten af den indskrevne cirkel af midtertrekanten , kaldet Spiekers centrum eller Spiekers punkt .
- Linjestykkerne , der forbinder spidserne med tangentpunkterne i cirklerne med spidserne, skærer hinanden i et punkt, kaldet Nagel-punktet .

Malfatti trekantens tre cirkler (se figuren til højre). Hver af disse rører to sider af trekanten og to andre Malfatti-cirkler .
- Hvis du tegner tre lige linjer, der forbinder midten af hver Malfatti-cirkel med kontaktpunktet mellem de to andre, så vil de skære hinanden i et punkt - ved punktet for Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) [1] .

Tre halvindskrevne cirkler eller Verrier-cirkler (se figuren til venstre). Hver af dem rører to sider af trekanten og den omskrevne cirkel internt .
- Linjestykkerne, der forbinder trekantens toppunkter og de tilsvarende tangenspunkter i Verrier-cirklerne med den omskrevne cirkel , skærer hinanden i et punkt, kaldet Verrier-punktet . Det tjener som centrum for homoteten G , som afbilder den omskrevne cirkel til incirkelen (Se den grå figur nedenfor).

Verriers lemma [2] . Tangenspunkterne for Verrier -cirklerne (halvcirkler) med siderne ligger på en lige linje, der passerer gennem midten af den indskrevne cirkel ( incenter ) (Se den grå figur nedenfor).

Radius af indskrevne og omskrevne cirkler

Følgende formler inkluderer radierne af de omskrevne R og indskrevne r cirkler:

R={\frac {abc}{{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))))={\frac {abc }{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))))

r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))}={\sqrt { \frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}},

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c} }}

hvor er trekantens halvomkreds, h a osv., højderne tegnet til de tilsvarende sider; [3] :s.70 $s$

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[fire]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Produktet af to sider af en trekant er lig med produktet af højden gange den tredje side ganget med diameteren af den omskrevne cirkel. [3] :s.64 :

ab=h_{c}(2R)

Hvis medianen m , højden h og indre halveringslinje t kommer ud af det samme toppunkt i trekanten, omkring hvilken en cirkel med radius R er omskrevet , så [3] :s.122,#96

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Cirkler, der rører hinanden inde i en trekant

Tre Malfatti-cirkler rører hinanden i par inde i trekanten. (se ovenfor)
Nipunktscirklen eller Euler-cirklen tangerer incirklen inde i trekanten ved Feuerbach-punktet .

Cirkler, der gensidigt tangerer uden for en trekant

Tre Verrier-cirkler tangerer den omskrevne cirkel uden for trekanten.
Nipunktscirklen eller Eulercirklen tangerer tre cirkler uden for trekanten på en ekstern måde ( Feuerbachs sætning , se figur).

Cirklen af Apollonius rører tre cirkler uden for trekanten internt (se figur)

De tre Johnson-cirkler (se ovenfor) tangerer eksternt til den antikomplementære cirkel (rød i figuren til højre ovenfor, radius 2r) i trekanten ΔABC. Centrene for Johnson-cirklerne ligger på segmenterne (orange), der forbinder det fælles skæringspunkt mellem højderne H og kontaktpunkterne for disse tre cirkler med den antikomplementære cirkel. . Disse berøringspunkter danner en anti- komplementær eller (som er den samme) anti-komplementære trekant (grøn i figuren ovenfor). $\triangle P_{A}P_{B}P_{C}$

Andre cirkler

Centrene for de omskrevne cirkler i de seks trekanter, som trekanten er delt i med medianerne, ligger på én cirkel, som kaldes Lamuns cirkel .

Hvis vi fra hvert toppunkt udlægger trekanter på lige linjer, der indeholder sider, segmenter lige lange med modsatte sider, så ligger de resulterende seks punkter på en cirkel - Conway-cirklen .

Cirkler, der skærer siderne i en trekant

Cirklen med ni punkter er en cirkel, der går gennem midtpunkterne på alle tre sider af en trekant og gennem de tre baser af dens højder.
Taylor-cirklen er en cirkel, der passerer gennem seks punkter i form af seks projektioner af de tre baser af trekantens højder, der skærer hver side, på de to resterende sider.

