Trekantsummen af ​​vinkler sætning

Trekantsumsætningen er  en klassisk sætning i euklidisk geometri .

Ordlyd

Summen af ​​vinklerne i en trekant i det euklidiske plan er 180 ° . [en]

Bevis

Lad være  en vilkårlig trekant. Tegn en linje gennem toppunktet B parallelt med linjen AC . Marker et punkt D på den , så punkterne A og D ligger på modsatte sider af linjen BC . Vinklerne DBC og ACB er ens som indre på tværs, dannet af sekanten BC med parallelle linjer AC og BD . Derfor er summen af ​​trekantens vinkler ved hjørnerne B og C lig med vinklen ABD . Summen af ​​alle tre vinkler i en trekant er lig med summen af ​​vinklerne ABD og BAC . Da disse vinkler er indre ensidige for parallelle AC og BD ved sekant AB , er deres sum 180°. Q.E.D.

Konsekvenser

• En trekant kan ikke have to stumpe eller to rette vinkler, for så ville summen af ​​vinklerne være større end 180°. Af samme grund kan en trekant ikke indeholde en stump og en ret vinkel på samme tid.
• Enhver trekant har mindst to spidse vinkler. Faktisk modsiger det tilfælde, hvor trekanten kun har én spids vinkel eller slet ingen spidse vinkler, den foregående konsekvens.
• I en retvinklet trekant er begge vinkler ved hypotenusen spidse.
• I en ligebenet trekant er vinklerne ved basen lige store, så kun vinklen modsat basen kan være stump.
• I en ligebenet retvinklet trekant er vinklerne ved hypotenusen (180° - 90°) / 2 = 45°.
• I en ligesidet trekant falder alle tre vinkler sammen og er derfor lig med 180° / 3 = 60°.
• ( Trekantets udvendige vinkelsætning ) En trekants udvendige vinkel er lig med summen af ​​to indre vinkler, der ikke støder op til den [2] .

Variationer og generaliseringer

Polygoner

Generalisering for simplices

Der er et mere komplekst forhold mellem de dihedrale vinkler i en vilkårlig simplex . Nemlig, hvis  er vinklen mellem i- og j-fladerne af simplekset, så er determinanten af ​​den næste matrix (som er en cirkulant ) lig med 0:

Dette følger af den kendsgerning, at denne determinant er gramdeterminanten for normalerne til simpleksfladerne, mens gramdeterminanten for lineært afhængige vektorer er 0, og vektorer i det dimensionelle rum altid er lineært afhængige.

I ikke-euklidiske geometrier

Beviset givet i denne artikel bygger på en vis egenskab ved parallelle linjer, nemlig påstanden om, at de indvendige tværgående vinkler af parallelle linjer er ens. Beviset for denne erklæring bruger til gengæld parallelismeaksiomet for euklidisk geometri. Det kan påvises, at ethvert bevis for sætningen om vinklernes sum af en trekant vil bruge parallelismeaksiomet, og omvendt - ud fra udsagnet om, at summen af ​​vinklerne i en trekant er 180°, kan man udlede aksiomet af parallelitet, hvis de resterende aksiomer for klassisk geometri ( absolut geometri ) er givet [3] .

Således er ligheden af ​​summen af ​​vinklerne i en trekant 180° et af hovedtrækkene i den euklidiske geometri, som adskiller den fra ikke-euklidiske, hvor parallelismens aksiom ikke er opfyldt:

• På en kugle overstiger summen af ​​vinklerne i en trekant altid 180°, forskellen kaldes det sfæriske overskud og er proportional med trekantens areal. En sfærisk trekant kan have to eller endda tre rette eller stumpe vinkler.

• I Lobachevsky geometri er summen af ​​vinklerne i en trekant altid mindre end 180° og kan være vilkårligt lille. Forskellen er også proportional med trekantens areal.

Noter

1. ↑ Geometri ifølge Kiselev Arkiveret 1. marts 2021 på Wayback Machine , § 81.
2. ↑ Elementær matematik, 1976 , s. 421.
3. ↑ Lelon-Ferrand J. Fundamenter for geometri. - M .: Mir, 1989. - S. 255-256. - 312 s. — ISBN 5-03-001008-4 .

Litteratur

• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.