Point Gergonne

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. maj 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Point Gergonne
Trekant ΔABC, med indskrevet cirkel (blå), indskrevet cirkelcentrum I, rød trekant bygget af tangentpunkter Ta ,T b og T c og Gergonne-punkt (grøn, Ge)
barycentriske koordinater	${\frac {1}{-a+b+c)):{\frac {1}{a-b+c):{\frac {1}{a+bc))$
Trilineære koordinater	${\frac {bc}{-a+b+c}}:{\frac {ac}{a-b+c}}:{\frac {ab}{a+bc}}$
ECT kode	X(7)
Forbundne prikker
isotomisk konjugeret	Nagel point
Yderligere	mittenpunkt

Gergonne - punktet - skæringspunktet for segmenterne, der forbinder trekantens toppunkter med kontaktpunkterne på modsatte sider af den indskrevne cirkel .

Normalt betegnet med , , eller . $Ge$ $G$ $J$ $K$

Egenskaber

Gergonne- punktet er Lemoine-punktet i trekanten dannet af kontaktpunkterne mellem trekantens sider og den indskrevne cirkel.
Gergonne-punktet er isotomisk konjugeret med Nagel-punktet .
Gergonne -punktet er isogonalt konjugeret til midten af den negative homoteti af incircle og den omskrevne cirkel .
Kvadraten på afstanden fra Gergonne-punktet til midten af den indskrevne cirkel er

$L^{2}=r^{2}-{\frac {3p^{2}r^{2}}{(4R+r)^{2}}}$

Kvadraten på afstanden fra Gergonne-punktet til midten af den omskrevne cirkel er

${\displaystyle L^{2}=R^{2}-{\frac {4p^{2}r(R+r)}{(4R+r)^{2))))$

Gergonne-punktet ligger inde i en åben ortocentroid cirkel med et punkteret center. [en]
Et komplet sæt Gergonne-punktegenskaber kan findes i Dekovs artikel. [2]

Gergonnes trekant

Gergonne-trekanten for hovedtrekanten ABC er defineret af tre kontaktpunkter for den indskrevne cirkel af dens tre sider. Lad os betegne disse hjørner som T A , TB og T C . Punktet TA ligger modsat toppunktet A . Denne Gergonne-trekant T A T B T C er også kendt som tangency- trekanten i trekanten ABC .

Egenskaber

Tre linjer AT A , BT B og CT C skærer hinanden i et punkt - Gergonne-punktet og er betegnet med Ge - X(7) .
Trekantens Gergonne- punkt er skæringspunktet for Gergonne- trekantens symmedianer .
Lad kontaktpunkterne for cirklen indskrevet i den givne trekant være forbundet med segmenter, så vil Gergonne-trekanten vise sig, og højderne vil blive tegnet i den resulterende trekant. I dette tilfælde er linjerne, der forbinder baserne af disse højder, parallelle med siderne af den oprindelige trekant. Derfor er ortotrekanten i Gergonne-trekanten og den oprindelige trekant ens.
Gergonnes trekant (for trekant ABC ) er en undertrekant for incenteret i trekant ABC .

Se også

Historie

Gergonne-punktet blev opdaget af Joseph Diaz Gergonne (Joseph Diaz Gergonne, 06/19/1771 - 05/04/1859) i begyndelsen af det 19. århundrede .

Noter

↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Placeringen af trekantscentre // Forum Geometricorum. - 2006. - Udgave. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Computergenereret matematik: The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — S. 1–14. . Arkiveret fra originalen den 5. november 2010.