Definition af perspektivet af en kegle

Uendeligt mange kegler ( ellipser , parabler eller hyperbler ) kan indskrives i en trekant.
Hvis en vilkårlig kegle er indskrevet i en trekant , og kontaktpunkterne er forbundet med modsatte hjørner, vil de resulterende linjer skære hinanden i et punkt, kaldet keglens perspektiv .
For ethvert punkt af planet, der ikke ligger på en side eller på dets forlængelse, er der en indskrevet kegle med et perspektiv på dette punkt [5] .

Ellipser af en trekant

Definition af en indskrevet Steiner-ellipse

Et uendeligt antal ellipser kan indskrives i en trekant . Desuden er brændpunkterne for hver af de indskrevne ellipser isogonalt konjugerede.
En enkelt ellipse kan indskrives i en trekant, der rører siderne ved deres midtpunkter. En sådan ellipse kaldes en indskrevet Steiner-ellipse (dens perspektiv vil være trekantens midtpunkt ) [6] .
"Bestemmelse af perspektivet for en kegle " (inklusive kegleellipsen) se ovenfor.

Definition af den omskrevne Steiner-ellipse

Et uendeligt antal ellipser kan omskrives om en trekant .
I nærheden af en trekant kan en enkelt ellipse beskrives , som tangerer de linjer, der går gennem hjørnerne og parallelt med siderne. En sådan ellipse kaldes en omskrevet Steiner-ellipse .
Foci af den beskrevne Steiner-ellipse kaldes Skutin-punkter .
Cevians trukket gennem foci af den omskrevne Steiner-ellipse ( Skutin-punkter ) er lige store ( Skutins sætning )

Affin transformation af Steiner-ellipsen

Hvis vi ved en affin transformation ("skævhed") oversætter en vilkårlig skala- trekant til en regulær trekant , så vil dens indskrevne og omskrevne Steiner-ellipser gå ind i de indskrevne og omskrevne cirkler [7] .

Brocards ellipse

En ellipse med foci ved Brocards punkter kaldes Brocards ellipse . Dens perspektiv er Lemoine-punktet [8] .

Ellipse Mandart (Mandart inellipse)

Ellipse Mandart (eller Mandara) i trekanten ABC - en ellipse indskrevet i en trekant, der rører dens sider ved kontaktpunkterne med excirklerne (ved hjørnerne af Nagel-trekanten ) (se figuren til højre).
Cirklen beskrevet omkring Nagel-trekanten T A T B T C kaldes Mandart-cirklen (et specialtilfælde af Mandart-ellipsen ).

Johnsons ellipse

Seks punkter - hjørnerne af referencetrekanten og spidserne af dens Johnson-trekant - ligger på Johnson-ellipsen (fig. til venstre), som har et centrum i midten af ni punkter og punktet X (216) af referencen trekant er dens perspektivpunkt . Den omskrevne ellipse og den omskrevne cirkel har fire fælles punkter - tre hjørner af referencetrekanten og punktet X (110).

Relationen for en vilkårlig ellipse indskrevet i en trekant

Hvis en vilkårlig ellipse er indskrevet i trekant ABC og har foci P og Q , så er relationen [9] gyldig for den :

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Parabler indskrevet i en trekant

Et uendeligt antal parabler kan indskrives i en trekant .

Perspektiverne af parablerne indskrevet i trekanten ligger på den beskrevne Steiner-ellipse (se ovenfor) [10] . Fokus for den indskrevne parabel ligger på den omskrevne cirkel , og retningslinjen passerer gennem ortocentret [11] .

Kieperts parabel

En parabel indskrevet i en trekant med Euler-linjens retningslinje kaldes Kiepert-parablen . Dens perspektiv er det fjerde skæringspunkt mellem den omskrevne cirkel og den omskrevne Steiner-ellipse , kaldet Steiner-punktet .

Hyperbler afgrænset om en trekant

I nærheden af en trekant kan uendeligt mange hyperbler beskrives .
Hvis hyperbelen beskrevet nær trekanten passerer gennem højdernes skæringspunkt, så er den ligesidet (det vil sige, dens asymptoter er vinkelrette) [12] . Skæringspunktet for asymptoterne i en ligesidet hyperbel ligger på cirklen af ni punkter [12] .

