Brocard punkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. juni 2020; checks kræver 6 redigeringer .

Brocard punkt
Brokartpunkt i en trekant , konstrueret som skæringspunktet for tre cirkler $P$ $\trekant ABC$
barycentriske koordinater	${\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}$
Trilineære koordinater	${\frac {1}{a^{3}}}:{\frac {1}{b^{3}}}:{\frac {1}{c^{3}}}$
ECT kode	X(76)
Forbundne prikker
isotomisk konjugeret	Lemoine punkt

Brokars punkt er et af to punkter inde i en trekant , der opstår ved skæringspunktet mellem segmenter, der forbinder trekantens spidser med de tilsvarende frie spidser af trekanter svarende til denne trekant og bygget på dens sider. De betragtes som bemærkelsesværdige punkter i en trekant , med deres hjælp bygges mange objekter med trekantgeometri (inklusive Brocard-cirklen , Brocard- trekanten , Neuberg-cirklen ).

Opkaldt efter den franske meteorolog og geometer Henri Brocard , som beskrev punkterne og deres konstruktion i 1875 , men de var også kendt tidligere, især blev de bygget i et af den tyske matematiker og arkitekt August Crelles værker , udgivet i 1816 .

I Encyclopedia of Triangle Centres er Brocards første punkt identificeret som . $X(39)$

Definition

I en trekant med sider , , og modsat hjørner , og henholdsvis er der kun ét punkt sådan, at linjestykker , og danner den samme vinkel med sider , og , henholdsvis: . Punktet kaldes det første Brocard-punkt i trekanten , og vinklen kaldes trekantens Brocard- vinkel . $\trekant ABC$ $-en$ $b$ $c$ $EN$ $B$ $C$ $P$ $AP$ $BP$ $CP$ $\omega$ $c$ $-en$ $b$ $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$ $P$ $\trekant ABC$ $\omega$

For Brocard-vinklen gælder følgende identitet: . For Brocard-vinklen gælder følgende Yiff-ulighed : , hvor er vinklerne for den påkrævede trekant [1] . $\omega$ $\mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB$ $\omega$ $8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma$ $\alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB$

Trekanten har også en anden Brocard punkt , sådan at linjen segmenter , og danner den samme vinkel med sider , og henholdsvis: . Det andet Brocard -punkt er isogonalt konjugeret med det første Brocard-punkt, det vil sige, at vinklen er lig med vinklen . $\trekant ABC$ $Q$ $AQ$ $BQ$ $CQ$ $b$ $c$ $-en$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$

De to Brocard-punkter er tæt beslægtede med hinanden, forskellen mellem dem er i den rækkefølge, vinklerne i en trekant er nummereret, så f.eks. det første Brocard-punkt i en trekant falder sammen med det andet Brocard-punkt i en trekant . $\trekant ABC$ $\triangle ACB$

Konstruktion

Den mest berømte konstruktion af Brocards punkter er i skæringspunktet mellem cirkler konstrueret som følger: for en cirkel tegnes gennem punkterne og rører ved siden (midten af denne cirkel er i det punkt, der ligger i skæringspunktet mellem den vinkelrette halveringslinje på side med linjen, der går igennem og vinkelret på ); på lignende måde konstrueres en cirkel gennem punkterne og rører siden ; den tredje cirkel er gennem punkterne og og tangent til siden . Disse tre cirkler har et fælles skæringspunkt, som er det første Brocard-punkt i trekanten . Det andet Brocard-punkt er konstrueret på lignende måde - cirkler er konstrueret: gennem og tangent til ; gennem og , rørende ; gennem og rørende . $\trekant ABC$ $EN$ $B$ $f.Kr$ $AB$ $B$ $f.Kr$ $B$ $C$ $AC$ $EN$ $C$ $AB$ $\trekant ABC$ $EN$ $B$ $AC$ $B$ $C$ $AB$ $EN$ $C$ $f.Kr$

Egenskaber

De homogene trilineære koordinater for det første og andet Brocard-punkt er hhv . Således deres barycentriske koordinater, henholdsvis [2] og $c/b:a/c:b/a$ $b/c:c/a:a/b$ $c^{2}a^{2}:a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}$ $a^{2}b^{2}:b^{2}c^{2}:c^{2}a^{2}.$

Brocard-punkterne ligger på Brocard-cirklen - en cirkel diametralt konstrueret på et segment, der forbinder midten af den omskrevne cirkel med Lemoine-punktet . Den indeholder også hjørnerne af de to første Brocard trekanter. Brocard-punkter er konjugeret isogonalt.

Brocards punkt er et af 2 punkter inde i en trekant, hvis cevianer danner lige store vinkler med dens tre sider målt ved dens tre spidser.

Se også

Noter

↑ Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III . — Springer Science & Business Media, 2001-12-31. - S. 83. - 564 s. — ISBN 9781402001987 .
↑ Scott, JA "Nogle eksempler på brugen af arealkoordinater i trekantgeometri", Mathematical Gazette 83, november 1999, 472-477.

Litteratur

S. I. Zetel . Ny trekantgeometri. - M . : Uchpedgiz, 1940. - S. 81-89. — 96 s.
Akopyan, A.V. & Zaslavsky, A.A. (2007), Geometry of Conics , vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society , s. 48-52, ISBN 978-0-8218-4323-9
Honsberger, Ross (1995), Kapitel 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: The Mathematical Association of America
Prasolov V. V. Brocard-punkter og isogonal konjugation (Serie "Bibliotek "Mathematical Education"). M.: MTSNMO, 2000. 24 s.
Yakovlev IV materialer om matematik. Isogonal konjugation. S. 5-6// https://mathus.ru/math/isogonal.pdf