Napoleon peger

Napoleonpunkter i geometri er et par specielle punkter i en trekants plan . Legenden tilskriver opdagelsen af disse punkter den franske kejser Napoleon I , men hans forfatterskab er tvivlsomt [1] . Napoleonpunkterne er blandt de bemærkelsesværdige punkter i en trekant og er opført i Encyclopedia of Triangle Centres som punkterne X(17) og X(18).

Navnet "Napoleon-punkter" anvendes også på forskellige par af trekantcentre, bedre kendt som isodynamiske punkter [2] .

Bestemmelse af point

Napoleons første punkt

Lad ABC være en hvilken som helst trekant i planet . På siderne BC , CA , AB af trekanten konstruerer vi de ydre regulære trekanter henholdsvis DBC , ECA og FAB . Lad tyngdepunkterne i disse trekanter være henholdsvis X , Y og Z. Så skærer linjerne AX , BY og CZ et punkt, og dette punkt N1 er det første (eller ydre) Napoleonpunkt i trekanten ABC .

Trekant XYZ kaldes den ydre Napoleon-trekant af trekant ABC . Napoleons sætning siger, at denne trekant er regelmæssig .

I Encyclopedia of Triangle Centres er Napoleons første punkt betegnet som X(17). [3]

Trilineære koordinater for punkt N1:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6} }\right),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{ 3}}\right),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right) \right)\end{aligned}}

Barycentriske koordinater for punkt N1:

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right), c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Napoleons andet punkt

Lad ABC være en hvilken som helst trekant i planet . På siderne BC , CA , AB af trekanten bygger vi interne ligesidede trekanter henholdsvis DBC , ECA og FAB . Lad X , Y og Z være tyngdepunkterne i disse trekanter. Så skærer linjerne AX , BY og CZ et punkt, og dette punkt N2 er det andet (eller indre) Napoleonpunkt i trekanten ABC .

Trekant XYZ kaldes den indre Napoleon-trekant af trekant ABC . Napoleons sætning siger, at denne trekant er regelmæssig .

I Encyclopedia of Triangle Centres er Napoleons andet punkt betegnet som X(18). [3]

Trilineære koordinater for punkt N2:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6))\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{ 6}}\right),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right) \right)\end{aligned}}

Barycentriske koordinater for punkt N2:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right ),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

To punkter, der er tæt forbundet med Napoleons punkter, er Fermats punkter (X13 og X14 i Encyclopedia of Points). Hvis vi i stedet for linjer, der forbinder tyngdepunkterne af ligesidede trekanter med de tilsvarende spidser, tegner linjer, der forbinder spidserne af ligesidede trekanter med de tilsvarende spidser i den oprindelige trekant, vil de tre linjer, der er konstrueret på denne måde, skære hinanden i et punkt. Skæringspunkterne kaldes Fermats punkter og betegnes som F1 og F2. Skæringspunktet mellem Fermat-linjen (det vil sige linjen, der forbinder to Fermat-punkter) og Napoleon-linjen (det vil sige linjen, der forbinder to Napoleon-punkter) er trekantens symmedian (punkt X6 i Encyclopedia of Centers).

Egenskaber

En Kiepert hyperbel er en afgrænset hyperbel, der passerer gennem et tyngdepunkt og et ortocenter . Hvis vi bygger lignende ligebenede trekanter på siderne af en trekant (udad eller indad), og derefter forbinder deres hjørner med de modsatte hjørner af den oprindelige trekant, så vil tre sådanne linjer skære hinanden på et punkt, der ligger på Kiepert-hyperbelen. Især på denne hyperbel ligger Torricelli-punkterne og Napoleon-punkterne (Cevianske skæringspunkter, der forbinder hjørnerne med centrene af regelmæssige trekanter bygget på modsatte sider) [4] .

Generaliseringer

Resultatet om eksistensen af Napoleon-punkter kan generaliseres på forskellige måder. Ved bestemmelse af Napoleonpunkterne brugte vi ligesidede trekanter bygget på siderne af trekanten ABC og valgte derefter X-, Y- og Z-centrene for disse trekanter. Disse centre kan betragtes som hjørnerne af ligebenede trekanter bygget på siderne af trekanten ABC med basisvinkel π/6 (30 grader). Generaliseringer betragter andre trekanter, som er konstrueret på siderne af trekanten ABC, har lignende egenskaber, det vil sige, at linjerne, der forbinder hjørnerne af de konstruerede trekanter med de tilsvarende spidser i den oprindelige trekant, skærer hinanden i et punkt.

Ligebenede trekanter

Denne generalisering siger: [5]

Hvis tre trekanter XBC, YCA og ZAB er bygget på siderne af trekanten ABC, er ens , ligebenede med baser på siderne af den oprindelige trekant, og er placeret ligeligt (det vil sige, at de alle er bygget udefra, eller alle er bygget indefra), så skærer linjerne AX, BY og CZ et punkt N.

Hvis den fælles vinkel ved basen er , så har hjørnerne af de tre trekanter følgende trilineære koordinater. $\theta$

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta),-\sin \theta )$

Trilineære koordinater for punkt N

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Flere særlige tilfælde.

Betyder $\theta$	Prik $N$
0	G, tyngdepunkt af trekant ABC (X2)
π /2 (eller - π /2)	O, orthocenter af trekanten ABC(X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ [6]	Spieker Center (X10)
π /4	Vecten-punkter (X485)
— π/4	Vecten-punkter (X486)
π /6	N1, Napoleons første punkt (X17)
- π /6	N2, andet Napoleon-punkt (X18)
π /3	F1, 1. Farm Point (X13)
- π /3	F2, andet Fermat-punkt (X14)
- A (hvis A < π /2) π — A (hvis A > π /2)	Toppunkt A
- B (hvis B < π /2) π - B (hvis B > π /2)	Pinnacle B
- C (hvis C < π /2) π — C (hvis C > π /2)	Vertex C

Desuden er stedet for punkterne N, når vinklen ved bunden af trekanter mellem -π/2 og π/2 ændres, en hyperbel $\theta$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0,

hvor er de trilineære koordinater for punktet N i trekanten. $x,y,z$

Historie

Denne hyperbel kaldes Kiepert-hyperbelen (til ære for den tyske matematiker Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934 [5] som opdagede den ). Denne hyperbel er det eneste keglesnit, der går gennem punkterne A, B, C, G og O.

Bemærk

Spieker Centret har en meget lignende ejendom . Spiekers centrum S er skæringspunktet mellem linjerne AX , BY og CZ , hvor trekanter XBC , YCA og ZAB er ens, ligebenede og ligeligt placeret, bygget på siderne af trekanten ABC udefra og har samme vinkel ved bunden [ 6] . $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$

Lignende trekanter

For at de tre linjer AX, BY og CZ skal skære hinanden i ét punkt, behøver trekanter XBC, YCA og ZAB bygget på siderne af trekanten ABC ikke at være ligebenede [7] .

Hvis lignende trekanter XBC, AYC og ABZ bygges udefra på siderne af en vilkårlig trekant ABC, så skærer linjerne AX, BY og CZ hinanden i et punkt.

Vilkårlige trekanter

Linjerne AX, BY og CZ skærer hinanden på et punkt selv under svagere forhold. Følgende betingelse er en af de mest generelle betingelser for, at linjerne AX, BY og CZ skærer hinanden i et punkt [7] .

Hvis trekanter XBC, YCA og ZAB bygges udefra på siderne af trekanten ABC, så ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY, så skærer linjerne AX, BY og CZ et punkt.

Om opdagelsen af Napoleons punkter

Coxeter og Greitzer formulerer Napoleons sætning som følger: Hvis ligesidede trekanter bygges udefra på siderne af en trekant, danner deres centre en ligesidet trekant . De bemærker, at Napoleon Bonaparte var lidt af en matematiker og havde en stor interesse for geometri, men de tvivler på, at han var tilstrækkeligt uddannet i geometri til at opdage den sætning, der blev tillagt ham [1] .

Den tidligste bevarede publikation med prikker er en artikel i den årlige "Kvindernes Dagbog" (Kvindernes Dagbog, 1704-1841) i 1825-nummeret. Sætningen var en del af et svar på et spørgsmål sendt af W. Resenford, men denne publikation nævner ikke Napoleon.

I 1981 offentliggjorde den tyske matematikhistoriker Christoph J. Scriba sin forskning i spørgsmålet om at tildele point til Napoleon i tidsskriftet Historia Mathematica [8] .

Se også

Van Obels sætning
Point Farm
Vecten-punkter er et par trekantede centre konstrueret på samme måde som Napoleon-punkter ved hjælp af kvadrater i stedet for ligesidede trekanter.

Noter

↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , s. 61-64.
↑ Rigby, 1988 , s. 129-146.
↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centres . Hentet: 2. maj 2012. (ubestemt)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., Supplerende - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Eddy, Fritsch, 1994 , s. 188-205.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ 1 2 de Villiers, 2009 , s. 138-140.
↑ Scriba, 1981 , s. 458-459.

Litteratur

JF Rigby . Napoleon revisited // Journal of Geometry. - 1988. - T. 33 , no. 1-2 . - S. 129-146 . - doi : 10.1007/BF01230612 .
The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67. juni , Nr. 3 . - doi : 10.2307/2690610 .
Michael de Villiers. Nogle eventyr i euklidisk geometri. - Dynamisk matematiklæring, 2009. - ISBN 9780557102952 .
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Geometri Revisited. - Mathematical Association of America, 1967. Oversat af G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nye møder med geometri. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Library of the Mathematical Circle).
Christoph J Scriba. Hvem kom 'Napoleons Satz' til navnene? // Historia Mathematica. - 1981. - T. 8 , no. 4 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
Stachel, Hellmuth. Napoleons sætning og generaliseringer gennem lineære kort // Bidrag til algebra og geometri: tidsskrift. - 2002. - Bd. 43 , nr. 2 . - S. 433-444 .
Grünbaum, Branko . En slægtning til "Napoleons sætning" (neopr.) // Geombinatorik . - 2001. - T. 10 . - S. 116-121 .
Katrien Vandermeulen, et al. Napoleon, en matematiker? (utilgængeligt link) . Matematik for Europa. Hentet 25. april 2012. Arkiveret fra originalen 30. august 2012. (ubestemt)
Bogomolny, Alexander Napoleons sætning . Klip knuden! En interaktiv kolonne ved hjælp af Java-applets. Dato for adgang: 25. april 2012. (ubestemt)
Napoleons Thm og Napoleon Points (utilgængeligt link) . Hentet 24. april 2012. Arkiveret fra originalen 21. januar 2012. (ubestemt)
Weisstein, Eric W. Napoleon pointerer . Fra MathWorld - En Wolfram-webressource. Hentet: 24. april 2012. (ubestemt)
Philip LaFleur Napoleons sætning . Hentet 24. april 2012. Arkiveret fra originalen 7. september 2012. (ubestemt)
Wetzel, John E. Converses of Napoleons Theorem (april 1992). Hentet 24. april 2012. Arkiveret fra originalen 29. april 2014. (ubestemt)