Cyperts hyperbole

En Kiepert hyperbel er en afgrænset hyperbel , der passerer gennem et tyngdepunkt og et ortocenter . Hvis du bygger lignende ligebenede trekanter på siderne af trekanten (udad eller indad), og derefter forbinder deres hjørner med de modsatte hjørner af den oprindelige trekant, så vil tre sådanne linjer skære hinanden på et punkt, liggende på Kiepert-hyperbelen . Især på denne hyperbel ligger Torricelli-punkterne og Napoleon -punkterne (Cevianske skæringspunkter, der forbinder hjørnerne med centrene af regelmæssige trekanter bygget på modsatte sider) [13] .

Enzhabeks hyperbole

En Enzhabek-hyperbel er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem orthocentret og Lemoine-punktet . Centrum af den omskrevne cirkel ligger på den .

Feuerbach hyperbel og Feuerbach punkt

En Feuerbach-hyperbel er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem ortocentret og midten af den indskrevne cirkel . Dens centrum ligger ved Feuerbach-punktet . Poder- og cevianske cirkler af punkter på en Feuerbach-hyperbel passerer gennem et Feuerbach-punkt .
Især passerer en cirkel gennem Feuerbach-punktet , trukket gennem halveringslinjerne . [fjorten]

Kegle af ni punkter

Keglen af ni punkter af en komplet firkant er et keglesnit, der går gennem tre diagonale punkter og seks midtpunkter på siderne af en komplet firkant. På fig. Bocher- keglen for fire punkter af en komplet firkant er vist som tre hjørner af en trekant og et uafhængigt punkt:

Lad en trekant ABC og et punkt P på planet være givet. Et keglesnit kan tegnes gennem følgende ni punkter: midtpunkterne på siderne af trekanten ABC , midtpunkterne af segmenterne, der forbinder P med trekantens spidser, de punkter, hvor disse linjer går gennem P og trekantens spidser skærer trekantens sider.

Den berømte ni-punkts cirkel er et eksempel på en Bocher - kegleform .

Terninger

Katalog over trekantede kubikker) er en onlineressource, der indeholder detaljerede oplysninger om mere end 1200 kubikkurver i referencetrekantens plan. Ressourcen vedligeholdes af Bernard Gilbert. Hver terning i ressourcen tildeles et unikt identifikationsnummer på formen "Knnn", hvor "nnn" står for tre cifre. Identifikationsnummeret for den første post i telefonbogen er "K001", som er Neubergterningen i referencetrekanten ABC. Kataloget indeholder blandt andet følgende information om hver af nedenstående terninger:
Barycentrisk kurveligning
Liste over centre af trekanter, der ligger på en kurve
Enkelte punkter på en kurve, der ikke er trekantcentre
Geometriske egenskaber af en kurve
Kurve lokus egenskaber
Andre specielle kurveegenskaber
Andre kurver relateret til den kubiske kurve
Masser af pæne og ryddelige figurer, der illustrerer forskellige egenskaber
Kurvelitteraturreferencer

En terning ( kubisk kurve) er en kurve af tredje orden (givet af en ligning af tredje grad). Mange af de vidunderlige terninger, der er forbundet med en trekant, er konstrueret på følgende måde: et punkt i planet (muligvis i uendelighed) er fikseret. Så er det sæt af punkter, sådan at linjen går gennem dette punkt, en terning omskrevet om en trekant (her er et punkt isogonalt konjugeret til ). Sådanne terninger passerer også gennem centrene af de indskrevne og excirkler, såvel som gennem selve det fikserede punkt og dets isogonale konjugat [15] . $x$ $XX'$ $X'$ $x$

