Hjørne

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 31. juli 2022; checks kræver 15 redigeringer .

Hjørne
∠
Dimension	dimensionsløs
Enheder
SI	radian
Andre enheder	grad, minut, sekund , grader , tusindedel

Vinkel er en geometrisk figur dannet af to stråler ( sider af en vinkel), der kommer ud fra et punkt (som kaldes vinklens toppunkt ) [1] .

Generel information

Planet, der indeholder begge sider af vinklen, er delt af vinklen i to områder. Hvert af disse områder, kombineret med siderne af hjørnet, kaldes et fladt hjørne (eller bare et hjørne, hvis dette ikke forårsager forvirring). Et af de flade hjørner (normalt det mindste af de to) kaldes nogle gange konventionelt som internt , og det andet som eksternt . Punkter i en plan vinkel, der ikke hører til dens sider, danner det indre område af en plan vinkel .

I en anden, ækvivalent version af definitionen af en flad vinkel kaldes en del af planet, som er foreningen af alle stråler, der kommer ud fra et givet punkt ( vinklens toppunkt ) og skærer en linje, der ligger i dette plan (som kaldes den linje, der danner den givne flade vinkel) .

Ofte kaldes vinklen for kortheds skyld også vinkelmål , det vil sige det tal, der bestemmer vinklens størrelse.

Ud over de mest almindelige flade vinkler kan mere generelle objekter betragtes som vinkler - figurer dannet af skærende buer, halvplaner og andre figurer både i euklidisk og i andre typer geometri i metriske rum af forskellige dimensioner .

Udpegning af hjørner

Der er et generelt accepteret symbol for at betegne en vinkel: foreslået i 1634 af den franske matematiker Pierre Erigon . Tegnet er i Unicode ( U+2220 ∠ vinkel ). $\vinkel,$

I matematiske udtryk er vinkler ofte betegnet med små græske bogstaver: α, β, γ, θ, φ osv. Som regel anvendes disse betegnelser også på tegningen for at eliminere tvetydighed i valget af det indre område af \u200b \u200bhjørnet. For at undgå forveksling med pi bruges symbolet π generelt ikke til dette formål. Bogstaverne ω og Ω bruges ofte til at betegne rumvinkler (se nedenfor) .

Også ofte er vinklen angivet med tre symboler af punkter, for eksempel i en sådan notation - toppunktet, og og - de punkter, der ligger på forskellige sider af vinklen. I forbindelse med valget i matematik af retningen for at tælle vinkler mod uret, er det sædvanligt at opregne de punkter, der ligger på siderne i betegnelsen for vinklen også mod uret. Denne konvention giver mulighed for entydighed ved at skelne mellem to flade hjørner med fælles sider, men forskellige indre områder. I tilfælde, hvor valget af det indre område af et fladt hjørne er klart af sammenhængen eller angivet på anden måde, kan denne konvention blive overtrådt. Se variationer og generaliseringer . $\vinkel ABC.$ $B$ $EN$ $C$

Notationen af lige linjer, der danner siderne af en vinkel, er mindre almindeligt anvendt. For eksempel, - her antages det, at vi mener den indre vinkel af trekanten , α , som skal betegnes med . $\angle(bc)$ $\vinkel BAC$ $\angle(cb)$

Så for figuren til højre betyder indtastningerne γ , og den samme vinkel. $\vinkel ACB$ $\angle(ba)$

Nogle gange bruges små latinske bogstaver ( a, b, c, ...) og tal til at angive hjørner.

På tegningerne er hjørnerne markeret med små enkelt-, dobbelt- eller tredobbelte sjækler, der løber langs indersiden af hjørnet centreret i hjørnets spids. Vinklernes lighed kan markeres ved den samme mangfoldighed af buerne eller ved det samme antal tværgående slag på buen. Hvis det er nødvendigt at angive retningen af vinkelaflæsningen, er det markeret med en pil på buen. Rette vinkler markeres ikke af buer, men af to forbundne lige store segmenter arrangeret på en sådan måde, at de sammen med siderne danner en lille firkant, hvis ene hjørne falder sammen med vinklens toppunkt.

