Steiner pointe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. oktober 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Steiner pointe

Opkaldt efter	Jacob Steiner
Mediefiler på Wikimedia Commons

Steiner-punktet er et af de store trekantpunkter [1] og omtales som punkt X(99) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centres .

Historie

Jakob Steiner (1796–1863), en schweizisk matematiker, beskrev dette punkt i 1826. Dette punkt blev navngivet Steiner af Joseph Neuberg i 1886 [1] [2] .

Definition

Steiner-punktet er defineret som følger. (Vi bruger en anden metode, end Steiner selv definerede dette punkt. [1] )

Lad enhver trekant være givet . Lade være dens centrum af den omskrevne cirkel og være skæringspunktet for simedianerne . Cirklen , bygget på som på diameteren, er trekantens Brocard-cirkel . En linje, der går igennem vinkelret på linjen, skærer Brocard-cirklen i et andet punkt . En linje, der går igennem vinkelret på linjen, skærer Brocard-cirklen i et andet punkt . En linje, der går gennem vinkelret på linjen, skærer Brocard-cirklen på et andet punkt (trekanten er Brocard- trekanten for trekant ). Lad der gå en linje gennem en linje parallel med en linje , en linje der går gennem en linje parallel med en linje , og en linje der går gennem en linje parallel med en linje . Så alle tre linjer , og skærer hinanden på et punkt. Punktet for deres skæringspunkt er trekantens Steiner-punkt .

ABC

O

K

Okay

ABC

O

f.Kr

EN'

O

CA

B'

O

AB

C'

A'B'C'

ABC

L_{A}

EN

B'C'

L_{B}

B

C'A'

L_{C}

C

A'B'

L_{A}

L_{B}

L_{C}

ABC

Trilineære koordinater

Steinerpunktets trilineære koordinater er

\left({\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\ frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}\right)=(b^{2}c^{2}\operatørnavn {cosec} (BC):c^{2}a^{ 2}\operatørnavn {cosec} (CA):a^{2}b^{2}\operatørnavn {cosec} (AB))

Egenskaber

Ellipsen afgrænset omkring en trekant , også kaldet Steiner - ellipsen , er den mindste arealellipse , der passerer gennem hjørnerne , og . Steiner-punktet i trekanten ligger på Steiner-ellipsen , der er afgrænset omkring trekanten . $ABC$ $EN$ $B$ $C$ $ABC$ $ABC$
Honsberger etablerede følgende egenskab ved Steiner-punktet : Steiner-punktet i en trekant er massecentret af systemet opnået ved at suspendere en masse i hvert toppunkt svarende til den ydre vinkel ved det toppunkt. [3]
Steiner-punktet har ikke denne egenskab. Systemets massecenter opnået ved at suspendere ved hvert hjørne af trekanten en masse svarende til værdien af den ydre vinkel ved det spidspunkt er ikke et Steiner-punkt . Dette massecenter kaldes trekantens Steiner - kurvatur - centroide og har trilineære koordinater [4] : $ABC$ $ABC$

\left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)

Dette trekantede centrum omtales som X(1115) i Encyclopedia of Triangle Centres .

Simson-linjen i trekantens Steiner-punkt er parallel med linjen , hvor er midten af den omskrevne cirkel og er skæringspunktet for tre simedianer ( Lemoine-punkt ) i trekanten . $ABC$ $Okay$ $O$ $K$ $ABC$

Tarry Point

Trekantens Tarry-punkt er tæt beslægtet med Steiner-punktet i trekanten. Lad være enhver given trekant. Et punkt på omkredsen af en trekant , der er diametralt modsat trekantens Steiner-punkt , kaldes trekantens Tarry -punkt . Tarry-punktet repræsenterer trekantens centrum og er udpeget som centrum X(98) i Encyclopedia of Triangle Centres . De trilineære koordinater for Tarry-punktet er $ABC$ $ABC$ $ABC$

(\operatørnavn {sek} (A+\omega ):\operatørnavn {sek} (B+\omega ):\operatørnavn {sek} (C+\omega ))

hvor er trekantens Brocard vinkel . $\omega$ $ABC$

Noter

↑ 1 2 3 Kimberling, Clark Steiner punkt . Hentet: 17. maj 2012. (ubestemt)
↑ J. Neuberg. Sur le point de Steiner (neopr.) // Journal de mathématiques spéciales. - 1886. - S. 29 .
↑ Honsberger, Ross. Episoder i det nittende og det tyvende århundredes euklidiske geometri (engelsk) . - The Mathematical Association of America, 1965. - S. 119-124.
↑ Eric W., Weisstein Steiner Curvature Centroid . MathWorld—A Wolfram Web Resource. Hentet 17. maj 2012. (ubestemt)

Se også

Steiner- centret er tyngdepunktet for den gaussiske krumning af overfladen af et konveks legeme.