Darboux-terningen opnås ved at fiksere et punkt, der er symmetrisk til ortocentret i forhold til midten af den omskrevne cirkel. Den passerer gennem punkterne: incenter , ortocenter , centrum af den omskrevne cirkel, Longchamps punkt X(20), andre punkter, og også gennem toppunkterne A, B, C, gennem centrene i excirklerne, gennem toppunkternes antipoder A, B, C på den omskrevne cirkel. Det passerer gennem ortocentret og midten af den omskrevne cirkel. I listen er kuben på planet for Gibert-trekanten (Bernard Gibert) i Darboux-terningen opført som K004 [16] .
Luke's Cube . Det passerer gennem punkterne: tyngdepunkt , orthocenter , Gergonne punkt , Nagel punkt , Longchamp punkt , hjørner af den antikomplementære trekant og gennem foci af den beskrevne Steiner ellipse og andre. I listen er terningen på Lucas-terningens trekantplan angivet som K007 [17] .
McKay-terningen fås, hvis vi tager midten af den omskrevne cirkel som et fast punkt. Det passerer også gennem ortocentret og midten af den omskrevne cirkel.
Terning af Napoleon-Feuerbach . Det passerer gennem punkterne: incenter , ortocenter , centrum af den omskrevne cirkel, Gergonne- punkt , Nagel -punkt , Longchamp-punkt , første og andet Napoleon-punkt , andre punkter, såvel som gennem hjørnerne A, B, C, såvel som gennem punkterne centre af excirkler, tyngdepunktsprojektioner til højderne, centrene af seks ligesidede trekanter bygget på siderne af trekanten ABC (udvendigt eller indvendigt). I listen er kuben på planet for trekanten af Napoleon-Feuerbach-terningen angivet som K005 [18] .
Neubergterningen er det sæt af punkter , som er Euler-linjen (dens punkt ved uendelighed er fast). Der er mere end 15 bemærkelsesværdige punkter på denne terning, især punkterne på Torricelli, Apollonius, ortocentret, midten af den omskrevne cirkel, hjørnerne af regelmæssige trekanter bygget på siderne (udvendigt eller indvendigt), punkter symmetriske med hjørner med hensyn til siderne, to Fermat-punkter , to isodynamiske punkter , Euler-uendelighedspunktet, samt centrene for de indskrevne og excirkler, der ligger på alle terninger. I listen er kuben på Neuberg-terningens trekantplan angivet som K001 [19] . $x$ $XX'\parallel OH$
Thomson Cube fås ved at vælge et tyngdepunkt som et fikspunkt. Thomson-terningen passerer gennem tyngdepunktet, Lemoine-punktet, ortocentret, midten af den omskrevne cirkel, midtpunkterne på siderne og midtpunkterne af højderne af toppunkterne A, B, C, gennem centrene af excirklerne. På listen er kuben på Thomson-terningens trekantplan angivet som K002 [20] .
Den første Brocards terning . Den passerer gennem punkterne: tyngdepunkt , Lemoine -punkt , Steiner-punkt X(99), to isodynamiske punkter , Parry-punkt og andre, såvel som gennem hjørnerne af 1. og 3. Brocard-trekant. I listen over terninger i en trekants plan er den første Brocard-terning angivet som K017 [21] .
Den anden Brocards terning . Den passerer gennem punkter: tyngdepunkt , Lemoine-punkt , to Fermat-punkter , to isodynamiske punkter , Parry-punkt og andre, såvel som gennem hjørnerne af den 2. og 4. Brocard-trekant. I listen over terninger i en trekants plan er den anden Brocard-terning angivet som K018 [22] .
Den første terning af lige store arealer (1. lige store arealer kubik) . Den passerer gennem punkter: incenter , Steiner-punkt X(99), første og andet Brocard-punkter , centre af trekantens excirkler. I listen over terninger i en trekants plan er den første terning med lige store arealer angivet som K021 [23] .
Den anden terning af lige store arealer (2. lige store arealer kubik) . Den passerer gennem punkter: incenter , andre punkter, og også gennem følgende punkter i Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers notation : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) , X(672), X(1453), X(1931), X(2053) og andre. I listen over en terning i en trekants plan er den anden terning med lige store arealer angivet som K155 [24] .
Der er to interessante kubiske kurver beskrevet i litteraturen , der går gennem hjørnerne af støttetrekanten og dens Johnson-trekant , såvel som gennem midten af den omskrevne cirkel , ortocentret og midten af ni cirkler :
- Den første kurve er kendt som Musselmann-kurven - K026 . Denne kurve passerer også gennem hjørnerne af mediantrekanten og mediantrekanten i Johnsons trekant .
- Den anden kurve er kendt som Euler centerkurven - K044 . Denne kurve passerer også gennem seks punkter - baserne for højderne og baserne for højderne af Johnson trekanten .