Vinkelmål

Vinkelmålet , som gør det muligt at sammenligne plane vinkler, kan introduceres som følger. To plane vinkler kaldes lige store (eller kongruente ), hvis de kan kombineres, så deres hjørner og begge sider falder sammen. Fra enhver stråle på planet i en given retning kan du afsætte en enkelt vinkel svarende til den givne. Hvis et hjørne kan placeres helt inde i et andet hjørne på en sådan måde, at toppunktet og en af siderne af disse hjørner falder sammen, så er det første hjørne mindre end det andet. Lad os kalde tilstødende to vinkler placeret således, at siden af den ene falder sammen med siden af den anden (og dermed spidserne falder sammen), men deres indre områder skærer ikke hinanden. En vinkel, der består af ikke-sammenfaldende sider af to tilstødende vinkler, kaldes en sammensætning af disse vinkler. Hver vinkel kan tildeles et nummer (vinkelmål) på en sådan måde, at:

lige vinkler svarer til lige vinkelmål;
en mindre vinkel svarer til et mindre vinkelmål;
ved en vinkel, hvis sider falder sammen (nul vinkel), er vinkelmålet nul (det samme gælder for vinklen mellem parallelle linjer);
hver ikke-nul vinkel har et bestemt vinkelmål større end nul;
(additivitet) vinkelmålet for en vinkel er lig med summen af vinkelmålene for de vinkler, som den er divideret i af enhver stråle, der passerer mellem dens sider.

I nogle notationssystemer, hvis der er behov for at skelne mellem en vinkel og dens mål, bruges notationen for vinklen (geometrisk figur), og for værdien af målet for denne vinkel, notationen $\angle ABC,$ $\widehat{ABC}.$

Vinklen måles:

i grader, minutter, sekunder ;
i radianer ;
i revolutioner ;
i grader, minutter, sekunder ;
i timer, minutter og sekunder ;
i tusindedele og divisioner af vinkelmåleren ;
i romber .

Det mest almindelige gradmål er grad, minut, sekund , hvor 1/180 af den udvidede vinkel tages som 1° (se nedenfor ), et minut og et sekund . Gradmålet bruges i elementær geometri (måle vinkler i tegninger med en vinkelmåler ), i geodæsi på et kort og på jorden (en meget nøjagtig anordning bruges til at måle vinkler på jorden - en stationcar / teodolit). $1'=1^{\circ }/60$ $1''=1'/60$

Radianmålet for en vinkel er forholdet mellem længden s af den kontraherende bue og dens radius r . Radianmålet bruges i matematisk analyse (for eksempel som et numerisk argument for trigonometriske funktioner og til at bestemme de numeriske (tabel- og grafiske ) værdier af inverse buefunktioner ), i planimetri og mekanik (når man overvejer rotation omkring en punkt eller akse og andre processer beskrevet ved hjælp af trigonometriske funktioner, vibrationer, bølger osv.).

Vinkler kan også måles i omdrejninger . En omdrejning er en fuld vinkel (det vil sige en vinkel på 360 grader). En vilkårlig vinkel siges at være x omdrejninger, hvis x er forholdet mellem længden s af den bue , der underbygger vinklen til længden L af cirklen, der indeholder denne bue.

Haglmålet til måling af vinkler blev foreslået til brug historisk, på nuværende tidspunkt er det næsten aldrig brugt, da det ikke har fortrængt den mere almindelige sexagesimale grad .

Målingen af vinkler i grader går tilbage til oldtidens Babylon , hvor det sexagesimale talsystem blev brugt , som spor er bevaret hos os i inddelingen af tid og vinkler. En grad (1/360 af en fuld vinkel) er opdelt i 60 bueminutter (eller bueminutter), til gengæld er et minut opdelt i 60 buesekunder (buesekunder). Mindre vinkler måles i subsekund-enheder, dannet ved hjælp af SI-præfikser (millisekunder af bue, mikrosekund af bue, osv.).

1 omgang = 2 π radianer = 360° = 400 grader .

I SI -systemet er den grundlæggende måleenhed for vinkel radianen .

I nautisk terminologi måles vinkler i punkter . 1 romb er lig med 1 ⁄ 32 af kompassets fulde cirkel (360 grader), dvs. 11,25 grader eller 11°15′.

