Lemoine punkt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Lemoine punkt
En trekant med tre (cyan) medianer , med tre (grønne) vinkelhalveringslinjer og med tre (røde) symmedianer . Symmedianerne skærer hinanden ved Lemoine-punktet L , vinkelhalveringslinjerne skærer ved incenter I , og medianerne skærer ved tyngdepunktet G.
barycentriske koordinater	$a^{2}:b^{2}:c^{2}$
Trilineære koordinater	$a:b:c$
ECT kode	X(6)
Forbundne prikker
isogonalt konjugeret	tyngdepunkt
isotomisk konjugeret	Brokars tredje pointe

Lemoine -punktet (skæringspunktet for simedianerne, lappepunktet, betegnet eller ) er et af trekantens bemærkelsesværdige punkter . $K$ $L$

Definition

Lemoine-punktet har tre ækvivalente definitioner:

skæringspunktet for de linjer, der forbinder hvert hjørne af trekanten med skæringspunkterne for tangenterne til den omskrevne cirkel tegnet fra de to andre hjørner.
symmedian skæringspunkt .
skæringspunktet for linjerne, der forbinder midtpunkterne på siderne i en trekant med midtpunkterne for de højder, der svarer til dem.

Udsagnet om, at de to første definitioner er ækvivalente, kaldes symmedian-sætningen .

Bevis

Lade være skæringspunktet for tangenterne ved hjørnerne og til den omskrevne cirkel, være midtpunktet af siden . Da er siden punktets polære i forhold til den omskrevne cirkel, og er bunden af den vinkelrette på siden fra midten af den omskrevne cirkel. Af definitionen af polaren følger det, at punkterne og er symmetriske i forhold til cirklen . Lad punktet være midtpunktet af den bue af den omskrevne cirkel, der ikke indeholder punktet . Så er linjen og medianen symmetriske i forhold til halveringslinjen . De to andre linjer konstrueret på denne måde er tilsvarende symmetriske med medianerne. Men deres skæringspunkt er Lemoine-punktet, hvilket betyder, at Lemoine-punktet er isogonalt konjugeret med skæringspunktet for medianerne og er skæringspunktet for simedianerne. $A_{1}$ $B$ $C$ $ER}$ $f.Kr$ $f.Kr$ $A_{1}$ $ER}$ $f.Kr$ $A_{1}$ $ER}$ $A_0$ $f.Kr$ $EN$ $\vinkel A_{0}AA_{M}=\vinkel A_{0}AA_{1}$ $AA_{1}$ $AA_{M}$ $AA_{0}$

Lemoine sekskant indskrevet i en given referencetrekant

Lemoine-sekskanten er en sekskant, som en cirkel kan omskrives omkring. Dens toppunkter er de seks skæringspunkter mellem siderne i en trekant med tre linjer, der er parallelle med siderne, og som går gennem dens Lemoine-punkt . I en hvilken som helst trekant er Lemoine-sekskanten inde i en trekant med tre par hjørner liggende parvis på hver side af trekanten.

Lemoine cirkler

Lemoine beviste, at hvis lige linjer passerer gennem et Lemoine-punkt parallelt med siderne af en trekant, så ligger de seks skæringspunkter mellem linjerne og trekantens sider på den samme cirkel, eller at de ligger på cirklen. [1] . Denne cirkel er nu kendt som den første cirkel eller Lemoine cirkel , eller blot Lemoine cirkel . [2] . Med andre ord er Lemoine-hexagonen , som defineret ovenfor, indskrevet i Lemoine-cirklen .

Historie

Lemoine-punktet blev først opdaget ( 1809 ) af den schweiziske geometer og topolog Simon Antoine Jean Luillier . Dette punkt var genstand for en undersøgelse ( 1847 ) af Ernst Wilhelm Grebe (Grebe) , efter hvem den i Tyskland blev kaldt Grebe-punktet. Punktet er opkaldt efter den franske geometer Émile Lemoine , som offentliggjorde et bevis for punktets eksistens ( 1873 ). Ross Honsberger kaldte eksistensen af Lemoine-punktet "en af juvelerne i den moderne geometris krone." [3]

Egenskaber

Summen af kvadratiske afstande fra et punkt i planet til siderne af en trekant er på et minimum, når dette punkt er et Lemoine-punkt .
Afstandene fra Lemoine-punktet til trekantens sider er proportionale med længderne af siderne.
Lemoine- punktet er skæringspunktet for medianerne af trekanten dannet af projektionerne af Lemoine-punktet på siderne. Desuden er et sådant punkt unikt.
Lemoine- punktet er Gergonne-punktet i trekanten dannet af tangenterne til den omskrevne cirkel ved trekantens spidser. Denne trekant kaldes en tangentiel trekant .
Lemoine -punktet er isogonalt konjugeret med skæringspunktet for medianerne
Lemoine-punktet er isotomisk konjugeret med dets Brocard-punkt (det tredje punkt, betegnet X(76) i Encyclopedia of Triangle Centres).
Lemoine-punktet er antiperspektivet for den omskrevne cirkel. De trilineære polarer af punkter på den omskrevne cirkel passerer gennem Lemoine-punktet.

En cirkel bygget på et segment ( er midten af den omskrevne cirkel) som på en diameter indeholder Brocard-punkter . Denne cirkel kaldes Brocard-cirklen . $Okay$ $O$
Den rette linje kaldes Brocards akse . Den indeholder Apollonius-punkterne og er isogonalt konjugeret med Kiepert-hyperbelen . $Okay$
De to Torricelli-punkter og Lemoine-punktet ligger på samme linje.
Apollonius-punkterne ligger på linjen, der forbinder midten af den omskrevne cirkel med Lemoine-punktet . Denne linje kaldes Brocards akse .
Under projektive transformationer , der bevarer trekantens omskrevne cirkel, vil Lemoine-punktet gå til Lemoine-punktet på billedet af denne trekant.
En ellipse med foci ved Brocards punkter kaldes Brocards ellipse . Dens perspektiv er Lemoine-punktet [4] .

To cirkler af Lemoine

Hvis vi tegner segmenter gennem Lemoine-punktet parallelt med trekantens sider, med ender på siderne, så vil enderne af disse segmenter ligge på den samme cirkel (på den første Lemoine-cirkel ). Centrum af den første Lemoine-cirkel er midtpunktet af det segment, der forbinder midten af trekantens omskrevne cirkel med Lemoine-punktet . [5]
Hvis vi trækker segmenter gennem Lemoine-punktet , der er antiparallelle med siderne af trekanten, med ender på siderne, så vil enderne af disse segmenter ligge på den samme cirkel (på den anden Lemoine-cirkel ). Lemoine-punktet vil være dets centrum. [6]

Koordinater

De trilineære koordinater af Lemoine-punktet er , $(a:b:c)$
barycentrisk - . $(a^{2}:b^{2}:c^{2})$

Noter

↑ Nathan Altshiller Court. College Geometri (neopr.) . - 2. - New York: Barnes and Noble, 1969. - ISBN 0-486-45805-9 .
↑ Lachlan, Robert. En elementær afhandling om moderne ren geometri . — Cornell University Library, 1893. - ISBN 978-1-4297-0050-4 .
↑ Honsberger, Ross (1995), Kapitel 7: The Symmedian Point, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: Mathematical Association of America .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriske egenskaber af kurver af anden orden. - 2. udg., tillæg .. - 2011. - S. 50.
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. 2. udg. M .: Uchpedgiz, 1962. S. 108-110, s. 94-96, helvede. 80-81
↑ Zetel S. I. Ny geometri af en trekant. 2. udg. M.: Uchpedgiz, 1962. S. 111, s. 98