Polygoner indskrevet i en given trekant

Trekanter indskrevet i en given trekant

En trekant med spidser ved bunden af tre cevianer trukket gennem et givet punkt kaldes den cevian-trekant af dette punkt.
En trekant med spidser i projektionerne af et givet punkt på siderne kaldes en subdermal eller pedaltrekant af dette punkt.
En trekant med toppunkter ved det andet skæringspunkt for linjer trukket gennem toppunkterne og et givet punkt, med en omskrevet cirkel, kaldes periferisk-ceviansk trekant . Sætning : en periferisk-ceviansk trekant ligner en subdermal en [25] .
Trekanten af baserne for medianerne A'B'C' i en given trekant ABC , det vil sige en trekant, hvis toppunkter er midtpunkterne på siderne af trekanten ABC , kaldes tillæg eller midtpunkt for denne trekant.
En ortotrekant er en trekant, hvis toppunkter er i bunden af trekantens højder. Siderne i en ortotrekant er antiparallelle med de tilsvarende sider i den givne trekant.
Excirkeltangenstrekanten for trekant ABC (nogle gange kaldet Nagels trekant ) er defineret ved toppunkter TA , TB og T C , som er tangentpunkterne for excirklerne med de tilsvarende sider af trekanten ABC . For eksempel er punkt TA modsat side A osv .
Gergonne trekanten for trekant ABC er defineret af toppunkter TA , T B og T C , som er tangentpunkterne i den indskrevne cirkel med de tilsvarende sider af trekanten ABC . Gergonne trekanten T A T B T C er også kendt som tangency trekanten i trekanten ABC .
I enhver trekant ABC kan 2 trekanter indskrives med 3 sider parallelle med de 3 halveringslinjer i trekanten ABC. Disse trekanter har en fælles cirkel af Euler-cirkeltypen, det vil sige, at 6 af deres hjørner ligger på 1 cirkel. [26]

Trekanter afgrænset omkring en given referencetrekant

Trekant A″B″C″ , hvis sider passerer gennem hjørnerne af trekanten ABC og er parallelle med dens modstående sider, kaldes antikomplementær for den givne trekant ABC .
Hvis vi beskriver en cirkel omkring en given spidsvinklet trekant ∆ ABC og tegner linjer, der tangerer cirklen ved tre spidser af trekanten, så danner skæringspunktet mellem disse linjer den såkaldte tangentielle trekant Δ A′B′C′ mhp . til den givne trekant Δ ABC . Siderne af den tangentielle trekant Δ A′B′C′ er antiparallelle med de tilsvarende modstående sider af den givne trekant og parallelle med de tilsvarende sider af orthotrekanten .
Hvis uden for en given trekant ∆ ABC , trækkes tre af dens ydre halveringslinjer gennem dens hjørner, så vil de skære hinanden ved de tre centre af excirklerne og danne en trekant med tre ydre halveringslinjer .

Andre trekanter inden for den givne referencetrekant

Tre linjestykker, der forbinder orthocentret med hjørnerne af en spids trekant, deler det i tre Hamilton-trekanter med lige store radier af de omskrevne cirkler.
Eulers trekant eller Feuerbachs trekant er en trekant, hvis toppunkter er midtpunkterne i tre segmenter, der forbinder ortocentret og dets toppunkter.

Kvadrater indskrevet i en given referencetrekant

Hver spidsvinklet trekant har tre indskrevne firkanter (firkanterne er indskrevet i den på en sådan måde, at alle fire hjørner af firkanten ligger på hver sin side af trekanten, så to af dem ligger på samme side og derfor en side af firkanten falder sammen med en del af en trekant, og de resterende to hjørner af firkanten rører ved de to resterende sider af referencetrekanten). I en retvinklet trekant falder to af disse kvadrater sammen og har to sider, der kommer ud af et toppunkt med en ret vinkel på trekanten, og det fjerde toppunkt af to sådanne sammenfaldende kvadrater ligger i hypotenusens midtpunkt. En anden type firkant, der er indskrevet i en retvinklet trekant, har den ene side og to af dens toppunkter liggende på hypotenusen, og de to resterende hjørner af firkanten ligger på forskellige ben i den retvinklede trekant. En retvinklet trekant har således kun to forskellige typer indskrevne firkanter. En stump trekant har kun én indskrevet firkant, med en side, der falder sammen med en del af trekantens længste side. Inden for en given trekant indeholder trekantens længste side fuldstændig en af siderne af det indskrevne kvadrat. Hvis den indskrevne firkant har en sidelængde lig med q a , og en af dens sider ligger helt på siden af en trekant med længden a ; højden faldet til denne side er h a , og arealet af trekanten er S , så ifølge [27] [28]