I astronomi måles vinklen for ret ascension og timevinklen i det ækvatoriale koordinatsystem i timer, minutter og sekunder (henholdsvis 1 ⁄ 24 , 1 ⁄ 1440 og 1 ⁄ 86.400 af en fuld cirkel); dette skyldes vinkelhastigheden af Jordens aksiale rotation, som er cirka 1 omdrejning pr. 24 timer [2] . På en time (minut, sekund) af tiden "vender" himmelkuglen således omkring 1 time (minut, sekund) i vinkelmål. De resterende vinkelstørrelser i astronomi udtrykkes normalt i grader, minutter og buesekunder. Et sekund (minut) af højre ascension er lig med 15 sekunder (minutter) bue.

I artilleri- og våbenforretninger bruges også tusindedele og goniometerdivisioner .

I nogle sammenhænge, såsom at identificere et punkt i polære koordinater eller beskrive orienteringen af et objekt i to dimensioner i forhold til dets basisorientering, er vinkler, der adskiller sig med et helt antal fulde omdrejninger, faktisk ækvivalente. For eksempel, i sådanne tilfælde kan vinklerne 15° og 360015° (= 15° + 360°×1000) betragtes som ækvivalente . I andre sammenhænge, såsom identifikation af et punkt på en spiralkurve, eller beskrivelse af den kumulative rotation af et objekt i to dimensioner omkring dets oprindelige orientering, er vinkler, der adskiller sig med et helt tal, der ikke er nul, af komplette omdrejninger ikke ækvivalente.

Nogle flade hjørner har specielle navne. Ud over de ovennævnte måleenheder (radian, rhumb, grad osv.), omfatter disse:

kvadrant (ret vinkel, 1 ⁄ 4 cirkler);
sekstant ( 1 ⁄ 6 cirkler);
oktant ( 1 ⁄ 8 cirkel; desuden er en oktant i stereometri en trihedrisk vinkel dannet af tre indbyrdes vinkelrette planer),

Nogle gange måles vinkler (f.eks. hældningsvinklen på en overflade) ikke ved det faktiske vinkelmål, men ved dets tangent (eller sinus ), det vil sige forholdet mellem stigningen langs det skrå plan og projektionen på vandret af stien rejste langs den (eller til denne sti selv). For det sædvanlige tilfælde af små hældningsvinkler er dette forhold omtrent lig med vinklen udtrykt i radianer ( tan α ≈ sin α ≈ α , for α < 0,1 , er forskellen mellem disse værdier mindre end 1%). I dette tilfælde er forholdet normalt udtrykt som en procentdel eller ppm . For eksempel betyder en vejhældning på 10 %, at for hver 100 meters kørsel (projiceret på vandret) stiger vejen 10 m; vinklen til horisonten er arktan (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radianer. Denne metode til at måle vinkler er strengt taget ikke et vinkelmål, da den ikke har additivitetsegenskaben (se ovenfor ). Se også tilnærmelser for små vinkler .

Retning af tællevinkler

I matematik og fysik er den positive retning for at tælle vinkler normalt mod uret . Normalt begynder vinklen at blive målt fra strålen , hvis oprindelse falder sammen med centrum af koordinatsystemet (SC), og retningen falder sammen med den positive retning af abscisse- aksen (i polær SC, cylindrisk SC, sfærisk SC , SC på en trigonometrisk cirkel og andre).

I geografi og geodæsi tages retningen "mod nord " som udgangspunktet for vinklerne i azimut ; vinklen tælles med uret . Således svarer retningen "mod øst " til en azimutvinkel på 90 °, "mod syd " - 180 °, "mod vest " - 270 °. I artilleri er retningen af den polære akse " syd " og den tilsvarende polære vinkel kaldes også azimut (retningen " vest " svarer til en azimutvinkel på 90°).

Typer af vinkler

konveks vinkel
Ret vinkel
fuld vinkel
Skarpt hjørne
Stump vinkel
Drejet vinkel

Vinkler er navngivet efter deres størrelse.

Nul vinkel (0°); siderne af nulvinklen falder sammen, dens indre er det tomme sæt .
Akut hjørne (fra 0° til 90°, uden grænseværdier).
Ret vinkel (90°); sider af en ret vinkel er vinkelrette på hinanden.
Stump vinkel (fra 90° til 180°, uden grænseværdier).
Skrå vinkel (enhver anden end 0°, 90°, 180° eller 270°).
Udvidet vinkel (180°); siderne af en ret vinkel er to halvlinjer af en ret linje, det vil sige to stråler rettet i modsatte retninger.
Ikke-konveks vinkel (fra 0° til 180° inklusive).
Konveks vinkel (fra 180° til 360°, uden grænseværdier).
Fuld vinkel (360°) - se omdrejning (enhed) .

Bisector

Halveringslinjen (fra latin bi- "dobbelt" og sectio "skæring") af en vinkel er en stråle, der kommer ud fra vinklens toppunkt og passerer gennem dens indre område, som danner to lige store vinkler med dens sider. Afstanden mellem et hvilket som helst punkt i halveringslinjen fra siderne af vinklen er den samme (og omvendt ligger ethvert punkt i vinklens indre område, lige langt fra vinklens sider, på dets halveringslinje).

Flade hjørner

Udtrykket flad vinkel bruges som et synonym for udtrykket vinkel , defineret i begyndelsen af artiklen, for at skelne det fra begrebet en solid vinkel , der bruges i stereometri (herunder en dihedral, trihedral eller polyhedral vinkel).

Egenskaberne ved flade vinkler forstås ofte som forholdet mellem vinklerne (tilstødende, yderligere, tilstødende, lodret - se nedenfor) i det tilfælde, hvor vinklerne ligger i samme plan (for planimetri er dette underforstået af sig selv, men for solidt geometri, er afklaring nødvendig, ellers finder nedenstående forhold ikke sted, og selve vinklerne, hvis de ikke ligger i samme plan, kaldes ikke tilstødende eller tilstødende (lodret ligger altid i samme plan automatisk).

Lodrette og tilstødende vinkler

lodrette hjørner. To par vinkler (A og B, C og D) er parvis ens
tilstødende hjørner. Værdien af vinklen dannet af deres ydre (ikke fælles) sider er lig med summen af deres værdier (α + β)
Komplementære vinkler a og b (komplementerer hinanden op til en ret vinkel). Begge komplementære vinkler er spidse
Tilstødende vinkler - i denne figur, spidse (α) og stumpe (β) - danner en ret vinkel (α + β)
Konjugerede vinkler - danner en fuld vinkel (360 °); i denne figur et bestemt eksempel: 150° + 210° = 360°

Lodrette vinkler - 2 vinkler på et plan, der dannes, når 2 ikke-parallelle linjer skærer hinanden. Disse 2 hjørner har ikke fælles sider (det vil sige, at siderne af det ene hjørne er en forlængelse af siderne af det andet). Deres vigtigste egenskab: lodrette vinkler er ens .
Integralvinkler er 2 vinkler i 1 plan, der deler 1 toppunkt og 1 af 2 sider, men som ikke skærer indvendigt. Værdien af vinklen dannet af 2 eksterne (ikke fælles ) sider af de inkluderede vinkler er lig med summen af værdierne af de inkluderede vinkler selv (i figuren α + β).

Særlige tilfælde af tilstødende vinkler.

Hvis de inkluderede vinkler er ens, så er deres fælles side en halveringslinje .

Komplementære vinkler er to vinkler med et fælles toppunkt på planet, hvor den ene af siderne er fælles, og de resterende sider danner en ret vinkel. Summen af de komplementære vinkler er 90°. Sinus , tangent og sekant af en vinkel er lig med henholdsvis cosinus , cotangens og cosecans af den komplementære vinkel.

Tilstødende vinkler - 2 vinkler med 1 fælles toppunkt på planet, hvoraf 1 af 2 sider er fælles , og de resterende 2 sider ligger på 1 lige linje (ikke sammenfaldende). Summen af 2 tilstødende vinkler er 180°. Det vil sige, at 2 tilstødende vinkler på planet er 2 tilstødende vinkler , hvilket giver i alt 180 °.

Konjugerede vinkler - 2 vinkler på planet, der har 1 toppunkt og 2 sider til fælles , langs hvilke de støder op (grænser) til hinanden, men adskiller sig i indre områder; foreningen af sådanne 2 vinkler er hele planet, og som inkluderede vinkler danner de en samlet vinkel; summen af deres størrelser er 360°.

Plane hjørner med (anti)parallelle sider

Vinkler, hvis sider er parvis parallelle og codirectional (eller parvis parallelle og modsat rettede) er lig med hinanden. Et par vinkler, hvor det ene par sider er parallelle og rettet mod hinanden, og det andet par af sider er parallelle og modsat rettede, lægges sammen til en ret vinkel og derefter 180° (se figur) - da de kan omdannes til tilstødende vinkler ved parallel translation ( "limning" af de codirectionale sider).

Vinkler med indbyrdes vinkelrette sider

To vinkler med indbyrdes vinkelrette sider er ens, hvis de begge er spidse eller begge stumpe.

Eksternt hjørne af en trekant

Trekantets udvendige vinkelsætning . Den ydre vinkel i en trekant er lig med summen af de to resterende vinkler i trekanten, som ikke støder op til den ydre vinkel.

Polygonvinkler

Summen af indvendige vinkler α i af en vilkårlig n -gon uden selvskæringer er $\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} .$

Så,

summen af de indre vinkler i en trekant er 180°,
firkant - 360 °,
femkant - 540 ° og så videre.

Konsekvens

Lad os kalde den ydre vinkel β i (opmærksom, dette er ikke den sædvanlige definition af en ydre vinkel) den vinkel, der komplementerer den indre vinkel α i til en fuld vinkel: β i = 360° − α i .

Summen af de ydre vinkler af en vilkårlig n -gon uden selvskæringer er $\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} .$

Central og indskrevet vinkel

Enhver bestemt cirkelbue kan associeres med en enkelt central og et uendeligt antal indskrevne vinkler.

Centralt hjørne
Indskrevet vinkel

En central vinkel er en vinkel med et toppunkt i midten af cirklen . Værdien af den centrale vinkel er lig med gradmålet for den bue, der er indesluttet mellem siderne af denne vinkel.
En indskrevet vinkel er en vinkel, hvis toppunkt ligger på en cirkel, og hvis sider skærer cirklen. Værdien af en indskrevet vinkel er lig med halvdelen af gradmålet for den bue, der er afgrænset af dens sider. Alle indskrevne vinkler under den samme bue er lige store.

Værdien af den indskrevne vinkel er lig med halvdelen af værdien af den centrale vinkel baseret på bunden af cirklen på den samme bue (se fig.).

Variationer og generaliseringer

Værdien af den orienterede vinkel mellem de rette linjer og (notation: ) er værdien af den vinkel, som den rette linje skal drejes med mod uret , så den bliver parallel med den rette linje . I dette tilfælde er vinkler, der adskiller sig med n 180 ° ( n er et heltal) betragtes som lig. Den orienterede vinkel mellem linjerne og er ikke lig med den orienterede vinkel mellem linjerne og (de summerer op til 180° eller, efter konvention, det samme, 0°). Orienterede vinkler har følgende egenskaber: a) b) c) punkter, der ikke ligger på samme rette linje, tilhører den samme cirkel, hvis og kun hvis $AB$ $CD$ $\angle(AB,CD)$ $AB$ $CD.$ $CD$ $AB$ $AB$ $CD$ $\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB);$ $\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF);$ $A,B,C,D$ $\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).$

En række praktiske problemer fører til, at det er hensigtsmæssigt at betragte vinklen som en figur opnået ved at rotere en fast stråle omkring punktet O (hvorfra strålen udgår) til en given position. I dette tilfælde er vinklen et mål for strålens rotation. En sådan definition giver os mulighed for at generalisere begrebet en vinkel ved at udvide dens definitionsdomæne til hele tallinjen : der indføres vinkler større end 360°, afhængigt af rotationsretningen skelnes positive og negative vinkler . I trigonometri tillader en sådan overvejelse at studere trigonometriske funktioner for alle værdier af argumentet. $(-\infty ; +\infty)$

Begrebet vinkel er generaliseret til den rumvinkel , der betragtes i stereometri .

Solid vinkel

En generalisering af en plan vinkel til stereometri er en rumvinkel - en del af rummet, som er foreningen af alle stråler, der kommer ud fra et givet punkt ( vinklens toppunkt ) og skærer en overflade (som kaldes den overflade, der dækker givet rumvinkel).

Massive vinkler måles i steradianer (en af de grundlæggende SI-enheder) såvel som i enheder uden for systemet - i dele af en fuld kugle (det vil sige en fuld rumvinkel på 4 π steradianer), i kvadratgrader, kvadratminutter og kvadratsekunder.

Massive vinkler er især følgende geometriske legemer:

dihedral vinkel - en del af rummet afgrænset af to krydsende planer;
trihedral vinkel - en del af rummet afgrænset af tre krydsende planer;
polyedrisk vinkel - en del af rummet afgrænset af flere planer, der skærer hinanden i et punkt.

En dihedral vinkel kan karakteriseres ved både en lineær vinkel (vinklen mellem planerne, der danner den) og en solid vinkel (ethvert punkt på dens kant , det direkte skæringspunkt mellem dens flader, kan vælges som et toppunkt). Hvis den lineære vinkel for en dihedrisk vinkel (i radianer) er φ , så er dens rumvinkel (i steradianer) 2 φ .

Vinkel mellem kurver

Både i planimetri og solid geometri, såvel som i en række andre geometrier, er det muligt at bestemme vinklen mellem glatte kurver i skæringspunktet: pr. definition er dens værdi lig med vinklen mellem tangenterne til kurverne ved skæringspunkt.

Vinkel og prik produkt

Begrebet en vinkel kan defineres for lineære rum af vilkårlig karakter (og vilkårlige, inklusive uendelig dimension), hvor et positivt bestemt skalarprodukt mellem to elementer i rummet er aksiomatisk introduceret, og Det skalære produkt giver os også mulighed for at definere den so- kaldet norm ( længde ) af et element som kvadratroden af produktelementet på sig selv . fra −1 til 1, og ekstremværdierne nås, hvis og kun hvis elementerne er proportionale ( kollineære ) med hinanden (geometrisk set er deres retninger ens eller modsat). Dette gør det muligt at tolke relationen som cosinus af vinklen mellem elementerne og Især siges elementerne at være ortogonale , hvis prikproduktet (eller cosinus af vinklen) er nul. $(x,y)$ $x$ $y.$ $||x||=\sqrt{(x,x)}.$ $|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $\frac {(x,y)} {||x||\cdot ||y||}$ $x$ $y.$

Især kan man introducere begrebet en vinkel mellem funktioner kontinuert på et bestemt interval , hvis vi introducerer standard skalarproduktet så defineres funktionsnormerne som Derefter defineres vinklens cosinus på standardmåden som forholdet mellem det skalære produkt af funktioner til deres normer. Funktioner kan også kaldes ortogonale , hvis deres prikprodukt (integralet af deres produkt) er nul. $[a,b]$ $(f,g)=\int^b_a f(x) g(x) dx,$ $||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx.$

I Riemannsk geometri kan man på samme måde bestemme vinklen mellem tangentvektorer ved hjælp af den metriske tensor .Skalarproduktet af tangentvektorer og i tensornotation vil have formen: henholdsvis vektorernes normer - og Derfor vil vinklens cosinus vil bestemmes af standardformlen for forholdet mellem det angivne skalarprodukt og normerne for vektorer: $g_{ij}.$ $u$ $v$ $(u,v)=g_{ij}u^iv^j,$ $||u||=\sqrt{|g_{ij}u^iu^j|}$ $||v||=\sqrt{|g_{ij}v^iv^j|}.$ $\cos \theta = \frac {(u,v)} {||u||\cdot ||v||} = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt{|g_{ij }u^iu^j|\cdot |g_{ij}v^iv^j|} }.$

Vinkel i metrisk rum

Der er også en række værker, hvor begrebet en vinkel mellem elementer i et metrisk rum introduceres.

Lad være et metrisk rum . Lad yderligere være elementer i dette rum. $(X,\rho)$ $x,y,z$

K. Menger introducerede begrebet en vinkel mellem toppunkter og med et toppunkt i et punkt $y$ $z$ $x$ som et ikke-negativt tal , der opfylder tre aksiomer: $\widehat{yxz}$

$\widehat{yxz}=\widehat{zxy}$
$\widehat{yxz}=0$ hvis og kun hvis $\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|$
$\widehat{yxz}=\pi$ hvis og kun hvis $\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)$

I 1932 betragtede Wilson følgende udtryk som en vinkel:

$\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y )\rho(x,z)}$

Det er let at se, at det introducerede udtryk altid giver mening og opfylder Mengers tre aksiomer.

Derudover har Wilson-vinklen den egenskab, at den i det euklidiske rum svarer til vinklen mellem elementer og i betydningen euklidisk rum. $yx$ $zx$

Måling af vinkler

Et af de mest almindelige værktøjer til at konstruere og måle vinkler er en vinkelmåler (samt en lineal - se nedenfor); som regel bruges det til at konstruere en vinkel af en vis størrelse. Der er udviklet mange værktøjer til at måle vinkler mere eller mindre præcist:

goniometer ;
goniometer - en enhed til laboratoriemåling af vinkler;
kipregel er et geodætisk goniometrisk instrument.

Vinkelafstanden (eller blot vinklen) mellem to objekter for iagttageren er målet for den vinkel i toppen af hvilken observatøren er placeret, og genstandene ligger på siderne. Hånden kan bruges til groft at estimere vinklerne mellem to fjerne objekter. Ved armlængde svarer en vinkelafstand på 1 grad (1°) til lillefingerens bredde (se også nedenfor; vinkelbredden af langfingeren i armslængde er ca. 2°), en vinkel på 10 grader i forhold til bredden af en knyttet næve placeret vandret (eller diameter håndfladen), en vinkel på 20 grader (eller omkring 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - afstanden mellem spidserne af den fraskilte tommelfinger og pegefinger ( span ), og den vinkelformede afstanden fra enden af lillefingeren til enden af tommelfingeren er cirka en fjerdedel af den rette vinkel . Disse er gennemsnitlige data. Det anbefales at forfine dem for din egen hånd.

Forskellige metoder og enheder til måling af vinkler er kendetegnet ved vinkelopløsning , det vil sige den mindste vinkel, der kan måles ved hjælp af denne metode. Den bedste vinkelopløsning besiddes af forskellige interferometriske metoder, som i nogle tilfælde gør det muligt at måle vinkler på flere mikrosekunder bue (~10 -11 radianer).

Eksempler på praktiske trigonometriske målinger

Løsning af problemer på en enkel måde

Hvordan man måler en vinkel (for eksempel på et kort ) ved hjælp af siderne af en trekant (for eksempel i mangel af en teknisk/trigonometrisk lommeregner (og tabeller ) og ingen pc ( MS Office Excel ) til at beregne cos) og improviseret betyder - linealer med millimeterinddelinger?
På siderne af hjørnet skal du afsætte segmenter på 60 mm og forbinde enderne med en lige linje. Længden af denne linje i millimeter vil give den omtrentlige værdi af vinklen i grader. På denne måde kan spidse vinkler op til 60° måles med tilstrækkelig (acceptabel) nøjagtighed. Hvis vinklen er større end 60°, mål dens komplement til 90°, 180, 270° eller 360°. For at måle additionen til 90 ° eller 270 ° fra vinklens toppunkt konstrueres en vinkelret på en af siderne ved hjælp af en trekant (i en ligebenet trekant - medianen er halveringslinjen , det er også højden ).

Hvordan måler man vinklen med en lineal (for visuel orientering på jorden ... og sammenligner vinklen på kortet - se punkt 1)?
Placer en lineal med millimeterinddelinger foran dig i en afstand på 57 cm ( ikke mere end 60 cm ) fra øjet. I dette tilfælde vil en opdeling på 1 cm svare til en synsvinkel på 1°. Du kan nemt verificere gyldigheden af denne metode, hvis du husker, at buen af den centrale vinkel på 1 ° er cirka 1/57 af radius. Nøjagtigheden af at måle vinkler med en lineal (såvel som med fingre; se nedenfor) afhænger af nøjagtigheden af linealens (eller fingrenes) position i den nødvendige afstand fra øjet. Dette kan hurtigt trænes ved hjælp af en tråd, hvis længde svarer til afstanden fra øjet til fingrene på den udstrakte hånd.

Hvordan kan vinkler måles og plottes på jorden uden brug af goniometre?
Dette kan gøres enklest ved at sammenligne den målte vinkel med en ret vinkel. Du kan afsætte en ret vinkel med hændernes retninger, hvoraf den ene er forlænget langs skuldrene, og den anden med løftet tommelfinger er rettet således, at højre hånds finger er foran højre øje (hhv. venstre hånds finger er foran venstre øje). En ret vinkel kan visuelt opdeles i to eller tre lige store dele, som hver vil svare til 45 ° eller 30 °.
Mindre vinkler kan sættes til side eller måles på jorden på følgende måde. Først og fremmest måler du bredden af de tre lukkede fingre på din hånd med en lineal: indeks, midterste og ring. Hvis du har det lig med 6 cm, så med din arm strakt 60 cm, vil synsvinklen på dem være cirka 6 °. Følgelig vil synsvinklen for hver af disse tre fingre være lig med et gennemsnit på 2°. Hvis du får bredden på tre fingre, for eksempel 5 cm, så skal hånden forlænges med 50 cm, for at synsvinklerne skal være ens.

Med armen strakt er synsvinklen på tommel- og pegefinger, spredt fra hinanden i en ret vinkel, cirka 15°. Hvordan kan jeg kontrollere og verificere dette?
Først og fremmest skal du bemærke et vartegn på jorden og afsætte en 90 ° vinkel fra det. Dette kan gøres ved hjælp af teknikken beskrevet i den foregående opgave. Fra landemærket skal du derefter afsætte seks vinkler på 15 ° ved at se på tommelfingeren og pegefingeren, spredt fra hinanden i en ret vinkel. Den sidste aflejring af vinklen skal danne en ret vinkel på jorden. Hvis dette ikke lykkedes nøjagtigt, skal du gentage aflejringerne, mens du holder den udstrakte hånd lidt tættere på eller længere fra øjet (ca. 60 cm). Dette vil bestemme den afstand, du skal bruge for at forlænge din arm for at lave en 15° vinkel [3] .

Vinkler kan også beregnes (beregnes) ved hjælp af forskellige måleinstrumenter og armaturer - ved hjælp af trigonometri på en tællelineal , en teknisk lommeregner (inklusive en lommeregner (Windows) ), ved hjælp af MS Office Excel tabelfunktioner : (1) cos , (2) derefter arccos , og (3) konverter, også med funktioner , værdien af radianer til grader (°) (hvis du har en pc; der er også online-beregninger af vinklerne i en trekant langs givne sider); Der er også specielle trigonometriske tabeller: sin, cos, såvel som arccos, arcsin, sidstnævnte kan forresten (herunder oftest) konverteres til grader.

I analytisk geometri er vinklen mellem linjer i koordinatplanet for eksempel givet af ligningen:

\alpha ={\mathrm {arctg}}\,\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|

(se Lineær funktion ; se også #Vinkel og prikprodukt )

Noter

↑ Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
↑ Faktisk er den sande periode for Jordens omdrejning i forhold til fiksstjernerne omkring 4 minutter kortere end 24 timer, se siderisk tid .
↑ Kuprin A. M. På jorden og på kortet. - M. Nedra, 1982. - 112 s.

Se også

Azimuth (astronomi)
Azimuth (geodæsi)
Antiparallelle linjer
blænde vinkel
Astronomisk brydning
Dihedral vinkel
Retningsvinkel
isogone
Castor (hjørne)
Magnetisk azimut
Polygon
Skrænt , skråning
Ortogonalitet
Parallelle linjer
Rotationsvinkel
Positionsvinkel og vinkelafstand ( polære koordinater )
polygonometri
Løsning af trekanter
Rumb
Syngony
Deklination (astronomi) og timevinkel ( himmelske koordinatsystemer )
Solid vinkel
trihedral vinkel
Triangulering
Trigonometrisk parallakse og parallaksevinkel
Trigonometri
Vinkelhastighed (& CAV )
hjørne frekvens
Vinkelopløsning
Vinkelacceleration
Hældning ( lineær )
Vinkel dimension
Euler vinkler
højdevinkel
Synsvinkel
Linsens synsfeltsvinkel
glidevinkel
Kategori: Hjørner

Litteratur

Barabanov O. O. Begyndelsen af en ret vinkels historie // Videnskabens og teknologiens historie. - 2015. - Nr. 1 . - S. 16-27 . '
Pogorelov A. V. Geometri: en lærebog for klasse 7-11 i gymnasiet . - M .: Uddannelse , 1992. - 383 s. — ISBN 9785090038546 .
Sidorov L. A. Angle // Mathematical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Dihedral vinkel // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M. : MTsNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
Goniometre / Vinkel (flad) // Great Soviet Encyclopedia (i 30 bind) / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : "Sovjetisk Encyklopædi", 1977. - T. XXVI. — S. 459‒460. — 624 s.
Weisstein, Eric W. Line Bisector (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Angle (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Weisstein, Eric W. Polygon (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
K. Menger. New Fondations of Euclidean Geometry // THE AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS 53: tidsskrift. - 1931. - S. 721-745 .
W. A. Wilson. Om vinkler i visse metriske rum (engelsk) // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - S. 580‒588 .