Absolut værdi

Den absolutte værdi , eller modul , af et tal (i matematik ) er et ikke- negativt tal , som uformelt set angiver afstanden mellem oprindelsen og . Udpeget: $x$ $x$ $|x|.$

I tilfælde af en reel værdi er den absolutte værdi en kontinuerlig stykkevis lineær funktion defineret som følger: $x$

|x|={\begin{cases}x,&x>0,\\0,&x=0,\\-x,&\ x<0.\end{cases))

En generalisering af dette begreb er modulet , eller den absolutte værdi [1] , af et komplekst tal. Dette tal bestemmes af formlen: $z=x+iy.$

|z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Grundlæggende egenskaber

Fra et geometrisk synspunkt er modulet af et reelt eller komplekst tal afstanden mellem tallet og oprindelsen. I matematik bruges det faktum i vid udstrækning, at en størrelse geometrisk betyder afstanden mellem punkter og , og dermed kan bruges som et mål for en (reel eller kompleks) størrelses nærhed til en anden - for eksempel ved bestemmelse af Cauchy grænse eller median [2] . $|x_{1}-x_{2}|$ $x_{1}$ $x_{2}$

Reelle tal

Omfang : $(-\infty ;+\infty ).$
Rækkevidde : $[0;+\infty ).$
Funktionen er jævn .
Funktionen er differentierbar overalt undtagen nul. På et tidspunkt undergår funktionen et knæk . $x=0$

Komplekse tal

Definitionsdomæne: hele det komplekse plan .
Værdiinterval: $[0;+\infty ).$
Modulet som kompleks funktion er ikke differentierbart på noget tidspunkt, da Cauchy-Riemann-betingelserne ikke er opfyldt.

Algebraiske egenskaber

For alle reelle tal gælder følgende relationer: $a,b$

$\ |x|={\sqrt {x^{2}}}=x\cdot \operatørnavn {sgn} x={\rm {max}}\,\{x,\,-x\}$ ( sgn er tegnfunktionen);
$a\leqslant |a|;$
$-|a|\leqslant a;$
kvadratet af et tals modul er lig med kvadratet af dette tal: $|a|^{2}=a^{2}.$

For både reelle og komplekse relationer finder følgende relationer sted: $a,b$

modulet af ethvert tal er lig med eller større end nul: , og hvis og kun hvis $|a| \geqslant 0$ $|a|=0$ $a=0;$
moduler med modsatte tal er ens: $|{-a}|=|a|;$
modulet af produktet af to (eller flere) tal er lig med produktet af deres moduler: $|ab|=|a||b|;$
- især kan en konstant positiv faktor tages ud af modultegnet: $|ab|=a|b|,\quad a>0;$
modulet for divisionskvotienten af to tal er lig med divisionskvotienten af modulet af disse to tal: $\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}});$
$|a+b| \leqslant |a|+|b|$ ( trekant ulighed );
$|ab|\leqslant |a|+|b|;$
$|a|-|b|\leqslant |a+b|;$
$|a\pm b|\geqslant {\big |}|a|-|b|{\big |};$
$|a^{k}|=|a|^{k},$ hvis findes. $a^k$

Historie

Det menes, at udtrykket blev foreslået brugt af Kots , en studerende fra Newton . Leibniz brugte også denne funktion, som han kaldte modulet og betegnede: mol. Den generelt accepterede notation for absolut størrelse blev indført i 1841 af Weierstrass . For komplekse tal blev dette koncept introduceret af Cauchy og Argan i begyndelsen af det 19. århundrede.

I programmeringssprog

Da denne funktion beregnes ganske enkelt (nemlig ved hjælp af sammenligninger og tildelinger ), er den normalt inkluderet i standardlisten over funktioner i alle programmeringssprog . For eksempel har Pascal funktionen abs(x), mens C har fabs(x) for den rigtige type . I Wolfram Mathematica: Abs[x].

Generalisering

Begrebet en absolut værdi kan introduceres i en vilkårlig ordnet ring eller et ordnet felt , og dets egenskaber vil ligne dem, der er angivet ovenfor.

En generalisering af begrebet et modul kan betragtes som normen for et element i et flerdimensionelt vektorrum , betegnet med . Normen for en vektor i det euklidiske rum kaldes nogle gange også modulet. I analogi med modulet for forskellen mellem tal er normen for forskellen mellem to vektorer et mål for nærheden mellem dem. I modsætning til modulet af et tal kan normen for en vektor defineres på forskellige måder, men i tilfælde af et endimensionelt rum er normen for en vektor proportional med (ofte lig med) modulet af dens enkelte koordinat. $\|x\|$

Se også

Noter

↑ Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1.
↑ Definitionen af medianen som et tal (punkt), der minimerer summen af afstande til et bestemt sæt . (ubestemt)

Ordbøger og encyklopædier	Stor russer Great Soviet (1 udg.) Great Soviet (1 udg.) Teknisk (1 udg.) Britannica (online)