q_{a}={\frac {2Sa}{a^{2}+2S}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.

Sekskanter indskrevet i en given referencetrekant

Den første (anden) Lemoine Hexagon er en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring. Dens toppunkter er de seks skæringspunkter for siderne i en trekant med tre linjer, der er parallelle (henholdsvis: anti-parallelle) med siderne, og som går gennem dens Lemoine-punkt. I enhver trekant er den første (anden) Lemoine-sekskant inde i en trekant med tre par hjørner, der ligger parvis på hver side af trekanten.
Euler-sekskanten er en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring ( Euler-cirklen ). Dens toppunkter er seks punkter: tre baser af medianerne og tre baser for højderne af denne referencetrekant.

Se også

Omkreds
Uomskrevet firkant
Indskrevet cirkel
Indskrevet keglesnit
Den indskrevne sfære er en generalisering af den indskrevne cirkel.
Trekanthøjde
Ordliste over planimetri
Vidunderlige lige trekanter
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten
I midten eller midten af den indskrevne cirkel
Cirkel
Omskrevet cirkel
Omskrevet firkant
Ortocenter
Grad af et punkt i forhold til en cirkel
Mansions teorem
trefork-sætning
Tebos sætning 2 og 3
Harcourts teorem
Apollonius peger
Centroid
Trekant Centroid
Ellipse Mandart
Ellipse Steiner

Noter

↑ Ajima-Malfatti Point . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 5. august 2015. (ubestemt)
↑ Efremov D. Ny geometri af en trekant . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Om forholdet mellem inradius og cirkumradius af en trekant", Mathematical Gazette 87, marts 2003, 119-120.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 108.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 54.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 55.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., tillæg .. - 2011. - S. 50.
↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; og Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, marts 2012, 161-165.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 110.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 27-28.
↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., suppleret .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 125-126.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 105.
↑ Prasolov V.V. Opgaver i planimetri. — M .: MTsNMO , 2004.
↑ K004 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. september 2008. (ubestemt)
↑ K007 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 18. september 2008. (ubestemt)
↑ K005 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 1. juni 2010. (ubestemt)
↑ K001 på Berhard Gibert's Cubics in the Triangle Plane // (link utilgængeligt) . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. august 2009. (ubestemt)
↑ K002 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 22. oktober 2009. (ubestemt)
↑ K017 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. september 2008. (ubestemt)
↑ K018 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. september 2008. (ubestemt)
↑ K021 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. september 2008. (ubestemt)
↑ K155 ved Berhard Giberts Cubics i trekantplanet // . Hentet 22. maj 2016. Arkiveret fra originalen 20. september 2008. (ubestemt)
↑ System af problemer i geometri af R. K. Gordin. Opgave 6480 . Hentet 23. maj 2016. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ Dmitry Efremov . Ny Triangle Geometry Arkiveret 25. februar 2020 på Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 26. Kapitel I. Øvelser. s.33
↑ Bailey, Herbert og DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
↑ Victor Oxman og Moshe Stupel, "Hvorfor er kvadraternes sidelængder indskrevet i en trekant så tæt på hinanden?", Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Arkiveret 9. december 2017 på Wayback Machine

Litteratur

Hadamard J. Elementær geometri. Del 1: Planimetri. Ed. 4., Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik. — M .: Nauka, 1978.
- Genudgivelse: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Efremov D. Ny trekantgeometri . - Odessa, 1902. - 334 s.
Efremov D. D. Ny geometri af en trekant. Ed. 2. Serie: Physical and Mathematical Heritage (genoptrykt gengivelse af udgaven). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Myakishev A.G. Elementer af trekantgeometri . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex