↔ ⇔ ≡
" Dengang og kun da " er en logisk ækvivalensforbindelse mellem udsagn, der bruges i logik , matematik , filosofi . For at være en ækvivalent skal en forbindelse være identisk med en standard materiale betinget [1] ("kun da" svarer til "hvis ... da"), forbundet med dets modsætning, deraf navnet på linket. Som et resultat kræver sandheden af den ene udsagn den samme sandhed af den anden, det vil sige enten er begge sande, eller begge er falske. Man kan diskutere, om udtrykket af det russiske sprog "hvis og kun da" formidler linket defineret ovenfor med dets allerede eksisterende betydning. Selvfølgelig kan intet forhindre os i at læse dette bundt nøjagtigt som "hvis og kun da", selvom det nogle gange kan føre til forvirring.
I skrift bruges ret kontroversielle udtryk ofte som et alternativ til "dengang og først da", herunder: Q er nødvendigt og tilstrækkeligt for P ; P er ækvivalent (eller materielt ækvivalent) med Q ; R nøjagtigt hvis Q ; P præcis når Q ; P nøjagtigt i tilfælde af Q ; P nøjagtigt i tilfældet med Q .
I logiske formler bruges logiske symboler i stedet for alle ovenstående sætninger.
Sandhedstabellen for p ↔ q er som følger: [2]
| s | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| en | en | en |
| en | 0 | 0 |
| 0 | en | 0 |
| 0 | 0 | en |
Bemærk, at den ækvivalente transformation udføres af standard XNOR-cellen, og den modsatte transformation udføres af standard XOR-cellen.
De logiske symboler ↔, ⇔ og ≡ bruges til at betegne det logiske bindeled "hvis og kun da" i formlerne. I engelske tekster bruges nogle gange "iff" (en forkortelse for "hvis og kun hvis") til at betegne et link, og i russiske tekster, analogt, er forkortelsen "ttt" [3] eller "sogda" [4] lejlighedsvis brugt . Normalt behandles alle disse symboler som ækvivalente. Nogle tekster af matematisk logik (især om førsteordenslogik og i mindre grad om propositionel logik ) skelner mellem dem, hvor det første tegn ↔ bruges som symbol i logiske formler, mens tegnet ⇔ bruges i ræsonnement om disse formler (for eksempel i metalogik ). Łukasiewicz notation bruger tegnet "E" som præfiks. Negationen af denne forbindelse er "eksklusiv eller".
I de fleste logiske systemer bevises udsagn af formen "P ↔ Q" gennem beviset "hvis P, så Q" og "hvis Q, så P" (eller det omvendte "hvis ikke-P, så ikke-Q" og "hvis ikke-Q, så ikke-P"). Beviset for dette par udsagn fører nogle gange til et mere strengt bevis, da der er ikke-oplagte forhold, hvorfra ækvivalensen kan udledes direkte. Et alternativ er at bevise disjunktionen "(P og Q) eller (ikke-P og ikke-Q)", som i sig selv kan udledes af disjunkterne, dvs. da det forbindende ↔ er en sandhedsfunktion, følger det, at "P ↔ Q" er kun sandt, hvis P og Q begge er sande eller begge falske.
Tilstrækkelighed er det omvendte af nødvendighed. Det vil sige, hvis P → Q er givet (eller hvis P , så Q ), så vil P være en tilstrækkelig betingelse for Q , og Q vil være en nødvendig betingelse for P. Ydermere, hvis P → Q er givet , så er ¬Q → ¬P også sand (hvor ¬ er negationsoperatoren, dvs. "ikke"). Dette betyder, at forholdet mellem P og Q etableret af operatøren P → Q kan udtrykkes på følgende ækvivalente måder:
P er tilstrækkeligt for Q (hvis P er sandt, så er Q sikkert) Q er nødvendig for P (hvis Q er sand, så er P sandsynlighed) ¬Q er tilstrækkeligt til ¬P (hvis ¬Q er sandt, så er ¬P sikkert) ¬P er nødvendigt for ¬Q (hvis ¬P er sandt, så er ¬Q probabilistisk)Tager man som eksempel ovenstående sætning (1), som angiver P → Q , hvor P er "den pågældende vanillepudding" og Q er "Madison vil spise den pågældende budding" . Følgende fire måder at udtrykke relationer på er ækvivalente:
Hvis den pågældende budding er creme, så spiser Madison den. Kun hvis Madison spiser den pågældende budding, er det sandsynligvis vanillecreme. Hvis Madison ikke spiser den pågældende budding, er den uden creme. Kun hvis den pågældende budding ikke er cremefri, spiser Madison det måske ikke.Således ser vi, at ovenstående sætning (2) kan omformuleres som om ... så f.eks. "Hvis Madison spiser den pågældende budding, så er det med creme." Tager vi dette i sammenhæng med (1), finder vi, at (3) kan siges som følger: "Hvis den pågældende budding er vanillecreme, vil Madison spise den, og hvis Madison spiser buddingen, så er det creme."