Gauss-Wanzels sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 1. august 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Gauss-Wanzel-sætningen giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at en regulær gon $n$ kan konstrueres ved hjælp af et kompas og en straightedge .

Ordlyd

En regulær- gon $n$ kan konstrueres ved hjælp af et kompas og straightedge , hvis og kun hvis , hvor og er ikke-negative heltal , og er forskellige Fermat-primtal . ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m))$ $k$ $m$ $p_{i}$

Noter

Denne betingelse svarer også til, at værdien af Euler-funktionen er en potens af to. $\varphi (n)$

I øjeblikket er der kun fundet fem Fermat-primtal: $3,\,5,\,17,\,257,\,65537;$ [en]

derfor er det (inden opdagelsen af nye Fermat-primtal) ved hjælp af et kompas og en ligekant muligt at konstruere en regulær polygon med et maksimalt ulige antal sider lig med = 4294967295 .

3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537=2^{32}-1

En regulær polygon kan konstrueres med et kompas og en lineal, hvis og kun hvis det i nærværelse af et længdesegment på planet er muligt at konstruere et segment, hvis længde er lig med - cosinus af den centrale vinkel på den givne -polygon. Dette er til gengæld sandt, hvis og kun hvis den givne cosinus er et reelt konstruerbart tal , det vil sige, det kan udtrykkes ved hjælp af heltal , simple aritmetiske operationer og kvadratrodsudvinding . $n$ $en$ $\cos {\tfrac {2\cdot \pi }{n))$ $n$

Historie

Gamle geometre vidste, hvordan man konstruerede regulære -goner for og . $n$ ${\displaystyle n=2^{k},3\cdot 2^{k},5\cdot 2^{k))$ ${\displaystyle 3\cdot 5\cdot 2^{k))$

I 1796 viste Gauss muligheden for at konstruere regulære -goner for , hvor er forskellige Fermat -primtal . (Her svarer sagen til antallet af sider .) $n$ ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m))$ $p_{i}$ $m=0$ $n=2^{k}$

I 1837 beviste Vanzel , at der ikke var andre regulære polygoner, der kunne konstrueres med et kompas og en ligekant.

Specifikke implementeringer af konstruktionen er meget besværlige:

Konstruktionen af en regulær syttenagon blev direkte udført af Gauss selv, men blev først udgivet af K. F. von Pfeiderer i 1802 .
En regulær 257-gon blev bygget af F. Yu Richelo i 1832 [2] .
Universitetet i Göttingens bibliotek har et manuskript, som er resultatet af ti års arbejde af I. G. Hermes , som indeholder en metode til at konstruere en regulær 65537-gon .

En alt for besat kandidatstuderende kørte sin vejleder til det punkt, at han sagde til ham: "Gå hen og lav konstruktionen af en regulær polygon med 65537 sider." Den studerende trak sig tilbage for at vende tilbage 20 år senere med den passende konstruktion [3] .J. Littlewood

Noter

↑ Se OEIS -sekvens A019434 .
↑ Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x 257 = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1832. - T. 9 . — S. 1-26, 146-161, 209-230, 337-358 .
↑ J. Littlewood. Matematisk blanding . - M . : Nauka, 1990. - S. 43. - ISBN 5-02-014332-4 . Arkiveret 31. juli 2021 på Wayback Machine

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Gauss-Wanzels sætning

Ordlyd

Noter

Historie

Links

Noter