Trekant ulighed

Trekantuligheden i geometri , funktionel analyse og relaterede discipliner er en af afstandens intuitive egenskaber. Den siger, at længden af enhver side af en trekant altid er mindre end summen af længderne af dens to andre sider. Trekantuligheden indgår som et aksiom i definitionen af et metrisk rum , en norm osv.; også, det er ofte en sætning i forskellige teorier.

Euklidisk geometri

Ulighed

AC\leqslant AB+BC,

kører i enhver trekant . Desuden opnås lighed kun, når trekanten er degenereret , og punktet ligger strengt mellem og . $\trekant ABC$ $AC=AB+BC$ $B$ $EN$ $C$

Euklids elementer beviser trekantens ulighed som følger . Først bevises en sætning om, at den ydre vinkel i en trekant er større end den indre vinkel, der ikke støder op til den. Ud fra den udledes en sætning om, at en større indre vinkel ligger modsat den større side af trekanten. Ydermere, ved modsigelse, er sætningen bevist, at den største side ligger modsat den største indre vinkel i en trekant. Og fra denne sætning udledes trekantsuligheden.

Normeret mellemrum

Lade være et normeret vektorrum , hvor er et vilkårligt sæt og er en norm defineret på . Så, per definition af sidstnævnte, er det sandt: $(X,\|\cdot \|)$ $x$ $\|\cdot \|$ $x$

\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \foralt x,y\i X.

Hilbert space

I Hilbert-rummet er trekantens ulighed en konsekvens af Cauchy-Bunyakovsky-uligheden .

Metrisk mellemrum

Lade være et metrisk rum , hvor er et vilkårligt sæt og er en metrisk defineret på . Så per definition af det sidste $(X,\rho)$ $x$ $\rho$ $x$

\rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\i X.

Variationer og generaliseringer

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$ Stærk trekantulighed

Omvendt trekantulighed

En konsekvens af trekantens ulighed i normerede og metriske rum er følgende uligheder:

${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|xy\|,\quad x,y\in X;$
$|\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.$

Trekantuligheden for en trihedrisk vinkel

Hver flad vinkel i en konveks triedrisk vinkel er mindre end summen af dens to andre flade vinkler.

Vilkårligt antal point

Lad os betegne afstanden mellem punkterne og . Så gælder følgende ulighed: . Den opnås ved successivt at anvende trekantsuligheden for tre punkter: [1] $\rho (x_{i},x_{j})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+ \rho (x_{m-1},x_{m})$ $\rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho ( x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...$

Se også

Noter

↑ Shilov G. E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 28