Cevas sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 2. august 2022; checks kræver 6 redigeringer .

Cevas sætning er en klassisk sætning inden for affin geometri og trekantgeometri . Installeret i 1678 af den italienske ingeniør Giovanni Ceva .

Lad os definere en ceviana som et linjestykke, der forbinder et toppunkt i en trekant med et punkt på den modsatte side.

Tre cevianer i en trekant passerer gennem det samme punkt, hvis og kun hvis: $AA',BB',CC'$ $ABC$

{\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B))=1

Noter

Denne sætning er affin , det vil sige, den kan angives ved kun at bruge de egenskaber, der er bevaret under affine transformationer .

Denne sætning kan generaliseres til det tilfælde, hvor punkterne ligger på forlængelserne af siderne . For at gøre dette skal du bruge " forholdet mellem rettede segmenter ". Det er defineret for to kollineært rettede segmenter og og er angivet $A',B',C'$ $BC, CA, AB$ $XY$ $ZT$ ${XY}/{ZT}$
- Lad ligge på linjerne i trekanten . Linjer er
samtidige (dvs. parallelle eller skærer i samme punkt), hvis og kun hvis: $A',B',C'$ $BC, CA, AB$ $ABC$ $AA',BB',CC'$ ${\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1$

Poncelets sætning . Cevas oprindelige sætning kan generaliseres til tilfældet med en polygon med et ulige antal sider. Så kaldes det Poncelets sætning . Det lyder sådan her: rette linjer, der forbinder et punkt med hjørnerne af en polygon med et ulige antal sider, danner sådanne segmenter på de modsatte sider, at produktet af segmenterne, der ikke har fælles ender, er lig med produktet af de resterende segmenter (se punkt 23, s. 35 .i [1] )
Cevas trigonometriske sætning: ${\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac { \sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.$

I dette tilfælde betragtes vinklerne her som orienterede ; det vil sige , at der er en vinkel, hvormed en ret linje skal drejes mod uret for at få en ret linje .

\angleXYZ

XY

YZ

Beviser kendt

område metode ,
ved hjælp af massegeometri,
dobbelt anvendelse af Menelaos' sætning og mange andre.

Cheva leverede selv et bevis ved hjælp af massegeometri, men der er også andre beviser.

Se også

Litteratur

Balk M. B. , Boltyansky V. G. Massens geometri. - M . : Science , 1987. - ( Bibliotek "Quantum" )).
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
Myakishev A.G. Elementer af trekantgeometri. Serie: "Bibliotek" Matematisk Uddannelse "". M.: MTSNMO , 2002.
Filippovsky G. B. Teoremer af Ceva, Menelaus og Van Obel // Matematik. Alt for læreren! nr. 9 (21). September. 2012. s. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTsNMO , 2004. - S. 66-68. — ISBN 5-94057-170-0 .
Sjal, Michel . Om værket af Ceva, under titlen: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (i - 4°, Milano, 1678). // Historisk gennemgang af geometriske metoders oprindelse og udvikling. T. 2. M., 1883.
Giovanni Ceva . De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milano, 1678

Noter

↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. 2. udg. M.: Uchpedgiz, 1962. 153 s.